अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक

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Alexander Grothendieck
Alexander Grothendieck.jpg
Alexander Grothendieck in Montreal, 1970
जन्म(1928-03-28)28 March 1928
Berlin, Prussia, Germany
मर गया13 November 2014(2014-11-13) (aged 86)
Saint-Lizier, France
राष्ट्रीयता
अल्मा मेटर
के लिए जाना जाता हैRenewing algebraic geometry and synthesis between it and number theory and topology
List of things named after Alexander Grothendieck
पुरस्कार
Scientific career
खेतMathematics – functional analysis, algebraic geometry, homological algebra
संस्थानों
ThesisProduits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (1953)
Doctoral advisors
डॉक्टरेट के छात्र

अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक (/ˈɡroʊtəndiːk/; German pronunciation: [ˌalɛˈksandɐ ˈɡʁoːtn̩ˌdiːk] (listen); French: [ɡʁɔtɛndik]; 28 मार्च 1928 - 13 नवंबर 2014) जर्मनी में जन्मे गणितज्ञ थे जो आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति के निर्माण में अग्रणी व्यक्ति बने।[7][8] उनके शोध ने क्षेत्र के दायरे को बढ़ाया और कम्यूटेटिव बीजगणित, होमोलॉजिकल बीजगणित, शीफ सिद्धांत और श्रेणी सिद्धांत के तत्वों को इसकी नींव में जोड़ा, जबकि उनके तथाकथित ग्रोथेंडिक के सापेक्ष दृष्टिकोण| सापेक्ष परिप्रेक्ष्य से शुद्ध गणित के कई क्षेत्रों में क्रांतिकारी प्रगति हुई।[7][9] कई लोग उन्हें बीसवीं सदी का सबसे महान गणितज्ञ मानते हैं।[10][11]

ग्रोथेंडिक ने 1949 में एक गणितज्ञ के रूप में अपने उत्पादक और सार्वजनिक कैरियर की शुरुआत की। 1958 में, उन्हें इंस्टीट्यूट डेस हौट्स एट्यूड्स साइंटिफिक्स (आईएचईएस) में एक शोध प्रोफेसर नियुक्त किया गया और 1970 तक वहां रहे, जब व्यक्तिगत और राजनीतिक दृढ़ विश्वास, उन्होंने सैन्य धन पर विवाद के बाद छोड़ दिया। उन्हें 1966 में बीजगणितीय ज्यामिति, समरूप बीजगणित और के-सिद्धांत में प्रगति के लिए फील्ड मेडल प्राप्त हुआ।[12] बाद में वे मोंटपेलियर विश्वविद्यालय में प्रोफेसर बने[5] और, अभी भी प्रासंगिक गणितीय कार्य करते हुए, वह गणितीय समुदाय से हट गया और खुद को राजनीतिक और धार्मिक गतिविधियों (पहले बौद्ध धर्म और बाद में, एक अधिक ईसाई दृष्टि) के लिए समर्पित कर दिया।[13] 1991 में, वह पाइरेनीज़ में लासेरे, एरीगे के फ्रांसीसी गांव में चले गए, जहां वे एकांत में रहते थे, फिर भी 2014 में अपनी मृत्यु तक गणित और उनके दार्शनिक और धार्मिक विचारों पर अथक रूप से काम करते रहे।[14]

जीवन

परिवार और बचपन

ग्रोथेंडिक का जन्म बर्लिन में अराजकतावाद माता-पिता के घर हुआ था। उनके पिता, साशा शापिरो | अलेक्जेंडर साशा शापिरो (अलेक्जेंडर टैनारॉफ़ के नाम से भी जाने जाते हैं), हसीदिक यहूदी धर्म की जड़ें रखते थे और 1922 में जर्मनी जाने से पहले रूस में कैद हो गए थे, जबकि उनकी माँ, जोहाना हंका ग्रोथेंडिक, हैम्बर्ग में एक प्रतिवाद करनेवाला जर्मन परिवार से आई थीं। और एक पत्रकार के रूप में काम किया।[lower-alpha 1] किशोरों के रूप में, उनके माता-पिता दोनों ने अपनी प्रारंभिक पृष्ठभूमि से नाता तोड़ लिया था।[16] उनके जन्म के समय, ग्रोथेंडिक की मां की शादी पत्रकार जोहान्स रेडडैट से हुई थी और शुरू में, उनका जन्म नाम अलेक्जेंडर रेडडैट के रूप में दर्ज किया गया था। उस शादी को 1929 में भंग कर दिया गया था और शापिरो ने अपने पितृत्व को स्वीकार किया, लेकिन हंका ग्रोथेंडिक से कभी शादी नहीं की।[16]ग्रोथेंडिक का एक मामा था, उसकी सौतेली बहन मैदी।

ग्रोथेंडिक 1933 के अंत तक बर्लिन में अपने माता-पिता के साथ रहे, जब उनके पिता नाज़ीवाद से बचने के लिए पेरिस चले गए। इसके तुरंत बाद उनकी मां ने पीछा किया। ग्रोथेंडिक को हैम्बर्ग में लूथरन पादरी और शिक्षक विल्हेम हेडोर्न की देखभाल में छोड़ दिया गया था।[17][18] विनफ्रेड शार्लाऊ के अनुसार, इस समय के दौरान, उनके माता-पिता ने स्पेनिश नागरिक युद्ध में गैर-लड़ाकू सहायक के रूप में भाग लिया। [19][20] हालांकि, दूसरों का कहना है कि शापिरो अराजकतावादी मिलिशिया में लड़े थे।[21]

द्वितीय विश्व युद्ध

मई 1939 में ग्रोथेंडिक को फ्रांस के लिए हैम्बर्ग में एक ट्रेन में बिठाया गया। कुछ ही समय बाद उनके पिता को कैंप वर्नेट में नजरबंद कर दिया गया।[22]उन्हें और उनकी मां को 1940 से 1942 तक विभिन्न शिविरों में अवांछनीय खतरनाक विदेशियों के रूप में रखा गया था।[23] पहला शिविर रीयूक्रोस कैंप था, जहां उनकी मां को तपेदिक हो गया था, जो अंततः 1957 में उनकी मृत्यु का कारण बना। वहीं, ग्रोथेंडिक मेंडे, लोज़ेरे में स्थानीय स्कूल में भाग लेने में कामयाब रहे। एक बार, वह एडॉल्फ हिटलर की हत्या करने के इरादे से शिविर से भागने में सफल रहा।[22]बाद में, उनकी मां हंका को द्वितीय विश्व युद्ध के शेष समय के लिए गुर नजरबंदी शिविर में स्थानांतरित कर दिया गया।[22] ग्रोथेंडिक को अपनी मां से अलग रहने की अनुमति थी।[24] ले चंबोन-सुर-लिग्नन के गांव में, उन्हें आश्रय दिया गया था और स्थानीय बोर्डिंग हाउस या पेंशन (आवास) में छिपा दिया गया था, हालांकि उन्हें कभी-कभी नाज़ी छापे के दौरान जंगल में शरण लेनी पड़ती थी, कई बार बिना भोजन या पानी के जीवित रहना पड़ता था। दिन।[22][24] उनके पिता को विची विरोधी यहूदी कानून के तहत गिरफ्तार किया गया था, और ड्रैंसी इंटर्नमेंट कैंप भेजा गया था, और फिर विची फ्रांस द्वारा जर्मनों को 1942 में ऑशविट्ज़ एकाग्रता शिविर में हत्या करने के लिए भेजा गया था।[8][25]

