तन्नाकियन औपचारिकता

गणित में, तन्नाकियन श्रेणी एक विशेष प्रकार की मोनोइडल श्रेणी सी है, जो किसी दिए गए क्षेत्र (गणित) के के सापेक्ष कुछ अतिरिक्त संरचना से सुसज्जित है। ऐसी श्रेणियों सी की भूमिका के के ऊपर परिभाषित बीजगणितीय समूह जी के रैखिक प्रतिनिधित्व की श्रेणी को सामान्यीकृत करना है। समकालीन बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत के कुछ केंद्रीय अनुमानों की खोज में सिद्धांत के कई प्रमुख अनुप्रयोग किए गए हैं, या किए जा सकते हैं।

यह नाम तादाओ तनाका और तन्नाका-क्रेइन द्वैत से लिया गया है, जो कॉम्पैक्ट समूह जी और उनके प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बारे में एक सिद्धांत है। यह सिद्धांत सबसे पहले अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के स्कूल में विकसित किया गया था। बाद में पियरे डेलिग्ने द्वारा इस पर पुनर्विचार किया गया और कुछ सरलीकरण किये गये। सिद्धांत का पैटर्न ग्रोथेंडिक के गैलोइस सिद्धांत का है, जो समूह जी के परिमित क्रमपरिवर्तन प्रतिनिधित्व (सममित समूह) के बारे में एक सिद्धांत है जो अनंत समूह हैं।

सिद्धांत का सार यह है कि गैलोज़ सिद्धांत के फाइबर ऑपरेटर Φ को C से K के ऊपर परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में एक सटीक और वफादार टेंसर फ़ैक्टर F द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। . के प्राकृतिक परिवर्तनों का समूह, जो गैलोज़ सिद्धांत में एक अनंत समूह बन जाता है, को एफ के प्राकृतिक परिवर्तनों के समूह जी द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो टेंसर संरचना का सम्मान करता है . यह सामान्य तौर पर एक बीजगणितीय समूह नहीं है बल्कि एक अधिक सामान्य समूह योजना है जो बीजगणितीय समूहों (प्रो-बीजगणितीय समूह) की व्युत्क्रम सीमा है, और सी को तब परिमित-आयामी रैखिक प्रतिनिधित्व की श्रेणी के बराबर पाया जाता है जी का.

अधिक आम तौर पर, यह हो सकता है कि फाइबर फ़ैक्टर्स एफ जैसा कि ऊपर दिया गया है, केवल गैर-तुच्छ विस्तार क्षेत्रों एल/के पर परिमित आयामी वेक्टर स्थानों की श्रेणियों के लिए मौजूद है। ऐसे मामलों में समूह योजना जी को पुलिंदा से बदल दिया जाता है ${\mathcal {G}}$ स्पेक (के) के फ्लैट टोपोलॉजी पर, और सी तब (परिमित-आयामी) प्रतिनिधित्व की श्रेणी के बराबर है ${\mathcal {G}}$.

तन्नाकियन श्रेणियों की औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि K एक फ़ील्ड है और C एक K-रैखिक एबेलियन श्रेणी कठोर श्रेणी टेंसर (यानी, एक सममित मोनोइडल श्रेणी) श्रेणी है, जैसे कि $\mathrm {End} (\mathbf {1} )\cong K$. तब C एक 'टैनाकियन श्रेणी' है (K के ऊपर) यदि K का एक विस्तार क्षेत्र L है, जैसे कि K-रेखीय सटीक फ़ैक्टर और वफादार फ़ैक्टर टेंसर फ़ैक्टर (यानी, एक मोनोइडल फ़ैक्टर) F मौजूद है, C से फिनवेक्ट तक | परिमित आयामी एल-वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी। K के ऊपर एक तन्नाकियन श्रेणी 'तटस्थ' है यदि ऐसा सटीक वफादार टेंसर फ़ंक्टर F L=K के साथ मौजूद है।

अनुप्रयोग

निर्माण का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत के प्रकाश में हॉज संरचना या एल-एडिक प्रतिनिधित्व पर विचार किया जाना है। उदाहरण के लिए, ममफोर्ड-टेट समूह और मोटिविक गैलोज़ समूह को संभावित रूप से एक कोहोमोलॉजी समूह या गैलोइस मॉड्यूल से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, जो कि एक मध्यस्थ टैनाकियन श्रेणी के माध्यम से उत्पन्न होता है।

अनुप्रयोग के वे क्षेत्र मकसद (बीजगणितीय ज्यामिति) के सिद्धांत से निकटता से जुड़े हुए हैं। एक अन्य स्थान जहां टैनाकियन श्रेणियों का उपयोग किया गया है वह ग्रोथेंडिक-काट्ज़ पी-वक्रता अनुमान के संबंध में है; दूसरे शब्दों में, मोनोड्रोमी समूहों को सीमित करने में।

ज्यामितीय सैटके तुल्यता लैंगलैंड्स दोहरे समूह के प्रतिनिधित्व के बीच एक तुल्यता स्थापित करती है ${}^{L}G$ एक रिडक्टिव समूह जी और जी से जुड़े एफ़िन ग्रासमैनियन पर कुछ समतुल्य विकृत शीफ। यह समतुल्यता लैंगलैंड्स दोहरे समूह का एक गैर-कॉम्बिनेटरियल निर्माण प्रदान करती है। यह दिखाकर सिद्ध किया गया है कि विकृत पूलों की उल्लिखित श्रेणी एक तन्नाकियन श्रेणी है और इसके तन्नाका दोहरे समूह की पहचान की जा रही है ${}^{L}G$.

एक्सटेंशन

Wedhorn (2004) ने उस स्थिति में आंशिक तन्नाका द्वैत परिणाम स्थापित किया है जहां श्रेणी आर-रैखिक है, जहां आर अब एक क्षेत्र नहीं है (जैसा कि शास्त्रीय तन्नाकियन द्वैत में है), लेकिन कुछ मूल्यांकन रिंग हैं।

संदर्भ

• Deligne, Pierre (2007) [1990], "Catégories tannakiennes", The Grothendieck Festschrift, vol. II, Birkhauser, pp. 111–195, ISBN 9780817645755
• Deligne, Pierre; Milne, James (1982), "Tannakian categories", in Deligne, Pierre; Milne, James; Ogus, Arthur; Shih, Kuang-yen (eds.), Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, Lecture Notes in Mathematics, vol. 900, Springer, pp. 101–228, ISBN 978-3-540-38955-2
• Saavedra Rivano, Neantro (1972), Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Mathematics, vol. 265, Springer, ISBN 978-3-540-37477-0, MR 0338002
• Wedhorn, Torsten (2004), "On Tannakian duality over valuation rings", Journal of Algebra, 282 (2): 575–609, doi:10.1016/j.jalgebra.2004.07.024, MR 2101076

अग्रिम पठन

• M. Larsen and R. Pink. Determining representations from invariant dimensions. Invent. math., 102:377–389, 1990.