मैट्रिक्स अपघटन

Not to be confused with matrix factorization of a polynomial.

रैखिक बीजगणित के गणित अनुशासन में, एक मैट्रिक्स अपघटन या मैट्रिक्स गुणन एक मैट्रिक्स (गणित) का मैट्रिक्स के उत्पाद में फ़ैक्टराइज़ेशन है। कई अलग-अलग मैट्रिक्स अपघटन हैं; प्रत्येक का उपयोग समस्याओं के एक विशेष वर्ग के बीच होता है।

उदाहरण

संख्यात्मक विश्लेषण में, कुशल मैट्रिक्स कलन विधि को लागू करने के लिए विभिन्न अपघटनों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$, मैट्रिक्स ए को एलयू अपघटन के माध्यम से विघटित किया जा सकता है। एलयू अपघटन एक मैट्रिक्स को निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स एल और ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स यू में विभाजित करता है। सिस्टम $L(U\mathbf {x} )=\mathbf {b}$ और $U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b}$ मूल प्रणाली की तुलना में इसे हल करने के लिए कम जोड़ और गुणा की आवश्यकता होती है $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$, हालाँकि किसी को तैरनेवाला स्थल जैसे सटीक अंकगणित में काफी अधिक अंकों की आवश्यकता हो सकती है।

इसी तरह, क्यूआर अपघटन ए को क्यूआर के रूप में व्यक्त करता है जिसमें क्यू एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स और आर एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स है। सिस्टम Q(R'x') = 'b' को R'x' = Q द्वारा हल किया जाता है^टीb = c, और सिस्टम Rx = c को 'त्रिकोणीय मैट्रिक्स#आगे और पीछे प्रतिस्थापन' द्वारा हल किया जाता है। आवश्यक जोड़ और गुणन की संख्या एलयू सॉल्वर का उपयोग करने की तुलना में लगभग दोगुनी है, लेकिन सटीक अंकगणित में अधिक अंकों की आवश्यकता नहीं है क्योंकि क्यूआर अपघटन संख्यात्मक रूप से स्थिर है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने से संबंधित अपघटन

एलयू अपघटन

Main article: LU decomposition

• परंपरागत रूप से लागू: वर्ग मैट्रिक्स ए, हालांकि आयताकार मैट्रिक्स लागू हो सकते हैं।
• अपघटन: $A=LU$, जहां L त्रिकोणीय मैट्रिक्स है और U त्रिकोणीय मैट्रिक्स है
• संबंधित: एलडीयू अपघटन है $A=LDU$, जहां L विकर्ण पर स्थित त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, U विकर्ण पर स्थित त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, और D एक विकर्ण मैट्रिक्स है।
• संबंधित: एलयूपी अपघटन है $PA=LU$, जहां L त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, U त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, और P एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है।
• अस्तित्व: किसी भी वर्ग मैट्रिक्स ए के लिए एक एलयूपी अपघटन मौजूद है। जब पी एक पहचान मैट्रिक्स है, तो एलयूपी अपघटन एलयू अपघटन में कम हो जाता है।
• टिप्पणियाँ: LUP और LU अपघटन रैखिक समीकरणों की n-by-n प्रणाली को हल करने में उपयोगी हैं $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$. ये अपघटन मैट्रिक्स रूप में गाऊसी उन्मूलन की प्रक्रिया को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। मैट्रिक्स पी गॉसियन उन्मूलन की प्रक्रिया में किए गए किसी भी पंक्ति इंटरचेंज का प्रतिनिधित्व करता है। यदि गॉसियन उन्मूलन किसी भी पंक्ति इंटरचेंज की आवश्यकता के बिना पंक्ति सोपानक रूप का निर्माण करता है, तो P = I, इसलिए एक LU अपघटन मौजूद है।

एस कमी

Main article: LU reduction

ब्लॉक एलयू अपघटन

Main article: Block LU decomposition

रैंक गुणनखंड

Main article: Rank factorization

• इस पर लागू: रैंक आर का एम-बाय-एन मैट्रिक्स ए
• अपघटन: $A=CF$ जहां C एक m-by-r पूर्ण स्तंभ रैंक मैट्रिक्स है और F एक r-by-n पूर्ण पंक्ति रैंक मैट्रिक्स है
• टिप्पणी: रैंक गुणनखंडन का उपयोग मूर-पेनरोज़ छद्म व्युत्क्रम#रैंक अपघटन के लिए किया जा सकता है|ए के मूर-पेनरोज़ छद्म व्युत्क्रम की गणना करें, जिसे मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स#एक रैखिक प्रणाली के सभी समाधान प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$.