Le Chambon में, Grothendieck ने Collège Cévenol (अब Le Collège-Lycée Cévenol International के रूप में जाना जाता है) में भाग लिया, 1938 में स्थानीय प्रोटेस्टेंट शांतिवादियों और युद्ध-विरोधी कार्यकर्ताओं द्वारा स्थापित एक अद्वितीय माध्यमिक विद्यालय। ले चंबोन में छिपे कई शरणार्थी बच्चों ने Collège Cévenol में भाग लिया, और यह इस स्कूल में था कि ग्रोथेंडिक जाहिर तौर पर पहली बार गणित से मोहित हो गए।[26]


अनुसंधान गणित के साथ अध्ययन और संपर्क

युद्ध के बाद, युवा ग्रोथेंडिक ने फ्रांस में गणित का अध्ययन किया, शुरू में मोंटेपेलियर विश्वविद्यालय में, जहां पहले उन्होंने अच्छा प्रदर्शन नहीं किया, खगोल विज्ञान जैसी कक्षाओं में असफल रहे।[27] अपने दम पर काम करते हुए, उन्होंने लेबेस्ग उपाय को फिर से खोजा। वहां तीन साल तक लगातार स्वतंत्र अध्ययन करने के बाद, वह 1948 में पेरिस में अपनी पढ़ाई जारी रखने के लिए चले गए।[17]

प्रारंभ में, ग्रोथेंडिक ने इकोले नॉर्मले सुप्रीयर में हेनरी कर्तन की संगोष्ठी में भाग लिया, लेकिन उनके पास उच्च शक्ति संगोष्ठी का पालन करने के लिए आवश्यक पृष्ठभूमि का अभाव था। कार्टन और आंद्रे वेइल की सलाह पर, वह नैन्सी विश्वविद्यालय चले गए जहां दो प्रमुख विशेषज्ञ ग्रोथेंडिक के रुचि के क्षेत्र, टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस पर काम कर रहे थे: जीन डायडोने और लॉरेंट श्वार्ट्ज। बाद वाले ने हाल ही में फील्ड्स मेडल जीता था। उसने अपने नए छात्र को अपना नवीनतम पेपर दिखाया; यह स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों के लिए प्रासंगिक 14 खुले प्रश्नों की सूची के साथ समाप्त हुआ। ग्रोथेंडिक ने नए गणितीय तरीके पेश किए जिससे वह कुछ ही महीनों में इन सभी समस्याओं को हल करने में सक्षम हो गया।[28] नैन्सी में, उन्होंने 1950 से 1953 तक कार्यात्मक विश्लेषण पर उन दो प्रोफेसरों के तहत अपना शोध प्रबंध लिखा।[29] इस समय वे टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के सिद्धांत के अग्रणी विशेषज्ञ थे।[30] 1953 में वह ब्राज़ील में साओ पाउलो विश्वविद्यालय चले गए, जहाँ वे नानसेन पासपोर्ट के माध्यम से अप्रवासी हो गए, यह देखते हुए कि उन्होंने फ्रांसीसी राष्ट्रीयता लेने से इनकार कर दिया था (क्योंकि इससे उनकी सजा के खिलाफ सैन्य सेवा होती)। वह 1954 के अंत तक साओ पाउलो (अक्टूबर 1953 से मार्च 1954 तक फ्रांस में एक लंबी यात्रा के अलावा) में रहे। ब्राजील में बिताए समय से उनका प्रकाशित कार्य अभी भी टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के सिद्धांत में है; यह वहाँ है कि उन्होंने उस विषय पर अपना अंतिम प्रमुख कार्य पूरा किया (बैनाच रिक्त स्थान के मीट्रिक सिद्धांत पर)।

ग्रोथेंडिक 1955 की शुरुआत में लॉरेंस, कंसास चले गए, और वहां उन्होंने बीजगणितीय टोपोलॉजी और होमोलॉजिकल बीजगणित में काम करने के लिए अपने पुराने विषय को अलग रखा, और बीजगणितीय ज्यामिति में तेजी से काम किया।[31][32] यह लॉरेंस में था कि ग्रोथेंडिक ने एबेलियन श्रेणियों के अपने सिद्धांत को विकसित किया और उनके आधार पर शेफ कोहोलॉजी का सुधार किया, जिससे बहुत प्रभावशाली ग्रोथेंडिक के तोहोकू पेपर | तोहोकू पेपर का निर्माण हुआ।[33] 1957 में उन्हें ऑस्कर ज़ारिस्की द्वारा हार्वर्ड आने के लिए आमंत्रित किया गया था, लेकिन प्रस्ताव विफल हो गया जब उन्होंने संयुक्त राज्य सरकार को उखाड़ फेंकने के लिए काम नहीं करने का वादा करने वाले प्रतिज्ञा पर हस्ताक्षर करने से इनकार कर दिया - एक स्थिति जिसके बारे में उन्हें चेतावनी दी गई थी, शायद उन्हें जेल में डाल दिया। . जेल की संभावना ने उन्हें तब तक चिंतित नहीं किया, जब तक कि उनके पास किताबों तक पहुंच थी।[34]

उस समय इकोले नॉर्मले सुप्रीयर-प्रशिक्षित छात्रों (पियरे-सैमुअल, रोजर गॉडमेंट, रेने थॉम, जैक्स डिक्समियर, जॉन डियर, यवोन ब्रुहट, जीन पियरे सेरे और बर्नार्ड मालग्रेंज) के नैन्सी वर्षों के दौरान ग्रोथेंडिक की तुलना करते हुए, लीला श्नेप्स ने कहा:

He was so completely unknown to this group and to their professors, came from such a deprived and chaotic background, and was, compared to them, so ignorant at the start of his research career, that his fulgurating ascent to sudden stardom is all the more incredible; quite unique in the history of mathematics.[35]

टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस पर उनका पहला काम 1953 में भौतिकी और कंप्यूटर विज्ञान में सफलतापूर्वक लागू किया गया है, जो ग्रोथेंडिक असमानता और ईपीआर विरोधाभास के बीच एक संबंध में परिणत हुआ। क्वांटम भौतिकी में आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास।[36]


IHÉS साल

1958 में, Institut des Hautes Études Scientifiques|Institut des Hautes Etudes Scientifiques (IHÉS) में Grothendieck स्थापित किया गया था, एक नया निजी रूप से वित्तपोषित अनुसंधान संस्थान, जो वास्तव में, Jean Dieudonné और Grothendieck के लिए बनाया गया था।[1] ग्रोथेंडिक ने वहां सेमिनारों की एक गहन और अत्यधिक उत्पादक गतिविधि द्वारा ध्यान आकर्षित किया (वास्तव में काम करने वाले समूहों ने युवा पीढ़ी के कुछ सक्षम फ्रेंच और अन्य गणितज्ञों को मूलभूत कार्य में शामिल किया)।[17] ग्रोथेंडिक ने पारंपरिक, सीखे हुए जर्नल रूट के माध्यम से पत्रों का प्रकाशन व्यावहारिक रूप से बंद कर दिया। हालाँकि, वह एक मजबूत स्कूल इकट्ठा करके, लगभग एक दशक तक गणित में एक प्रमुख भूमिका निभाने में सक्षम था।[37] आधिकारिक तौर पर इस समय के दौरान, उनके छात्रों के रूप में माइकल डेमेज़र (जिन्होंने SGA3 पर काम किया, समूह योजनाओं पर काम किया), ल्यूक इलूसी (कोटाजेंट कॉम्प्लेक्स), मिशेल रेनॉड, जीन लुइस वेर्डियर (व्युत्पन्न श्रेणी सिद्धांत के सह-संस्थापक), और पियरे डेलिग्ने . SGA परियोजनाओं के सहयोगियों में माइकल आर्टिन (étale cohomology), Nick Katz (मोनोड्रोमी सिद्धांत , और Lefschetz पेंसिल) भी शामिल थे। जीन जिराउड (गणितज्ञ) ने वहां भी नॉनबेलियन कोहोलॉजी के टोरसर थ्योरी एक्सटेंशन पर काम किया। कई अन्य जैसे डेविड ममफोर्ड, रॉबिन हार्टशोर्न, बैरी मजूर और सी.पी. रामानुजम भी शामिल थे।

