द्विघात रूप (सांख्यिकी)

बहुभिन्नरूपी आँकड़ों में, यदि $\varepsilon$ का एक सदिश समष्टि है $n$ यादृच्छिक चर, और $\Lambda$ एक $n$-आयामी सममित मैट्रिक्स, फिर अदिश (गणित) मात्रा $\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon$ में द्विघात रूप के रूप में जाना जाता है $\varepsilon$.

उम्मीद

ऐसा दिखाया जा सकता है

$\operatorname {E} \left[\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon \right]=\operatorname {tr} \left[\Lambda \Sigma \right]+\mu ^{T}\Lambda \mu$

कहाँ $\mu$ और $\Sigma$ अपेक्षित मूल्य और सहप्रसरण मैट्रिक्स हैं|विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स $\varepsilon$, क्रमशः, और tr एक मैट्रिक्स के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है। यह परिणाम केवल के अस्तित्व पर निर्भर करता है $\mu$ और $\Sigma$; विशेष रूप से, बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण $\varepsilon$ आवश्यक नहीं।

यादृच्छिक चर में द्विघात रूपों के विषय का एक पुस्तक उपचार मथाई और प्रोवोस्ट का है।

प्रमाण

चूँकि द्विघात रूप एक अदिश राशि है, $\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon =\operatorname {tr} (\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon )$.

इसके बाद, ट्रेस (रैखिक बीजगणित)#गुण ऑपरेटर की चक्रीय संपत्ति द्वारा,

$\operatorname {E} [\operatorname {tr} (\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon )]=\operatorname {E} [\operatorname {tr} (\Lambda \varepsilon \varepsilon ^{T})].$

चूंकि ट्रेस ऑपरेटर मैट्रिक्स के घटकों का एक रैखिक संयोजन है, इसलिए यह अपेक्षा ऑपरेटर की रैखिकता से अनुसरण करता है

$\operatorname {E} [\operatorname {tr} (\Lambda \varepsilon \varepsilon ^{T})]=\operatorname {tr} (\Lambda \operatorname {E} (\varepsilon \varepsilon ^{T})).$

भिन्नताओं का एक मानक गुण हमें बताता है कि यह है

$\operatorname {tr} (\Lambda (\Sigma +\mu \mu ^{T})).$

ट्रेस ऑपरेटर की चक्रीय संपत्ति को फिर से लागू करने पर, हमें मिलता है

$\operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\operatorname {tr} (\Lambda \mu \mu ^{T})=\operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\operatorname {tr} (\mu ^{T}\Lambda \mu )=\operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\mu ^{T}\Lambda \mu .$

गॉसियन मामले में भिन्नता

सामान्य तौर पर, द्विघात रूप का विचरण काफी हद तक वितरण पर निर्भर करता है $\varepsilon$. हालांकि, यदि $\varepsilon$ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का पालन करता है, द्विघात रूप का विचरण विशेष रूप से सुव्यवस्थित हो जाता है। फिलहाल यह मान लीजिए $\Lambda$ एक सममित मैट्रिक्स है. तब,

$\operatorname {var} \left[\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon \right]=2\operatorname {tr} \left[\Lambda \Sigma \Lambda \Sigma \right]+4\mu ^{T}\Lambda \Sigma \Lambda \mu$.

वास्तव में, इसे दो द्विघात रूपों के बीच सहप्रसरण खोजने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है $\varepsilon$ (फिर एक बार, $\Lambda _{1}$ और $\Lambda _{2}$ दोनों सममित होने चाहिए):

$\operatorname {cov} \left[\varepsilon ^{T}\Lambda _{1}\varepsilon ,\varepsilon ^{T}\Lambda _{2}\varepsilon \right]=2\operatorname {tr} \left[\Lambda _{1}\Sigma \Lambda _{2}\Sigma \right]+4\mu ^{T}\Lambda _{1}\Sigma \Lambda _{2}\mu$.

इसके अलावा, इस तरह का एक द्विघात रूप एक सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण का अनुसरण करता है।

गैर-सममित मामले में विचरण की गणना करना

कुछ पाठ ग़लत हैं बताएं कि उपरोक्त विचरण या सहप्रसरण परिणाम बिना आवश्यकता के मान्य हैं $\Lambda$ सममित होना. सामान्य के लिए मामला $\Lambda$ इसे नोट करके प्राप्त किया जा सकता है

$\varepsilon ^{T}\Lambda ^{T}\varepsilon =\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon$

इसलिए

$\varepsilon ^{T}{\tilde {\Lambda }}\varepsilon =\varepsilon ^{T}\left(\Lambda +\Lambda ^{T}\right)\varepsilon /2$

सममित मैट्रिक्स में एक द्विघात रूप है ${\tilde {\Lambda }}=\left(\Lambda +\Lambda ^{T}\right)/2$, इसलिए माध्य और विचरण व्यंजक समान हैं, बशर्ते $\Lambda$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है ${\tilde {\Lambda }}$ उसमें.

द्विघात रूपों के उदाहरण

ऐसी सेटिंग में जहां किसी के पास अवलोकनों का एक सेट होता है $y$ और एक ऑपरेटर मैट्रिक्स $H$, तो वर्गों का शेष योग द्विघात रूप में लिखा जा सकता है $y$:

${\textrm {RSS}}=y^{T}(I-H)^{T}(I-H)y.$

प्रक्रियाओं के लिए जहां मैट्रिक्स $H$ सममित मैट्रिक्स और निष्क्रिय मैट्रिक्स है, और आंकड़ों में त्रुटियां और अवशेष सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण हैं $\sigma ^{2}I$, ${\textrm {RSS}}/\sigma ^{2}$ के साथ एक ची-वर्ग वितरण है $k$ स्वतंत्रता की डिग्री और गैर-केंद्रीयता पैरामीटर $\lambda$, कहाँ

$k=\operatorname {tr} \left[(I-H)^{T}(I-H)\right]$

$\lambda =\mu ^{T}(I-H)^{T}(I-H)\mu /2$

एक गैर-केंद्रीय ची-वर्ग वितरण के पहले दो केंद्रीय क्षणों का मिलान करके पाया जा सकता है | गैर-केंद्रीय ची-वर्ग यादृच्छिक चर को पहले दो खंडों में दिए गए भावों से मिलान करके पाया जा सकता है। अगर $Hy$ अनुमान $\mu$ किसी अनुमानक के पूर्वाग्रह के बिना, गैर-केन्द्रीयता $\lambda$ शून्य है और ${\textrm {RSS}}/\sigma ^{2}$ केंद्रीय ची-वर्ग वितरण का अनुसरण करता है।

यह भी देखें

• द्विघात रूप
• सहप्रसरण आव्यूह
• शंकु वर्गों का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व