चोलेस्की अपघटन

Main article: Cholesky decomposition

• इन पर लागू: वर्ग मैट्रिक्स, सममित मैट्रिक्स, सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स मैट्रिक्स $A$
• अपघटन: $A=U^{*}U$, कहाँ $U$ वास्तविक सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है
• टिप्पणी: यदि मैट्रिक्स $A$ हर्मिटियन और सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, तो इसमें फॉर्म का अपघटन होता है $A=U^{*}U$ यदि की विकर्ण प्रविष्टियाँ $U$ शून्य होने की अनुमति है
• अद्वितीयता: सकारात्मक निश्चित आव्यूहों के लिए चोल्स्की अपघटन अद्वितीय है। हालाँकि, यह सकारात्मक अर्ध-निश्चित मामले में अद्वितीय नहीं है।
• टिप्पणी: यदि $A$ वास्तविक और सममित है, $U$ इसमें सभी वास्तविक तत्व हैं
• टिप्पणी: एक विकल्प एलडीएल अपघटन है, जो वर्गमूल निकालने से बच सकता है।

क्यूआर अपघटन

Main article: QR decomposition

• इस पर लागू: रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम के साथ एम-बाय-एन मैट्रिक्स ए
• अपघटन: $A=QR$ कहाँ $Q$ एम-बाय-एम आकार का एक एकात्मक मैट्रिक्स है, और $R$ एम-बाय-एन आकार का एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स मैट्रिक्स है
• अद्वितीयता: सामान्य तौर पर यह अद्वितीय नहीं है, लेकिन यदि $A$ पूर्ण मैट्रिक्स रैंक का है, तो एक एकल मौजूद है $R$ जिसमें सभी सकारात्मक विकर्ण तत्व हैं। अगर $A$ वर्गाकार भी है $Q$ निराला है।
• टिप्पणी: क्यूआर अपघटन समीकरणों की प्रणाली को हल करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$. यह तथ्य कि $Q$ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का मतलब है कि $Q^{\mathrm {T} }Q=I$, ताकि $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ के बराबर है $R\mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {b}$, जिसे हल करना बहुत आसान है $R$ त्रिकोणीय मैट्रिक्स है.

आरआरक्यूआर फैक्टराइजेशन

Main article: RRQR factorization

इंटरपोलेटिव अपघटन

Main article: Interpolative decomposition

eigenvalues ​​​​और संबंधित अवधारणाओं पर आधारित अपघटन

ईगेंडेकंपोजीशन

Main article: Eigendecomposition (matrix)