स्वर्ण युग

IHES में स्वर्ण युग की अवधि के रूप में वर्णित अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के काम ने बीजगणितीय ज्यामिति, संख्या सिद्धांत, टोपोलॉजी, श्रेणी सिद्धांत और जटिल विश्लेषण में कई एकीकृत विषयों की स्थापना की।[29] बीजगणितीय ज्यामिति में उनकी पहली (पूर्व-IHÉS) खोज ग्रोथेंडिक-हिर्ज़ब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय थी, जो हिर्ज़ब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय का एक सामान्यीकरण बीजगणितीय रूप से सिद्ध हुआ; इस संदर्भ में उन्होंने के-थ्योरी भी पेश की। फिर, 1958 में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में अपनी बातचीत में उल्लिखित कार्यक्रम के बाद, उन्होंने योजना के सिद्धांत (गणित) को पेश किया, इसे अपने Éléments de géométrie algébrique (EGA) में विस्तार से विकसित किया और नई अधिक लचीली और सामान्य नींव प्रदान की। बीजगणितीय ज्यामिति के लिए जो उस समय से क्षेत्र में अपनाई गई है।[17] उन्होंने योजनाओं के ईटेल कोहोलॉजी सिद्धांत को पेश करने के लिए आगे बढ़े, वेइल अनुमानों को साबित करने के लिए महत्वपूर्ण उपकरण प्रदान करने के साथ-साथ क्रिस्टलीय कोहोलॉजी और बीजगणितीय डी रम कोहोलॉजी को पूरक करने के लिए। इन कोहोलॉजी सिद्धांतों से निकटता से जुड़ा हुआ है, उन्होंने टोपोलॉजी के सामान्यीकरण के रूप में topos सिद्धांत को जन्म दिया (श्रेणीबद्ध तर्क में भी प्रासंगिक)। उन्होंने योजनाओं के मौलिक समूहों की एक बीजगणितीय परिभाषा भी प्रदान की और आम तौर पर एक श्रेणीबद्ध गैलोज़ सिद्धांत की मुख्य संरचनाएँ प्रदान कीं। अपने सुसंगत द्वैत सिद्धांत के लिए एक ढांचे के रूप में, उन्होंने व्युत्पन्न श्रेणी भी पेश की, जिसे आगे वेर्डियर द्वारा विकसित किया गया।[38] इन और अन्य विषयों पर उनके काम के परिणाम ईजीए में प्रकाशित हुए थे और कम परिष्कृत रूप में सेमिनायर डी जेओमेट्री अल्गेब्रिक (एसजीए) के नोट्स में प्रकाशित हुए थे, जिसे उन्होंने आईएचईएस में निर्देशित किया था।[17]

राजनीतिक सक्रियता

ग्रोथेंडिक के राजनीतिक विचार राजनीतिक कट्टरपंथ और शांतिवादी थे। उन्होंने संयुक्त राज्य वियतनाम युद्ध और सोवियत साम्राज्य दोनों का कड़ा विरोध किया। वियतनाम युद्ध का विरोध करने के लिए, उन्होंने हनोई के आसपास के जंगलों में श्रेणी सिद्धांत पर व्याख्यान दिया, जबकि शहर पर बमबारी की जा रही थी।[39] 1966 में, उन्होंने मास्को में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस (ICM) में भाग लेने से मना कर दिया था, जहाँ उन्हें फील्ड्स मेडल प्राप्त करना था।[7] 1970 के आसपास जब उन्हें पता चला कि IHÉS आंशिक रूप से सेना द्वारा वित्तपोषित है, तो उन्होंने वैज्ञानिक जीवन से संन्यास ले लिया।[40] वह कुछ साल बाद मॉन्टपेलियर विश्वविद्यालय में प्रोफेसर के रूप में अकादमिक क्षेत्र में लौट आए।

जबकि मिलिट्री फंडिंग का मुद्दा शायद IHÉS से ग्रोथेंडिक के प्रस्थान के लिए सबसे स्पष्ट स्पष्टीकरण था, जो लोग उसे जानते थे उनका कहना है कि टूटने के कारण अधिक गहराई तक चले। पियरे कार्टियर (गणितज्ञ), IHÉS में विज़िटर डी लॉन्ग ड्यूरी (दीर्घकालिक अतिथि), ने IHES की चालीसवीं वर्षगांठ के अवसर पर प्रकाशित एक विशेष खंड के लिए ग्रोथेंडिक के बारे में एक अंश लिखा।[41] उस प्रकाशन में, कार्टियर ने नोट किया कि एक विरोधी सैन्य अराजकतावादी के बेटे के रूप में और जो वंचितों के बीच बड़ा हुआ, ग्रोथेंडिक को हमेशा गरीबों और दलितों के लिए गहरी करुणा थी। जैसा कि कार्टियर कहते हैं, ग्रोथेंडिक ने Bures-सुर-युवेट को उने केज डोरी (एक सोने का पानी चढ़ा हुआ पिंजरा) के रूप में पाया। जबकि ग्रोथेंडिक IHÉS में था, वियतनाम युद्ध का विरोध गर्म हो रहा था, और कार्टियर का सुझाव है कि इसने ग्रोथेंडिक की अरुचि को वैज्ञानिक दुनिया का मंदारिन बनने पर भी बल दिया।[1] इसके अलावा, IHÉS में कई वर्षों के बाद, ग्रोथेंडिक ने नए बौद्धिक हितों के बारे में सोचा। 1960 के दशक के अंत तक, उन्हें गणित के बाहर वैज्ञानिक क्षेत्रों में रुचि होने लगी थी। 1964 में IHÉS संकाय में शामिल होने वाले एक भौतिक विज्ञानी डेविड रूएल ने कहा कि ग्रोथेंडिक उनसे भौतिकी के बारे में कुछ बार बात करने आया था।[lower-alpha 2] जीव विज्ञान में ग्रोथेंडिक की रुचि भौतिकी से कहीं अधिक थी, और उन्होंने जैविक विषयों पर कुछ सेमिनारों का आयोजन किया।[41]

1970 में, ग्रोथेंडिक ने दो अन्य गणितज्ञों, क्लाउड चेवेली और पियरे सैमुअल के साथ, सर्वाइवर नामक एक राजनीतिक समूह बनाया - नाम बाद में बदलकर सर्वाइवर एट विवर हो गया। समूह ने एक बुलेटिन प्रकाशित किया और यह सैन्य-विरोधी और पारिस्थितिक मुद्दों के लिए समर्पित था। इसने विज्ञान और प्रौद्योगिकी के अंधाधुंध उपयोग की कड़ी आलोचना भी की।[42] ग्रोथेंडिक ने अगले तीन साल इस समूह को समर्पित किए और इसके बुलेटिन के मुख्य संपादक के रूप में काम किया।[5]

हालांकि ग्रोथेंडिक गणितीय पूछताछ के साथ जारी रहा, उसका मानक गणितीय कैरियर ज्यादातर तब समाप्त हो गया जब उसने IHÉS छोड़ दिया।[8]IHÉS छोड़ने के बाद, ग्रोथेंडिक दो साल के लिए Collège de France में एक अस्थायी प्रोफेसर बन गए।[42] इसके बाद वे मोंटपेलियर विश्वविद्यालय में प्रोफेसर बन गए, जहां वे गणितीय समुदाय से तेजी से अलग हो गए। वह औपचारिक रूप से 1988 में सेवानिवृत्त हुए, वैज्ञानिक अनुसंधान राष्ट्रीय केंद्र में एक शोध पद स्वीकार करने के कुछ साल बाद।[5]

