सुपरट्रेस

सुपरबीजगणित के सिद्धांत में, यदि A एक क्रमविनिमेय सुपरएल्जेब्रा है, V एक स्वतंत्र दाएँ A-सुपरमॉड्यूल है और T, V से स्वयं एक एंडोमोर्फिज्म है, तो T, str(T) के 'सुपरट्रेस' को निम्नलिखित ट्रेस आरेख द्वारा परिभाषित किया गया है :

अधिक ठोस रूप से, यदि हम टी को सम और विषम उप-स्थानों में विघटित करने के बाद ब्लॉक मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं,

$T={\begin{pmatrix}T_{00}&T_{01}\\T_{10}&T_{11}\end{pmatrix}}$

फिर सुपरट्रेस

str(T) = T का साधारण ट्रेस (मैट्रिक्स)।₀₀ − टी का साधारण निशान₁₁.

आइए हम दिखाएं कि सुपरट्रेस किसी आधार पर निर्भर नहीं करता है। मान लीजिए ई₁, ..., यह है_p सम आधार सदिश और e हैं_p+1, ..., यह है_p+q विषम आधार सदिश हैं। फिर, T के घटक, जो A के तत्व हैं, को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$T(\mathbf {e} _{j})=\mathbf {e} _{i}T_{j}^{i}.\,$

टी की ग्रेडिंग^मैं_j टी, 'ई' की ग्रेडिंग का योग है_i, यह है_j मॉड 2.

ई में आधार का परिवर्तन_1', ..., यह है_p', यह है_(p+1)', ..., यह है_(p+q)' सुपरमैट्रिक्स द्वारा दिया गया है

$\mathbf {e} _{i'}=\mathbf {e} _{i}A_{i'}^{i}$

और उलटा सुपरमैट्रिक्स

$\mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{i'}(A^{-1})_{i}^{i'},\,$

बेशक, ए.ए⁻¹ = ए⁻¹ए = '1' (पहचान)।

अब हम स्पष्ट रूप से जांच सकते हैं कि सुपरट्रेस आधार स्वतंत्र है। ऐसे मामले में जहां T सम है, हमारे पास है

$\operatorname {str} (A^{-1}TA)=(-1)^{|i'|}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(|i'|+|j|)(|i'|+|j|)}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}(A^{-1})_{j}^{i'}=(-1)^{|j|}T_{j}^{j}=\operatorname {str} (T).$

ऐसे मामले में जहां T विषम है, हमारे पास है

$\operatorname {str} (A^{-1}TA)=(-1)^{|i'|}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(1+|j|+|k|)(|i'|+|j|)}T_{k}^{j}(A^{-1})_{j}^{i'}A_{i'}^{k}=(-1)^{|j|}T_{j}^{j}=\operatorname {str} (T).$

साधारण ट्रेस आधार से स्वतंत्र नहीं है, इसलिए Z में उपयोग करने के लिए उपयुक्त ट्रेस है₂-ग्रेडेड सेटिंग सुपरट्रेस है।

सुपरट्रेस संपत्ति को संतुष्ट करता है

$\operatorname {str} (T_{1}T_{2})=(-1)^{|T_{1}||T_{2}|}\operatorname {str} (T_{2}T_{1})$

सभी टी के लिए₁, टी₂ अंत में (वी)। विशेष रूप से, सुपरकम्यूटेटर का सुपरट्रेस शून्य है।

वास्तव में, कोई किसी भी साहचर्य सुपरबीजगणित ई के लिए एक सुपरट्रेस को सामान्यतः कम्यूटेटिव सुपरबीजगणित ए के ऊपर एक रेखीय मानचित्र tr: E -> A के रूप में परिभाषित कर सकता है जो सुपरकम्यूटेटर्स पर गायब हो जाता है। इस तरह के सुपरट्रेस को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है; इसे हमेशा कम से कम A के किसी तत्व से गुणा करके संशोधित किया जा सकता है।

भौतिकी अनुप्रयोग

सुपरसिमेट्रिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों में, जिसमें एक्शन इंटीग्रल समरूपता परिवर्तनों (सुपरसिमेट्री ट्रांसफॉर्मेशन के रूप में जाना जाता है) के एक सेट के तहत अपरिवर्तनीय है, जिनके बीजगणित सुपरएलजेब्रा हैं, सुपरट्रेस में विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोग होते हैं। ऐसे संदर्भ में, सिद्धांत के लिए द्रव्यमान मैट्रिक्स के सुपरट्रेस को विभिन्न स्पिन के कणों के लिए द्रव्यमान मैट्रिक्स के निशान के स्पिन के योग के रूप में लिखा जा सकता है:

$\operatorname {str} [M^{2}]=\sum _{s}(-1)^{2s}(2s+1)\operatorname {tr} [m_{s}^{2}].$

विसंगति-मुक्त सिद्धांतों में जहां सुपरपोटेंशियल में केवल पुनर्सामान्यीकरण योग्य शब्द दिखाई देते हैं, उपरोक्त सुपरट्रेस को गायब होते दिखाया जा सकता है, तब भी जब सुपरसिमेट्री अनायास टूट जाती है।

एक लूप पर उत्पन्न होने वाली प्रभावी क्षमता में योगदान (कभी-कभी कोलमैन-वेनबर्ग क्षमता के रूप में जाना जाता है)।) को सुपरट्रेस के रूप में भी लिखा जा सकता है। अगर $M$ किसी दिए गए सिद्धांत के लिए द्रव्यमान मैट्रिक्स है, एक-लूप क्षमता को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$V_{eff}^{1-loop}={\dfrac {1}{64\pi ^{2}}}\operatorname {str} {\bigg [}M^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {M^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}={\dfrac {1}{64\pi ^{2}}}\operatorname {tr} {\bigg [}m_{B}^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {m_{B}^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}-m_{F}^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {m_{F}^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}$

कहाँ $m_{B}$ और $m_{F}$ सिद्धांत में स्वतंत्रता की अलग-अलग बोसोनिक और फर्मिओनिक डिग्री के लिए संबंधित वृक्ष-स्तरीय द्रव्यमान मैट्रिक्स हैं और $\Lambda$ एक कटऑफ पैमाना है.

यह भी देखें

• बेरेज़िनिया में