• स्पेक्ट्रल अपघटन (मैट्रिक्स) भी कहा जाता है।
• इस पर लागू: रैखिक रूप से स्वतंत्र आइजनवेक्टर के साथ वर्ग मैट्रिक्स ए (जरूरी नहीं कि अलग आइगेनवैल्यू)।
• अपघटन: $A=VDV^{-1}$, जहां D, A के eigenvalues ​​​​से बना एक विकर्ण मैट्रिक्स है, और V के कॉलम A के संगत eigenvectors हैं।
• अस्तित्व: एक n-by-n मैट्रिक्स A में हमेशा n (जटिल) eigenvalues ​​​​होता है, जिसे एक n-by-n विकर्ण मैट्रिक्स D और गैर-शून्य कॉलम V के संगत मैट्रिक्स बनाने के लिए (एक से अधिक तरीकों से) ऑर्डर किया जा सकता है eigenvalue समीकरण को संतुष्ट करता है $AV=VD$. $V$ व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि n eigenvectors रैखिक स्वतंत्रता हैं (अर्थात, प्रत्येक eigenvalue में इसकी बीजगणितीय बहुलता के बराबर ज्यामितीय बहुलता है)। ऐसा होने के लिए एक पर्याप्त (लेकिन आवश्यक नहीं) शर्त यह है कि सभी eigenvalues ​​​​अलग-अलग हैं (इस मामले में ज्यामितीय और बीजगणितीय बहुलता 1 के बराबर है)
• टिप्पणी: कोई हमेशा आइजेनवेक्टरों को एक लंबाई के लिए सामान्यीकृत कर सकता है (आइजेनवैल्यू समीकरण की परिभाषा देखें)
• टिप्पणी: प्रत्येक सामान्य मैट्रिक्स ए (अर्थात्, जिसके लिए मैट्रिक्स $AA^{*}=A^{*}A$, कहाँ $A^{*}$ एक संयुग्मी स्थानान्तरण है) को eigendecompose किया जा सकता है। एक सामान्य मैट्रिक्स A के लिए (और केवल एक सामान्य मैट्रिक्स के लिए), eigenvectors को ऑर्थोनॉर्मल भी बनाया जा सकता है ($VV^{*}=I$) और eigendecomposition इस प्रकार पढ़ता है $A=VDV^{*}$. विशेष रूप से सभी एकात्मक मैट्रिक्स, हर्मिटियन मैट्रिक्स, या स्क्यू-हर्मिटियन मैट्रिक्स | स्क्यू-हर्मिटियन (वास्तविक मूल्य वाले मामले में, सभी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, सममित मैट्रिक्स, या तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित, क्रमशः) मैट्रिक्स सामान्य हैं और इसलिए इस संपत्ति पर अधिकार रखें.
• टिप्पणी: किसी भी वास्तविक सममित मैट्रिक्स A के लिए, eigendecomposition हमेशा मौजूद रहता है और इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है $A=VDV^{\mathsf {T}}$, जहां D और V दोनों वास्तविक-मूल्यवान हैं।
• टिप्पणी: eigendecomposition रैखिक साधारण अंतर समीकरणों या रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान को समझने के लिए उपयोगी है। उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण $x_{t+1}=Ax_{t}$ प्रारंभिक स्थिति से प्रारंभ करें $x_{0}=c$ द्वारा हल किया जाता है $x_{t}=A^{t}c$, जो के बराबर है $x_{t}=VD^{t}V^{-1}c$, जहां V और D, A के eigenvectors और eigenvalues ​​​​से बने आव्यूह हैं। चूँकि D विकर्ण है, इसलिए इसे घात तक बढ़ाया जा रहा है $D^{t}$, बस विकर्ण पर प्रत्येक तत्व को घात t तक बढ़ाना शामिल है। ए को घात टी तक बढ़ाने की तुलना में ऐसा करना और समझना बहुत आसान है, क्योंकि ए आमतौर पर विकर्ण नहीं होता है।

जॉर्डन अपघटन

जॉर्डन सामान्य रूप और जॉर्डन-शेवेल्ली अपघटन

• इस पर लागू: वर्ग मैट्रिक्स ए
• टिप्पणी: जॉर्डन सामान्य रूप उन मामलों में ईजेनडेकंपोजिशन को सामान्यीकृत करता है जहां बार-बार ईजेनवैल्यू होते हैं और उन्हें विकर्ण नहीं किया जा सकता है, जॉर्डन-चेवेल्ली अपघटन बिना किसी आधार को चुने ऐसा करता है।

शूर अपघटन

Main article: Schur decomposition

• इस पर लागू: वर्ग मैट्रिक्स ए
• अपघटन (जटिल संस्करण): $A=UTU^{*}$, जहां यू एक एकात्मक मैट्रिक्स है, $U^{*}$ यू का संयुग्मी स्थानान्तरण है, और टी एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स है जिसे कॉम्प्लेक्स शूर रूप कहा जाता है जिसके विकर्ण के साथ ए के स्वदेशी मान होते हैं।
• टिप्पणी: यदि A एक सामान्य मैट्रिक्स है, तो T विकर्ण है और शूर अपघटन वर्णक्रमीय अपघटन के साथ मेल खाता है।