1980 के दशक में लिखी गई पांडुलिपियां

1980 के दशक के दौरान पारंपरिक तरीकों से गणितीय शोध को प्रकाशित नहीं करते हुए, उन्होंने गणितीय और जीवनी सामग्री दोनों के साथ सीमित वितरण के साथ कई प्रभावशाली पांडुलिपियों का निर्माण किया।

1980 और 1981 के दौरान निर्मित, ला लॉन्ग मार्चे ए ट्रैवर्स ला थ्योरी डी गैलोइस (द लॉन्ग मार्च थ्रू गैलोइस थ्योरी) एक 1600-पृष्ठ हस्तलिखित पांडुलिपि है जिसमें कई विचार शामिल हैं जो एस्क्विस डी'उन कार्यक्रम का नेतृत्व करते हैं।[43] इसमें टेकमुलर स्पेस | टीचमुलर थ्योरी का अध्ययन भी शामिल है।

1983 में, बांगोर विश्वविद्यालय में रोनाल्ड ब्राउन (गणितज्ञ) और टिम पोर्टर के साथ पत्राचार से प्रेरित होकर, ग्रोथेंडिक ने एक 600-पृष्ठ पांडुलिपि लिखी जिसका शीर्षक स्टैक का पीछा करना था। इसकी शुरुआत डेनियल क्विलेन को संबोधित एक पत्र से हुई। यह पत्र और क्रमिक भाग बांगोर से वितरित किए गए थे (नीचे #बाहरी लिंक देखें)। इनके भीतर, एक अनौपचारिक, डायरी-समान तरीके से, ग्रोथेंडिक ने बीजगणितीय होमोटोपी सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति और स्टैक (गणित) के एक गैर-अनुक्रमिक सिद्धांत के लिए संभावनाओं के बीच संबंधों पर अपने विचारों को समझाया और विकसित किया। पांडुलिपि, जिसे जी. माल्तसिनियोटिस द्वारा प्रकाशन के लिए संपादित किया जा रहा है, बाद में उनके अन्य स्मारकीय कार्यों, लेस डेरिवेटर्स के लिए नेतृत्व किया। 1991 में लिखा गया, लगभग 2000 पृष्ठों का यह बाद वाला ओपस, पीछा करने वाले ढेर में शुरू होने वाले होमोटोपिकल विचारों को और विकसित करता है।{{sfn|Jackson|2004b}इस कार्य में से अधिकांश ने 1990 के दशक के मध्य में फैबियन मोरेल और व्लादिमीर वोवोडस्की के प्रेरक होमोटॉपी सिद्धांत के बाद के विकास का अनुमान लगाया।

1984 में, ग्रोथेंडिक ने एस्क्विसे डी'उन प्रोग्राम (प्रोग्राम का स्केच) का प्रस्ताव लिखा।[43]सेंटर नेशनल डे ला रीचर्चे साइंटिफिक (सीएनआरएस) में एक पद के लिए। यह जटिल वक्रों के मापांक स्थान के अध्ययन के लिए नए विचारों का वर्णन करता है। हालांकि ग्रोथेंडिक ने कभी भी इस क्षेत्र में अपने काम को प्रकाशित नहीं किया, प्रस्ताव ने अन्य गणितज्ञों को डेसिन डी'फैंट सिद्धांत और एनाबेलियन ज्यामिति का स्रोत बनकर क्षेत्र में काम करने के लिए प्रेरित किया। बाद में, इसे दो-खंडों में प्रकाशित किया गया और इसका शीर्षक था Geometric Galois Actions (कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 1997)।

इस अवधि के दौरान, ग्रोथेंडिक ने बर्टिनी के प्रमेय पर ईजीए के लिए अपने कुछ मसौदों को प्रकाशित करने के लिए अपनी सहमति भी दी। बर्टिनी-टाइप प्रमेय (ईजीए वी, 1992-1993 में उलम क्वार्टरली में प्रकाशित और बाद में .grothendieckcircle.org/ Grothendieck Circle 2004 में वेब साइट)।

1,000 पन्नों की आत्मकथात्मक पांडुलिपि, रेकोल्ट्स एट सेमेल्स (1986) में, ग्रोथेंडिक ने गणित के प्रति अपने दृष्टिकोण और गणितीय समुदाय में अपने अनुभवों का वर्णन किया है, एक ऐसा समुदाय जिसने शुरू में उन्हें एक खुले और स्वागत योग्य तरीके से स्वीकार किया था, लेकिन जिसे उन्होंने उत्तरोत्तर शासित माना। प्रतियोगिता और स्थिति से। वह शिकायत करता है कि समुदाय छोड़ने के बाद उसने अपने काम को दफनाने और अपने पूर्व छात्रों और सहयोगियों द्वारा विश्वासघात के रूप में क्या देखा।[17] Récoltes et semailles का काम अब इंटरनेट पर फ्रेंच मूल में उपलब्ध है,[44] और एक अंग्रेजी अनुवाद चल रहा है। चार खंडों में एक जापानी अनुवाद सर्वाइवर काल से ग्रोथेंडिक के एक मित्र सूजी यूची द्वारा पूरा किया गया था, और इसके पहले तीन खंड 1989 और 1993 के बीच प्रकाशित हुए थे, जबकि चौथा खंड पूरा हो गया है, लेकिन यह कभी प्रकाशित नहीं हुआ। ग्रोथेंडिक ने अनुवाद में मदद की और इसके लिए एक प्रस्तावना लिखी।[45][46] Récoltes et semailles के कुछ हिस्सों का स्पेनिश में अनुवाद किया गया है,[47] साथ ही एक रूसी अनुवाद में जो मास्को में प्रकाशित हुआ था।[48] जनवरी 2022 में फ्रांसीसी मूल को अंततः दो खंडों में प्रकाशित किया गया था, जिसमें विभिन्न व्यवसायों के लोगों द्वारा पुस्तक के कुछ पहलुओं पर चर्चा करने वाले अतिरिक्त पाठ शामिल थे।[49] 1988 में, ग्रोथेंडिक ने मीडिया के लिए एक खुले पत्र के साथ क्राफूर्ड पुरस्कार को अस्वीकार कर दिया। उन्होंने लिखा कि उन्हें और अन्य स्थापित गणितज्ञों को अतिरिक्त वित्तीय सहायता की कोई आवश्यकता नहीं थी और उन्होंने वैज्ञानिक समुदाय की घटती नैतिकता के रूप में जो देखा, उसकी आलोचना की, जो कि एकमुश्त वैज्ञानिक चोरी की विशेषता थी, जो उनका मानना ​​था कि यह सामान्य और सहनशील हो गया था। पत्र ने यह भी विश्वास व्यक्त किया कि सदी के अंत से पहले पूरी तरह से अप्रत्याशित घटनाएं सभ्यता के अभूतपूर्व पतन का कारण बनेंगी। ग्रोथेंडिक ने हालांकि कहा कि उनके विचार किसी भी तरह से रॉयल अकादमी के अपने धन के प्रशासन में उद्देश्यों की आलोचना के रूप में नहीं थे और उन्होंने कहा, मुझे इस असुविधा का खेद है कि क्रेफोर्ड पुरस्कार को स्वीकार करने से इनकार करने से आपको और रॉयल अकादमी को नुकसान हो सकता है।[50] सपनों की कुंजी,[51] 1987 में लिखी गई एक 315-पृष्ठ की पांडुलिपि, ग्रोथेंडिक का लेखा-जोखा है कि कैसे सपनों के स्रोत के बारे में उनके विचार ने उन्हें यह निष्कर्ष निकालने के लिए प्रेरित किया कि ईश्वर का अस्तित्व मौजूद है।[52] इस पांडुलिपि के नोट्स के हिस्से के रूप में, ग्रोथेंडिक ने 18 म्यूटेंट के जीवन और कार्य का वर्णन किया, जिन लोगों की उन्होंने दूरदर्शी के रूप में प्रशंसा की, जो उनके समय से बहुत आगे थे और एक नए युग की शुरुआत कर रहे थे।[5] उनकी सूची में एकमात्र गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन थे।[53] कैथोलिक रहस्यवादी मार्थ रॉबिन से प्रभावित होकर, जिसके बारे में दावा किया गया था कि वह अकेले पवित्र यूचरिस्ट पर जीवित था, ग्रोथेंडिक ने 1988 में लगभग खुद को मौत के घाट उतार दिया।[5] जनवरी 1990 में 250 दोस्तों को भेजे गए लेट्रे डे ला बोने नोवेल नामक एक पत्र में आध्यात्मिक मामलों के साथ उनकी बढ़ती व्यस्तता भी स्पष्ट थी। इसमें उन्होंने एक देवता के साथ अपनी मुलाकातों का वर्णन किया और घोषणा की कि एक नया युग 14 अक्टूबर 1996 को शुरू होगा।[7]

