वक्रता रूप

डिफरेंशियल ज्योमेट्री में, वक्रता फॉर्म एक प्रिंसिपल बंडल पर एक कनेक्शन फॉर्म की वक्रता का वर्णन करता है। रीमैनियन ज्यामिति में रिमेंन वक्रता टेंसर को एक विशेष मामला माना जा सकता है।

परिभाषा

मान लीजिए G एक लाई समूह है जिसमें लेट बीजगणित है ${\mathfrak {g}}$, और पी → बी एक प्रमुख बंडल हो | प्रिंसिपल जी-बंडल। मान लीजिए ω P पर एक एहरसमैन कनेक्शन है (जो कि एक झूठ बीजगणित-मूल्यवान रूप है|${\mathfrak {g}}$-वैल्यूड डिफरेंशियल फॉर्म|पी पर वन-फॉर्म)।

तब 'वक्रता रूप' है ${\mathfrak {g}}$द्वारा परिभाषित पी पर -मूल्यवान 2-फॉर्म

$\Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .$

(एक अन्य सम्मेलन में, 1/2 प्रकट नहीं होता है।) यहाँ $d$ बाहरी व्युत्पन्न के लिए खड़ा है, $[\cdot \wedge \cdot ]$ लेख में परिभाषित किया गया है झूठ बीजगणित-मूल्यवान रूप और डी बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में,

$\,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+{1 \over 2}[\omega (X),\omega (Y)]$

जहाँ X, Y, P के स्पर्शरेखा सदिश हैं। Ω के लिए एक और व्यंजक भी है: यदि X, Y, P पर क्षैतिज सदिश क्षेत्र हैं, तो

$\sigma \Omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]$

जहाँ hZ का अर्थ है Z का क्षैतिज घटक, दाईं ओर हमने एक ऊर्ध्वाधर वेक्टर क्षेत्र और एक झूठ बीजगणित तत्व की पहचान की है जो इसे उत्पन्न करता है (मौलिक वेक्टर क्षेत्र), और $\sigma \in \{1,2\}$ बाहरी व्युत्पन्न के लिए सूत्र में कन्वेंशन द्वारा उपयोग किए जाने वाले सामान्यीकरण कारक का व्युत्क्रम है#अपरिवर्तनीय सूत्र के संदर्भ में।

एक कनेक्शन को फ्लैट वेक्टर बंडल कहा जाता है यदि इसकी वक्रता गायब हो जाती है: = 0। समान रूप से, एक कनेक्शन फ्लैट होता है यदि संरचना समूह को उसी अंतर्निहित समूह में कम किया जा सकता है लेकिन असतत टोपोलॉजी के साथ।

वेक्टर बंडल में वक्रता रूप

यदि ई → बी एक वेक्टर बंडल है, तो कोई भी ω को 1-रूपों के मैट्रिक्स के रूप में सोच सकता है और उपरोक्त सूत्र ई का संरचना समीकरण बन जाता है। कार्टन:

$\,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,$

कहाँ पे $\wedge$ बाहरी शक्ति है। अधिक सटीक, अगर ${\omega ^{i}}_{j}$ तथा ${\Omega ^{i}}_{j}$ और के घटकों को संगत रूप से निरूपित करें, (इसलिए प्रत्येक ${\omega ^{i}}_{j}$ एक सामान्य 1-रूप है और प्रत्येक ${\Omega ^{i}}_{j}$ एक सामान्य 2-रूप है) तो

$\Omega _{j}^{i}=d{\omega ^{i}}_{j}+\sum _{k}{\omega ^{i}}_{k}\wedge {\omega ^{k}}_{j}.$

उदाहरण के लिए, रिमेंनियन मैनिफोल्ड के टेंगेंट बंडल के लिए, संरचना समूह ओ (एन) है और Ω ओ (एन) के झूठ बीजगणित में मानों के साथ एक 2-रूप है, यानी स्क्यू-सममित मैट्रिक्स। इस मामले में फॉर्म रीमैन वक्रता टेंसर का एक वैकल्पिक विवरण है, अर्थात।

$\,R(X,Y)=\Omega (X,Y),$

रीमैनियन वक्रता टेंसर के लिए मानक संकेतन का उपयोग करना।

बियांची पहचान

See also: Contracted Bianchi identities

यदि $\theta$ फ्रेम बंडल पर विहित वेक्टर-मूल्यवान 1-फॉर्म है, कनेक्शन फॉर्म#टोरसन $\Theta$ कनेक्शन फॉर्म $\omega$ संरचना समीकरण द्वारा परिभाषित वेक्टर-मूल्यवान 2-रूप है

$\Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,$

जहां ऊपर के रूप में डी बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न को दर्शाता है।

पहली बियांची पहचान रूप लेती है

$D\Theta =\Omega \wedge \theta .$

दूसरी बियांची पहचान रूप लेती है

$\,D\Omega =0$

और मुख्य बंडल में किसी भी कनेक्शन फॉर्म के लिए अधिक सामान्य रूप से मान्य है।

अनुबंधित बियांची पहचान का उपयोग आइंस्टीन क्षेत्र के समीकरणों में आइंस्टीन टेंसर को प्राप्त करने के लिए किया जाता है, जो सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत का बड़ा हिस्सा है।

संदर्भ

• Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (1963) Foundations of Differential Geometry, Vol.I, Chapter 2.5 Curvature form and structure equation, p 75, Wiley Interscience.

यह भी देखें

• कनेक्शन (मुख्य बंडल)
• घुमावदार स्पेसटाइम के गणित का मूल परिचय
• अनुबंधित बियांची पहचान
• आइंस्टीन टेंसर
• आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण
• सापेक्षता का सामान्य सिद्धांत
• चेर्न-सीमन्स फॉर्म
• रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता
• गेज सिद्धांत

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