वास्तविक शूर अपघटन

• इस पर लागू: वर्ग मैट्रिक्स ए
• अपघटन: यह शूर अपघटन का एक संस्करण है $V$ और $S$ केवल वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। कोई हमेशा लिख ​​सकता है $A=VSV^{\mathsf {T}}$ जहां V एक वास्तविक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, $V^{\mathsf {T}}$ V का मैट्रिक्स स्थानान्तरण है, और S एक ब्लॉक मैट्रिक्स मैट्रिक्स है जिसे वास्तविक शूर फॉर्म कहा जाता है। S के विकर्ण पर ब्लॉक आकार 1×1 (जिस स्थिति में वे वास्तविक eigenvalues ​​का प्रतिनिधित्व करते हैं) या 2×2 (जिस स्थिति में वे जटिल संयुग्म eigenvalue जोड़े से प्राप्त होते हैं) के होते हैं।

QZ अपघटन

Main article: QZ decomposition

• इसे सामान्यीकृत शूर अपघटन भी कहा जाता है
• इन पर लागू: वर्ग मैट्रिक्स ए और बी
• टिप्पणी: इस अपघटन के दो संस्करण हैं: जटिल और वास्तविक।
• अपघटन (जटिल संस्करण): $A=QSZ^{*}$ और $B=QTZ^{*}$ जहां Q और Z एकात्मक मैट्रिक्स हैं, * सुपरस्क्रिप्ट संयुग्म ट्रांसपोज़ का प्रतिनिधित्व करता है, और S और T ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स हैं।
• टिप्पणी: जटिल QZ अपघटन में, S के विकर्ण तत्वों का T के संगत विकर्ण तत्वों से अनुपात, $\lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}$, सामान्यीकृत eigenvalues ​​​​हैं जो मैट्रिक्स के eigendecomposition को हल करते हैं#अतिरिक्त विषय $A\mathbf {v} =\lambda B\mathbf {v}$ (कहाँ $\lambda$ एक अज्ञात अदिश राशि है और v एक अज्ञात अशून्य सदिश है)।
• अपघटन (वास्तविक संस्करण): $A=QSZ^{\mathsf {T}}$ और $B=QTZ^{\mathsf {T}}$ जहां A, B, Q, Z, S, और T केवल वास्तविक संख्याओं वाले आव्यूह हैं। इस मामले में Q और Z ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स हैं, T सुपरस्क्रिप्ट मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ का प्रतिनिधित्व करता है, और S और T ब्लॉक मैट्रिक्स मैट्रिक्स हैं। S और T के विकर्ण पर स्थित ब्लॉक 1×1 या 2×2 आकार के हैं।

ताकागी का गुणनखंड

• इस पर लागू: वर्ग, जटिल, सममित मैट्रिक्स ए।
• अपघटन: $A=VDV^{\mathsf {T}}$, जहां D एक वास्तविक गैर-नकारात्मक विकर्ण मैट्रिक्स है, और V एकात्मक मैट्रिक्स है। $V^{\mathsf {T}}$ V के मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ को दर्शाता है।
• टिप्पणी: D के विकर्ण तत्व, eigenvalues ​​​​के गैर-नकारात्मक वर्गमूल हैं $AA^{*}=VD^{2}V^{*}$.
• टिप्पणी: A वास्तविक होने पर भी V जटिल हो सकता है।
• टिप्पणी: यह eigendecomposition (ऊपर देखें) का कोई विशेष मामला नहीं है, जो उपयोग करता है $V^{-1}$ के बजाय $V^{\mathsf {T}}$. इसके अलावा, यदि A वास्तविक नहीं है, तो यह हर्मिटियन नहीं है और इसका उपयोग करने वाला रूप नहीं है $V^{*}$ भी लागू नहीं होता.

एकवचन मान अपघटन

Main article: Singular value decomposition

• इस पर लागू: एम-बाय-एन मैट्रिक्स ए।
• अपघटन: $A=UDV^{*}$, जहां D एक गैर-ऋणात्मक विकर्ण मैट्रिक्स है, और U और V संतुष्ट हैं $U^{*}U=I,V^{*}V=I$. यहाँ $V^{*}$ V का संयुग्मी स्थानान्तरण है (या केवल मैट्रिक्स स्थानान्तरण, यदि V में केवल वास्तविक संख्याएँ हैं), और I पहचान मैट्रिक्स (कुछ आयामों का) को दर्शाता है।
• टिप्पणी: D के विकर्ण तत्वों को A का एकवचन मान कहा जाता है।
• टिप्पणी: उपरोक्त ईगेंडेकंपोजिशन की तरह, एकवचन मूल्य अपघटन में आधार दिशाओं को ढूंढना शामिल है जिसके साथ मैट्रिक्स गुणन अदिश गुणन के बराबर है, लेकिन इसमें अधिक व्यापकता है क्योंकि विचाराधीन मैट्रिक्स को वर्गाकार होने की आवश्यकता नहीं है।
• अद्वितीयता: के विलक्षण मूल्य $A$ सदैव विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं। $U$ और $V$ सामान्य रूप से अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है।