1990 में प्रकाशित द ग्रोथेंडिक फेस्टस्क्रिफ्ट, 1988 में उनके साठवें जन्मदिन को चिह्नित करने के लिए शोध पत्रों का तीन-खंड संग्रह था।[54]

ग्रोथेंडिक के गणितीय और अन्य लेखन के 20,000 से अधिक पृष्ठ मोंटेपेलियर विश्वविद्यालय में रखे गए हैं और अप्रकाशित हैं।[55] उन्हें संरक्षण के लिए डिजिटाइज़ किया गया है और इंस्टीट्यूट मोंटपेलियरेन अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक पोर्टल के माध्यम से खुली पहुंच में स्वतंत्र रूप से उपलब्ध हैं।[56][57]


=== एकांतवास और मृत्यु === में सेवानिवृत्ति 1991 में, ग्रोथेंडिक एक नए पते पर चले गए जिसे उन्होंने गणितीय समुदाय में अपने पिछले संपर्कों के साथ साझा नहीं किया।[5] बाद में बहुत कम लोगों ने उनसे मुलाकात की।[58] टराक्सेकम के एक प्रधान पर रहने की कोशिश करने के बाद स्थानीय ग्रामीणों ने उसे अधिक विविध आहार के साथ बनाए रखने में मदद की।[59] किसी बिंदु पर, लीला श्नेप्स और पियरे लोचाक ने उन्हें ढूंढा, फिर एक संक्षिप्त पत्राचार किया। इस प्रकार वे उसके संपर्क में आने वाले गणितीय प्रतिष्ठान के अंतिम सदस्यों में से बन गए।[60] उनकी मृत्यु के बाद, यह पता चला कि वे पायरेनीज़ के तल पर एक छोटे से गाँव, एरीगे, लसेरे में एक घर में अकेले रहते थे।[61] जनवरी 2010 में, ग्रोथेंडिक ने ल्यूक इलूसी को डेक्लेरेशन डी इंटेंशन डे नॉन-पब्लिकेशन नाम का पत्र लिखा, जिसमें दावा किया गया कि उनकी अनुपस्थिति में प्रकाशित सभी सामग्री उनकी अनुमति के बिना प्रकाशित की गई थी। उन्होंने कहा कि उनके किसी भी काम को पूरी तरह या आंशिक रूप से पुन: प्रस्तुत नहीं किया जाना चाहिए और इस काम की प्रतियां पुस्तकालयों से हटा दी जानी चाहिए।[62] उन्होंने अपने काम के लिए समर्पित एक वेबसाइट को घृणित बताया।[63] हो सकता है कि 2010 में उनका हुक्म पलट दिया गया हो।[64] 13 नवंबर 2014 को, 86 वर्ष की आयु में, ग्रोथेंडिक की सेंट-गिरोन्स, एरीगे के अस्पताल में मृत्यु हो गई।[26][65]


नागरिकता

ग्रोथेंडिक का जन्म वीमर गणराज्य में हुआ था। 1938 में, दस वर्ष की आयु में, वे शरणार्थी के रूप में फ्रांस चले गए। 1945 में तीसरे रैह में उनकी राष्ट्रीयता के रिकॉर्ड नष्ट कर दिए गए और उन्होंने युद्ध के बाद फ्रांसीसी नागरिकता के लिए आवेदन नहीं किया। इस प्रकार, वह कम से कम अपने अधिकांश कामकाजी जीवन के लिए स्टेटलेसनेस व्यक्ति बन गए और उन्होंने नानसेन पासपोर्ट पर यात्रा की।[2][3][4] फ्रांसीसी राष्ट्रीयता धारण करने की उनकी अनिच्छा का एक हिस्सा, विशेष रूप से अल्जीरियाई युद्ध (1954-62) के कारण, फ्रांसीसी सेना में सेवा करने की इच्छा न रखने के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है।[1][4][15] 1980 के दशक की शुरुआत में उन्होंने अंततः फ्रांसीसी नागरिकता के लिए आवेदन किया, जब वह उस उम्र से काफी आगे निकल चुके थे जिसने उन्हें सैन्य सेवा से छूट दी थी।[1]

परिवार

ग्रोथेंडिक अपनी मां के बहुत करीब थे, जिन्हें उन्होंने अपना शोध प्रबंध समर्पित किया था। 1957 में तपेदिक से उनकी मृत्यु हो गई थी कि वह विस्थापित व्यक्तियों के लिए शिविरों में अनुबंधित थीं।[42]

उनके पांच बच्चे थे: नैन्सी में रहने के दौरान उनकी मकान मालकिन के साथ एक बेटा; [1] तीन बच्चे, जोहाना (1959), अलेक्जेंडर (1961), और मैथ्यू (1965) अपनी पत्नी मिरेइल डुफोर के साथ;[5][34] और जस्टिन स्कलबा के साथ एक बच्चा, जिसके साथ वह 1970 के दशक की शुरुआत में एक कम्यून में रहता था।[5]

गणितीय कार्य

ग्रोथेंडिक का प्रारंभिक गणितीय कार्य कार्यात्मक विश्लेषण में था। 1949 और 1953 के बीच उन्होंने नैन्सी, फ्रांस में इस विषय में अपने डॉक्टरेट थीसिस पर काम किया, जिसकी देखरेख जीन डायडोने और लॉरेंट श्वार्ट्ज ने की। उनके प्रमुख योगदानों में टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के टोपोलॉजिकल टेन्सर उत्पाद, श्वार्ट्ज वितरण के लिए परमाणु अंतरिक्ष का सिद्धांत और एलपी स्पेस का अनुप्रयोग शामिल हैं। एलp टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के बीच रैखिक मानचित्रों का अध्ययन करने में रिक्त स्थान। कुछ वर्षों में, वह कार्यात्मक विश्लेषण के इस क्षेत्र पर एक अग्रणी प्राधिकरण बन गया था - इस हद तक कि डियूडोने इस क्षेत्र में अपने प्रभाव की तुलना स्टीफन बानाच से करता है।[66]

हालाँकि, यह बीजगणितीय ज्यामिति और संबंधित क्षेत्रों में है जहाँ ग्रोथेंडिक ने अपना सबसे महत्वपूर्ण और प्रभावशाली काम किया है। लगभग 1955 से उन्होंने शीफ (गणित) सिद्धांत और समरूप बीजगणित पर काम करना शुरू किया, प्रभावशाली तोहोकू पेपर (Sur quelques points d'algèbre homologique, 1957 में तोहोकू गणितीय जर्नल में प्रकाशित) का निर्माण किया, जहां उन्होंने एबेलियन श्रेणी की शुरुआत की और उनके सिद्धांत को लागू किया। दिखाएँ कि इस संदर्भ में शीफ कोहोलॉजी को कुछ व्युत्पन्न फंक्शंस के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।[17]

