गैर स्थानीय ऑपरेटर

गणित में, एक नॉनलोकल ऑपरेटर (गणित) एक मैपिंग (गणित) है जो टोपोलॉजिकल स्पेस पर कार्यों को इस तरह से मैप करता है कि किसी दिए गए बिंदु पर आउटपुट फ़ंक्शन का मान केवल इनपुट के मूल्यों से निर्धारित नहीं किया जा सकता है किसी भी बिंदु के किसी भी पड़ोस में कार्य करें। गैर-स्थानीय ऑपरेटर का एक उदाहरण फूरियर रूपांतरण है।

औपचारिक परिभाषा

होने देना $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें, $Y$ एक सेट (गणित), $F(X)$ एक कार्य स्थान जिसमें किसी फ़ंक्शन के डोमेन के साथ फ़ंक्शन होते हैं $X$ , और $G(Y)$ एक फ़ंक्शन स्पेस जिसमें डोमेन के साथ फ़ंक्शन होते हैं $Y$ . दो कार्य $u$ और $v$ में $F(X)$ पर समकक्ष कहलाते हैं $x\in X$ यदि कोई पड़ोस मौजूद है (गणित) $N$ का $x$ ऐसा है कि $u(x')=v(x')$ सभी के लिए $x'\in N$ . एक ऑपरेटर $A:F(X)\to G$ प्रत्येक के लिए स्थानीय कहा जाता है $y\in Y$ वहाँ एक मौजूद है $x\in X$ ऐसा है कि $Au(y)=Av(y)$ सभी कार्यों के लिए $u$ और $v$ में $F(X)$ जो कि समतुल्य हैं $x$ . एक गैर-स्थानीय ऑपरेटर एक ऐसा ऑपरेटर है जो स्थानीय नहीं है।

स्थानीय ऑपरेटर के लिए मूल्य की गणना करना (सैद्धांतिक रूप से) संभव है $Au(y)$ के मूल्यों के केवल ज्ञान का उपयोग करना $u$ एक बिंदु के मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस में $x$ . एक गैर-स्थानीय ऑपरेटर के लिए यह संभव नहीं है।

उदाहरण

विभेदक संचालिका स्थानीय ऑपरेटरों के उदाहरण हैं^{[citation needed]}. (रैखिक) गैर-स्थानीय ऑपरेटरों का एक बड़ा वर्ग अभिन्न परिवर्तन द्वारा दिया जाता है, जैसे फूरियर ट्रांसफॉर्म और लाप्लास परिवर्तन स्वरूप के समग्र परिवर्तन के लिए

(Au)(y)=\int \limits _{X}u(x)\,K(x,y)\,dx,

कहाँ $K$ कुछ कर्नेल फ़ंक्शन हैं, जिनके मान जानना आवश्यक है $u$ लगभग हर जगह पर (गणित) का समर्थन है $K(\cdot ,y)$ के मूल्य की गणना करने के लिए $Au$ पर $y$ .

एकवचन इंटीग्रल ऑपरेटर का एक उदाहरण आंशिक लाप्लासियन है

(-\Delta )^{s}f(x)=c_{d,s}\int \limits _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {f(x)-f(y)}{|x-y|^{d+2s}}}\,dy.

प्रीफ़ेक्टर $c_{d,s}:={\frac {4^{s}\Gamma (d/2+s)}{\pi ^{d/2}|\Gamma (-s)|}}$ इसमें गामा फ़ंक्शन शामिल है और एक सामान्यीकरण कारक के रूप में कार्य करता है। उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक लाप्लासियन गैर-स्थानीय न्यूनतम सतहों के अध्ययन में एक भूमिका निभाता है।^[1]

अनुप्रयोग

गैर-स्थानीय ऑपरेटरों के अनुप्रयोगों के कुछ उदाहरण हैं:

फूरियर परिवर्तनों का उपयोग करके समय श्रृंखला विश्लेषण
लाप्लास परिवर्तनों का उपयोग करके गतिशील प्रणालियों का विश्लेषण
गैर-स्थानीय साधनों का उपयोग करके छवि को बदनाम करना^[2]
कर्नेल (इमेज प्रोसेसिंग) या बिंदु प्रसार फ़ंक्शन के साथ कनवल्शन का उपयोग करके छवियों में गौस्सियन धुंधलापन या धीमी गति की मॉडलिंग करना

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Caffarelli, L.; Roquejoffre, J.-M.; Savin, O. (2010). "गैर-स्थानीय न्यूनतम सतहें". Communications on Pure and Applied Mathematics: n/a. arXiv:0905.1183. doi:10.1002/cpa.20331. S2CID 10480423.
↑ Buades, A.; Coll, B.; Morel, J.-M. (2005). छवि निरूपण के लिए एक गैर-स्थानीय एल्गोरिदम. 2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR'05). Vol. 2. San Diego, CA, USA: IEEE. pp. 60–65. doi:10.1109/CVPR.2005.38. ISBN 9780769523729. S2CID 11206708.

बाहरी संबंध

Nonlocal equations wiki

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[1] Caffarelli, L.; Roquejoffre, J.-M.; Savin, O. (2010). "गैर-स्थानीय न्यूनतम सतहें". Communications on Pure and Applied Mathematics: n/a. arXiv:0905.1183. doi:10.1002/cpa.20331. S2CID 10480423.

[2] Buades, A.; Coll, B.; Morel, J.-M. (2005). छवि निरूपण के लिए एक गैर-स्थानीय एल्गोरिदम. 2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR'05). Vol. 2. San Diego, CA, USA: IEEE. pp. 60–65. doi:10.1109/CVPR.2005.38. ISBN 9780769523729. S2CID 11206708.

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