स्केल-अपरिवर्तनीय अपघटन

मौजूदा मैट्रिक्स डीकंपोजिशन के वेरिएंट को संदर्भित करता है, जैसे कि एसवीडी, जो विकर्ण स्केलिंग के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं।

• इस पर लागू: एम-बाय-एन मैट्रिक्स ए।
• इकाई-स्केल-अपरिवर्तनीय एकवचन-मूल्य अपघटन: $A=DUSV^{*}E$, जहां S स्केल-अपरिवर्तनीय एकवचन मानों का एक अद्वितीय गैर-नकारात्मक विकर्ण मैट्रिक्स है, U और V एकात्मक मैट्रिक्स हैं, $V^{*}$ V, और धनात्मक विकर्ण आव्यूह D और E का संयुग्मी स्थानान्तरण है।
• टिप्पणी: एसवीडी के अनुरूप है सिवाय इसके कि एस के विकर्ण तत्व मनमाने ढंग से गैर-एकवचन विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा ए के बाएं और/या दाएं गुणन के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं, मानक एसवीडी के विपरीत जिसके लिए एकवचन मान अपरिवर्तनीय हैं मनमाना एकात्मक आव्यूहों द्वारा A का बाएँ और/या दाएँ गुणन।
• टिप्पणी: मानक एसवीडी का एक विकल्प है जब ए के एकात्मक परिवर्तनों के बजाय विकर्ण के संबंध में अपरिवर्तनीयता की आवश्यकता होती है।
• अद्वितीयता: पैमाने-अपरिवर्तनीय एकवचन मूल्य $A$ (एस के विकर्ण तत्वों द्वारा दिए गए) हमेशा विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं। विकर्ण मैट्रिक्स डी और ई, और एकात्मक यू और वी, आवश्यक रूप से सामान्य रूप से अद्वितीय नहीं हैं।
• टिप्पणी: यू और वी मैट्रिसेस एसवीडी के समान नहीं हैं।

अनुरूप पैमाने-अपरिवर्तनीय अपघटन अन्य मैट्रिक्स अपघटन से प्राप्त किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, स्केल-अपरिवर्तनीय आइगेनवैल्यू प्राप्त करने के लिए।

अन्य अपघटन

ध्रुवीय अपघटन

Main article: Polar decomposition

• इस पर लागू: कोई भी वर्ग जटिल मैट्रिक्स ए।
• अपघटन: $A=UP$ (सही ध्रुवीय अपघटन) या $A=P'U$ (बाएं ध्रुवीय अपघटन), जहां यू एक एकात्मक मैट्रिक्स है और पी और पी' सकारात्मक अर्धनिश्चित मैट्रिक्स हर्मिटियन मैट्रिसेस हैं।
• विशिष्टता: $P$ सदैव अद्वितीय एवं समान होता है ${\sqrt {A^{*}A}}$ (जो हमेशा साधु और सकारात्मक अर्धनिश्चित होता है)। अगर $A$ तो, उलटा है $U$ निराला है।
• टिप्पणी: चूंकि कोई भी हर्मिटियन मैट्रिक्स एकात्मक मैट्रिक्स के साथ वर्णक्रमीय अपघटन को स्वीकार करता है, $P$ के रूप में लिखा जा सकता है $P=VDV^{*}$. तब से $P$ सकारात्मक अर्धनिश्चित है, सभी तत्व $D$ गैर-नकारात्मक हैं. चूँकि दो एकात्मक आव्यूहों का गुणनफल एकात्मक होता है, इसलिए $W=UV$कोई लिख सकता है $A=U(VDV^{*})=WDV^{*}$ जो एकवचन मूल्य अपघटन है। इसलिए, ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व एकवचन मूल्य अपघटन के अस्तित्व के बराबर है।