जीन-पियरे सेरे द्वारा बीजगणितीय ज्यामिति में होमोलॉजिकल विधियों और शीफ सिद्धांत को पहले ही पेश किया जा चुका था[67] और अन्य, जॉन लेरे द्वारा शेवों को परिभाषित किए जाने के बाद। ग्रोथेंडिक उन्हें अमूर्तता के एक उच्च स्तर पर ले गए और उन्हें अपने सिद्धांत के एक प्रमुख आयोजन सिद्धांत में बदल दिया। उन्होंने व्यक्तिगत किस्मों के अध्ययन से अपने ग्रोथेंडिक के सापेक्ष दृष्टिकोण (आकारिता से संबंधित किस्मों के जोड़े) पर ध्यान केंद्रित किया, जिससे कई शास्त्रीय प्रमेयों के व्यापक सामान्यीकरण की अनुमति मिली।[42] पहला प्रमुख अनुप्रयोग सेरे के प्रमेय का सापेक्ष संस्करण था जो दिखा रहा था कि एक पूर्ण विविधता पर एक सुसंगत शीफ का कोहोलॉजी परिमित-आयामी है; ग्रोथेंडिक के प्रमेय से पता चलता है कि एक उचित मानचित्र के तहत सुसंगत ढेरों की उच्च प्रत्यक्ष छवियां सुसंगत हैं; यह एक बिंदु स्थान पर सेरे के प्रमेय को कम करता है।

1956 में, उन्होंने उसी सोच को रीमैन-रोच प्रमेय पर लागू किया, जिसे हाल ही में फ्रेडरिक हिर्जेब्रुक द्वारा किसी भी आयाम के लिए सामान्यीकृत किया गया था। ग्रोथेंडिक-रीमैन-रोच प्रमेय की घोषणा ग्रोथेंडिक ने 1957 में बॉन में प्रारंभिक गणितीय कार्यशाला में की थी।[42] यह सेरे के साथ आर्मंड बोरेल द्वारा लिखे गए एक पेपर में प्रिंट में दिखाई दिया। यह परिणाम बीजगणितीय ज्यामिति में उनका पहला काम था। ग्रोथेंडिक ने बीजगणितीय ज्यामिति की नींव के पुनर्निर्माण के लिए एक कार्यक्रम की योजना बनाई और उसे क्रियान्वित किया, जो उस समय प्रवाह की स्थिति में था और क्लाउड चेवेली के संगोष्ठी में चर्चा के अधीन था। उन्होंने 1958 में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में अपनी बातचीत में अपने कार्यक्रम को रेखांकित किया।

बीजगणितीय ज्यामिति पर उनका मूलभूत कार्य सभी पूर्व संस्करणों की तुलना में अमूर्तता के उच्च स्तर पर है। उन्होंने गैर-बंद सामान्य बिंदुओं के उपयोग को अनुकूलित किया, जिससे योजना के सिद्धांत (गणित) को बढ़ावा मिला। ग्रोथेंडिक ने nilpotent के व्यवस्थित उपयोग का भी बीड़ा उठाया। 'फ़ंक्शंस' के रूप में ये केवल 0 का मान ले सकते हैं, लेकिन विशुद्ध रूप से बीजगणितीय सेटिंग्स में, वे असीम जानकारी रखते हैं। उनकी योजनाओं का सिद्धांत इस क्षेत्र के लिए अपनी अभिव्यक्ति के साथ-साथ इसकी तकनीकी गहराई के लिए सर्वश्रेष्ठ सार्वभौमिक आधार के रूप में स्थापित हो गया है। उस सेटिंग में एक द्विभाजित ज्यामिति, संख्या सिद्धांत से तकनीक, गैलोइस सिद्धांत, कम्यूटेटिव बीजगणित, और बीजगणितीय टोपोलॉजी के तरीकों के करीबी अनुरूप, सभी एक एकीकृत तरीके से उपयोग कर सकते हैं।[17][68][69] ग्रोथेंडिक को गणित के अमूर्त दृष्टिकोण की महारत और सूत्रीकरण और प्रस्तुति के मामलों में पूर्णतावाद के लिए जाना जाता है।[37]1960 के बाद उनके काम का अपेक्षाकृत कम हिस्सा सीखा पत्रिका के पारंपरिक मार्ग द्वारा प्रकाशित किया गया था, जो शुरू में संगोष्ठी नोटों के डुप्लिकेट संस्करणों में प्रसारित हुआ था; उनका प्रभाव काफी हद तक व्यक्तिगत था। उनका प्रभाव गणित की कई अन्य शाखाओं में फैल गया, उदाहरण के लिए डी-मॉड्यूल के समकालीन सिद्धांत। हालांकि गणित के आइंस्टीन के रूप में उनकी सराहना की गई, उनके काम ने प्रतिकूल प्रतिक्रियाओं को भी उकसाया, कई गणितज्ञों ने अधिक ठोस क्षेत्रों और समस्याओं की तलाश की।[70][71]


ईजीए, एसजीए, एफजीए

ग्रोथेंडिक के प्रकाशित काम का बड़ा हिस्सा स्मारकीय, अभी तक अधूरा, बीजगणितीय ज्यामिति के तत्व (ईजीए) और बीजगणितीय ज्यामिति (एसजीए) में संगोष्ठी में एकत्र किया गया है। संग्रह, फ़ाउंडेशन ऑफ़ अलजेब्राइक ज्योमेट्री (FGA), जो सेमीनायर बोरबाकी में दी गई वार्ताओं को एक साथ इकट्ठा करता है, में महत्वपूर्ण सामग्री भी शामिल है।[17]

ग्रोथेंडिक के काम में एटले कोहोलॉजी|एटेल और एल-एडिक कोहोलॉजी सिद्धांतों का आविष्कार शामिल है, जो एंड्रे वेइल द्वारा किए गए एक अवलोकन की व्याख्या करता है जो विभिन्न प्रकार की टोपोलॉजिकल विशेषताओं और इसके डायोफैंटाइन (संख्या सिद्धांत) गुणों के बीच संबंध के लिए तर्क देता है।[42] उदाहरण के लिए, किसी परिमित क्षेत्र पर किसी समीकरण के हलों की संख्या सम्मिश्र संख्याओं पर उसके हलों की सामयिक प्रकृति को दर्शाती है। वेइल ने महसूस किया था कि इस तरह के संबंध को साबित करने के लिए, एक नए कोहोलॉजी सिद्धांत की आवश्यकता होती है, लेकिन न तो उन्होंने और न ही किसी अन्य विशेषज्ञ ने यह देखा कि इसे कैसे पूरा किया जाए जब तक कि इस तरह के सिद्धांत को ग्रोथेंडिक द्वारा व्यक्त नहीं किया गया।

इस कार्यक्रम का समापन वेइल अनुमानों के प्रमाणों में हुआ, जिनमें से अंतिम को ग्रोथेंडिक के छात्र पियरे डेलिग्ने ने 1970 के दशक की शुरुआत में तय किया था, जब ग्रोथेंडिक गणित से काफी हद तक हट गए थे।[17]

प्रमुख गणितीय योगदान

ग्रोथेंडिक के पूर्वव्यापी रेकोल्ट्स एट सेमेल्स में, उन्होंने अपने बारह योगदानों की पहचान की जिन्हें वे महान विचारों के रूप में योग्य मानते थे।[72] कालानुक्रमिक क्रम में, वे हैं:

  1. टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद और परमाणु स्थान
  2. निरंतर और असतत द्वैत (गणित) (व्युत्पन्न श्रेणी, छह संक्रियाएं (गणित))
  3. ग्रोथेंडिक-रीमैन-रोच प्रमेय का योग के-सिद्धांत प्रतिच्छेदन सिद्धांत के साथ संबंध
  4. योजना (गणित)।
  5. टोपोस
  6. Étale cohomology और l-adic cohomology
  7. मकसद (बीजगणितीय ज्यामिति) और प्रेरक गैलोज़ समूह (ग्रोथेंडिक ⊗-श्रेणियां)
  8. क्रिस्टल और क्रिस्टलीय कोहोलॉजी, डी रम गुणांक का योग, हॉज गुणांक ...
  9. टोपोलॉजिकल बीजगणित: ∞-स्टैक, डेरिवेटर; एक नए समस्थानिक बीजगणित के लिए प्रेरणा के रूप में टोपोई की कोहोमोलॉजिकल औपचारिकता
  10. टेम टोपोलॉजी
  11. एनाबेलियन ज्यामिति का योग, गैलोइस-टीचमुलर सिद्धांत
  12. नियमित पॉलीहेड्रॉन और सभी प्रकार के नियमित विन्यास के लिए योजनाबद्ध या अंकगणितीय दृष्टिकोण

यहाँ योग शब्द एक प्रकार के मेटा-थ्योरी को दर्शाता है जिसका उपयोग ह्यूरिस्टिक रूप से किया जा सकता है; माइकल रेनॉड अन्य शब्दों को एराडने के सूत्र और दर्शन को प्रभावी समकक्ष के रूप में लिखते हैं।[73] ग्रोथेंडिक ने लिखा है कि, इन विषयों में, सबसे बड़ा क्षेत्र टोपोई था, क्योंकि उन्होंने बीजगणितीय ज्यामिति, टोपोलॉजी और अंकगणित को संश्लेषित किया था। जो विषय सबसे व्यापक रूप से विकसित किया गया था वह योजनाएं थीं, जो अन्य आठ विषयों (सभी लेकिन 1, 5 और 12) के लिए उत्कृष्ट रूपरेखा थीं। ग्रोथेंडिक ने लिखा है कि पहली और आखिरी थीम, टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद और नियमित कॉन्फ़िगरेशन, अन्य की तुलना में अधिक मामूली आकार के थे। टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पादों ने आगे के विकास के लिए प्रेरणा स्रोत के बजाय एक उपकरण की भूमिका निभाई थी; लेकिन उन्हें उम्मीद थी कि एक गणितज्ञ के जीवनकाल में नियमित विन्यास समाप्त नहीं हो सकता, जिसने खुद को इसके लिए समर्पित कर दिया। उनका मानना ​​था कि सबसे गहरे विषय मकसद, एनाबेलियन ज्यामिति और गैलोइस-टीचमुलर सिद्धांत थे।[74]

प्रभाव

कई लोग ग्रोथेंडिक को बीसवीं सदी का महानतम गणितज्ञ मानते हैं।[11]मृत्युलेख में डेविड ममफोर्ड और जॉन टेट (गणितज्ञ) ने लिखा:

यद्यपि 20वीं सदी में गणित अधिक से अधिक सारगर्भित और सामान्य होता गया, यह अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक थे जो इस प्रवृत्ति के सबसे बड़े गुरु थे। उनका अनूठा कौशल सभी अनावश्यक परिकल्पनाओं को खत्म करना और एक क्षेत्र में इतनी गहराई से डूबना था कि सबसे अमूर्त स्तर पर इसके आंतरिक पैटर्न खुद को प्रकट करते थे - और फिर, एक जादूगर की तरह, दिखाते हैं कि कैसे पुरानी समस्याओं का समाधान सीधे तरीकों से गिर गया वास्तविक स्वरूप प्रकाशित हो चुकी है।.[11]</ब्लॉककोट>

1970 के दशक तक, ग्रोथेंडिक के काम को प्रभावशाली के रूप में देखा गया था, न केवल बीजगणितीय ज्यामिति और शीफ सिद्धांत और समरूप बीजगणित के संबद्ध क्षेत्रों में,[75] लेकिन श्रेणीबद्ध तर्क के क्षेत्र में तर्क को प्रभावित किया।[76]


ज्यामिति

ग्रोथेंडिक ने क्षेत्र की नींव को स्पष्ट करके और कई उल्लेखनीय अनुमानों को साबित करने के उद्देश्य से गणितीय उपकरण विकसित करके बीजगणितीय ज्यामिति से संपर्क किया। बीजगणितीय ज्यामिति का पारंपरिक रूप से अर्थ उन वस्तुओं के लिए बीजगणितीय समीकरणों के अध्ययन के माध्यम से ज्यामितीय वस्तुओं, जैसे बीजगणितीय घटता और सतहों की समझ है। वलय सिद्धांत की तकनीकों का उपयोग करके बीजगणितीय समीकरणों के गुणधर्मों का अध्ययन किया जाता है। इस दृष्टिकोण में, एक ज्यामितीय वस्तु के गुण संबंधित वलय के गुणों से संबंधित होते हैं। वह स्थान (जैसे, वास्तविक, जटिल, या प्रक्षेपी) जिसमें वस्तु को परिभाषित किया गया है, वह वस्तु के लिए बाहरी है, जबकि वलय आंतरिक है।

ग्रोथेंडिक ने आंतरिक रिक्त स्थान (स्पेक्ट्रा) और संबद्ध छल्लों को अध्ययन की प्राथमिक वस्तु बनाकर बीजगणितीय ज्यामिति के लिए एक नई नींव रखी। उस अंत तक, उन्होंने योजना (गणित) के सिद्धांत को विकसित किया जिसे अनौपचारिक रूप से टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान के रूप में माना जा सकता है, जिस पर अंतरिक्ष के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय से एक क्रमविनिमेय अंगूठी जुड़ा हुआ है। योजनाएँ आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति के चिकित्सकों के लिए अध्ययन की मूल वस्तु बन गई हैं। नींव के रूप में उनका उपयोग ज्यामिति को अन्य क्षेत्रों से तकनीकी प्रगति को अवशोषित करने की अनुमति देता है।[77] शास्त्रीय रीमैन-रोच प्रमेय के उनके ग्रोथेंडिक-हिरजेब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय जटिल बीजगणितीय वक्रों के टोपोलॉजिकल गुणों को उनके बीजगणितीय संरचना से संबंधित करते हैं और अब उनका नाम धारण करते हैं, जिसे ग्रोथेंडिक-हिरजेब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय कहा जाता है। इस प्रमेय को साबित करने के लिए उन्होंने जो उपकरण विकसित किए, उन्होंने बीजगणितीय के-सिद्धांत और टोपोलॉजिकल के-सिद्धांत का अध्ययन शुरू किया, जो वस्तुओं के सांस्थितिक गुणों को छल्ले के साथ जोड़कर खोजता है।[78] बॉन कार्यशाला में ग्रोथेंडिक के विचारों के साथ सीधे संपर्क के बाद, सामयिक के-सिद्धांत की स्थापना माइकल अतियाह और फ्रेडरिक हिरजेब्रुक ने की थी।[79]


सह-समरूपता सिद्धांत

ग्रोथेंडिक के नए कोहोलॉजी सिद्धांतों का निर्माण, जो स्थलीय वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करते हैं, ने बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, बीजगणितीय टोपोलॉजी और प्रतिनिधित्व सिद्धांत के विकास को प्रभावित किया है। इस परियोजना के हिस्से के रूप में, टोपोस सिद्धांत की उनकी रचना, बिंदु-सेट टोपोलॉजी का एक श्रेणी-सैद्धांतिक सामान्यीकरण, ने सेट सिद्धांत और गणितीय तर्क के क्षेत्रों को प्रभावित किया है।[75]

1940 के दशक के अंत में अंकगणित ज्यामिति में गणितीय समस्याओं के एक सेट के रूप में वेइल अनुमान तैयार किए गए थे। वे एक बीजगणितीय वक्र या उच्च आयाम की विविधता पर अंकों की संख्या के विश्लेषणात्मक आक्रमणकारियों के गुणों का वर्णन करते हैं, जिन्हें स्थानीय जीटा फ़ंक्शन कहा जाता है। ℓ-adic étale cohomology, Weil cohomology सिद्धांत का पहला उदाहरण, Grothendieck की खोज ने Weil अनुमानों के प्रमाण के लिए रास्ता खोल दिया, अंततः 1970 के दशक में उनके छात्र पियरे Deligne द्वारा पूरा किया गया।[78]ग्रोथेंडिक के बड़े पैमाने के दृष्टिकोण को एक दूरदर्शी कार्यक्रम कहा गया है।[80] ℓ-adic cohomology तब लैंगलैंड्स कार्यक्रम के अनुप्रयोगों के साथ संख्या सिद्धांतकारों के लिए एक मौलिक उपकरण बन गया।[81] मोटिव (बीजीय ज्यामिति) के ग्रोथेंडिक के अनुमानित सिद्धांत का उद्देश्य ℓ-एडिक सिद्धांत होना था लेकिन ℓ की पसंद के बिना, एक अभाज्य संख्या। यह वेइल अनुमानों के लिए इच्छित मार्ग प्रदान नहीं करता था, लेकिन बीजगणितीय के-सिद्धांत, प्रेरक कोहोलॉजी और प्रेरक एकीकरण में आधुनिक विकास के पीछे रहा है।[82] यह सिद्धांत, डैनियल क्विलन का काम, और चेर्न वर्ग के ग्रोथेंडिक के सिद्धांत को बीजगणितीय कोबोर्डिज़्म के सिद्धांत की पृष्ठभूमि माना जाता है, सामयिक विचारों का एक और बीजगणितीय एनालॉग।[83]


श्रेणी सिद्धांत

विभिन्न गणितीय संरचनाओं में सार्वभौमिक संपत्ति की भूमिका पर ग्रोथेंडिक के जोर ने सामान्य रूप से गणित के लिए एक आयोजन सिद्धांत के रूप में श्रेणी सिद्धांत को मुख्यधारा में लाया। इसके उपयोगों के बीच, श्रेणी सिद्धांत कई अलग-अलग गणितीय प्रणालियों में देखी जाने वाली समान संरचनाओं और तकनीकों का वर्णन करने के लिए एक सामान्य भाषा बनाता है।[84] एबेलियन श्रेणी की उनकी धारणा अब होमोलॉजिकल बीजगणित में अध्ययन का मूल उद्देश्य है।[85] श्रेणी सिद्धांत के एक अलग गणितीय अनुशासन के उद्भव को ग्रोथेंडिक के प्रभाव के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है, हालांकि अनजाने में।[86]


लोकप्रिय संस्कृति में

प्यूर्टो रिकान-कोस्टा रिकान लेखक कार्लोस फोन्सेका का उपन्यास कर्नल लाग्रिमास (अंग्रेज़ी में कर्नल टीयर्स, रेस्टलेस बुक्स द्वारा उपलब्ध है) ग्रोथेंडिक के बारे में एक अर्धजीवनी उपन्यास है।[87] बैंड स्टोन हिल ऑल स्टार्स के पास अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के नाम पर एक गीत है।[88] उपन्यास में जब हम दुनिया को समझना बंद कर देते हैं, बेंजामिन लैबटुट ने ग्रोथेंडिक की कहानी के लिए एक अध्याय समर्पित किया है।[89] कॉर्मैक मैक्कार्थी के उपन्यास द पैसेंजर (मैककार्थी उपन्यास) और इसकी अगली कड़ी स्टेला मैरिस (उपन्यास) में मुख्य पात्रों में से एक ग्रोथेंडिक का छात्र है। [90]


प्रकाशन

  • Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Topological Tensor Products and Nuclear Spaces]. Memoirs of the American Mathematical Society Series (in français). Providence: American Mathematical Society. 16. ISBN 978-0-8218-1216-7. MR 0075539. OCLC 1315788.
  • Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.


यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Testimony by Pierre Cartier asserts that his mother was of Jewish German descent: "what I know of his life comes from Grothendieck himself".[15]
  2. ↑ Ruelle invented the concept of a strange attractor in a dynamical system and, with the Dutch mathematician Floris Takens, produced a new model for turbulence during the 1970s.


संदर्भ

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  2. ↑ 2.0 2.1 2.2 Douroux 2012.
  3. ↑ 3.0 3.1 Cartier 2004, p. 10, footnote 12.
  4. ↑ 4.0 4.1 4.2 Kleinert 2007.
  5. ↑ 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 Scharlau 2008.
  6. ↑ Cartier et al. 2007, p. 7.
  7. ↑ 7.0 7.1 7.2 7.3 Jackson 2004b.
  8. ↑ 8.0 8.1 8.2 Bruce Weber; Julie Rehmeyer (14 November 2014). "Alexander Grothendieck, Math Enigma, Dies at 86". The New York Times. Archived from the original on 1 January 2022.
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  10. ↑ "अभिभावक मृत्युलेख". Independent.co.uk.
  11. ↑ 11.0 11.1 11.2 Alexander Grothendieck obituary by David Mumford and John Tate David Mumford at Brown and Harvard Universities: Archive for Reprints: Can one explain schemes to biologists, 14 December 2014
  12. ↑ "Fields Medals 1966". mathunion.org. Archived from the original on 22 March 2019. Retrieved 5 January 2022.
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  15. ↑ 15.0 15.1 Cartier 2001.
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  18. ↑ Philippe Douroux (6 May 2019). "Trésor scientifique ou vieux papiers illisibles? Les mystérieuses archives d'Alexandre Grothendieck" [Scientific treasure or unreadable old paper? The mysterious archives of Alexandre Grothendieck]. Le Monde (in français).
  19. ↑ Scharlau 2008, p. 931.
  20. ↑ Scharlau n.d., p. 2: "Beide beteiligten sich am Spanischen Bürgerkrieg, nicht aktiv kämpfend, aber unterstützend."
  21. ↑ Hersh & John-Steiner 2011, p. 109.
  22. ↑ 22.0 22.1 22.2 22.3 Amir D. Aczel,The Artist and the Mathematician, Basic Books, 2009 pp.8ff.pp.8–15.
  23. ↑ Piotr Pragacz, 'Notes on the Life and Work of Alexander Grothendieck,' in Piotr Pragacz (ed.), Topics in Cohomological Studies of Algebraic Varieties: Impanga Lecture Notes, Springer Science & Business Media, 2006 pp-xi-xxviii p.xii.
  24. ↑ 24.0 24.1 Luca Barbieri Viale, 'Alexander Grothendieck:entusiasmo e creatività,' in C. Bartocci, R. Betti, A. Guerraggio, R. Lucchetti (eds.,) Vite matematiche: Protagonisti del '900, da Hilbert a Wiles, Springer Science & Business Media, 2007 pp.237–249 p.237.
  25. ↑ Ruelle 2007, p. 35.
  26. ↑ 26.0 26.1 "Alexandre Grothendieck, ou la mort d'un génie qui voulait se faire oublier". Libération Sciences (in français). 13 November 2014. Retrieved 14 November 2014.
  27. ↑ Philippe Douroux (8 February 2012). "Alexandre Grothendieck: Un voyage à la poursuite des choses évidentes" [Alexander Grothendieck: A journey in pursuit of the obvious]. Images des mathématiques (in français). CNRS.
  28. ↑ Peixoto, Tatiana; Bietenholza, Wolfgang (2016). "To the Memory of Alexander Grothendieck: a Great and Mysterious Genius of Mathematics". arXiv:1605.08112 [math.HO].
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