बीजगणितीय ध्रुवीय अपघटन

• इन पर लागू: वर्गाकार, जटिल, गैर-एकवचन मैट्रिक्स ए।
• अपघटन: $A=QS$, जहां Q एक जटिल ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है और S जटिल सममित मैट्रिक्स है।
• विशिष्टता: यदि $A^{\mathsf {T}}A$ कोई नकारात्मक वास्तविक eigenvalues ​​​​नहीं है, तो अपघटन अद्वितीय है।
• टिप्पणी: इस अपघटन का अस्तित्व समतुल्य है $AA^{\mathsf {T}}$ के समान होना $A^{\mathsf {T}}A$.
• टिप्पणी: इस अपघटन का एक प्रकार है $A=RC$, जहां R एक वास्तविक मैट्रिक्स है और C एक गोलाकार मैट्रिक्स है।

मोस्टो का अपघटन

• इन पर लागू: वर्गाकार, जटिल, गैर-एकवचन मैट्रिक्स ए।
• अपघटन: $A=Ue^{iM}e^{S}$, जहां U एकात्मक है, M वास्तविक विरोधी सममित है और S वास्तविक सममित है।
• टिप्पणी: मैट्रिक्स ए को इस प्रकार भी विघटित किया जा सकता है $A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}$, जहां तुम₂ एकात्मक है, एम₂ वास्तविक सममिति-विरोधी है और एस₂ वास्तविक सममित है.

सिंकहॉर्न सामान्य रूप

Main article: Sinkhorn's theorem

• इस पर लागू: कड़ाई से सकारात्मक तत्वों के साथ वर्गाकार वास्तविक मैट्रिक्स ए।
• अपघटन: $A=D_{1}SD_{2}$, जहां S दोगुना स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स है और D है₁ और डी₂ पूर्णतः सकारात्मक तत्वों वाले वास्तविक विकर्ण आव्यूह हैं।

क्षेत्रीय अपघटन

• इस पर लागू: क्षेत्र में निहित संख्यात्मक सीमा के साथ वर्गाकार, जटिल मैट्रिक्स ए $S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}$.
• अपघटन: $A=CZC^{*}$, जहां C एक उलटा जटिल मैट्रिक्स है और $Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)$ सभी के साथ $\left|\theta _{j}\right|\leq \alpha$.

विलियमसन का सामान्य रूप

• लागू: वर्ग, सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स | सकारात्मक-निश्चित वास्तविक मैट्रिक्स ए क्रम 2n×2n के साथ।
• अपघटन: $A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S$, कहाँ $S\in {\text{Sp}}(2n)$ एक सिंपलेक्टिक मैट्रिक्स है और डी एक गैर-नकारात्मक एन-बाय-एन विकर्ण मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स वर्गमूल

Main article: Square root of a matrix

• अपघटन: $A=BB$, सामान्य रूप से अद्वितीय नहीं है।
• सकारात्मक अर्धनिश्चित के मामले में $A$, एक अद्वितीय सकारात्मक अर्धनिश्चित है $B$ ऐसा है कि $A=B^{*}B=BB$.

सामान्यीकरण

क्वासिमैट्रिसेस और सेमैट्रिसेस या निरंतर मैट्रिक्स के लिए एसवीडी, क्यूआर, एलयू और चोलेस्की फ़ैक्टराइज़ेशन के एनालॉग मौजूद हैं। एक 'क्वासिमैट्रिक्स', एक मैट्रिक्स की तरह, एक आयताकार योजना है जिसके तत्वों को अनुक्रमित किया जाता है, लेकिन एक अलग सूचकांक को एक सतत सूचकांक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसी प्रकार, एक 'सीमैट्रिक्स', दोनों सूचकांकों में निरंतर है। सीमैट्रिक्स के उदाहरण के रूप में, कोई अभिन्न ऑपरेटर के कर्नेल के बारे में सोच सकता है।

ये गुणनखंडन प्रारंभिक कार्य पर आधारित हैं Fredholm (1903), Hilbert (1904) और Schmidt (1907). विवरण के लिए, और मौलिक पत्रों के अंग्रेजी में अनुवाद के लिए, देखें Stewart (2011).

यह भी देखें

• मैट्रिक्स विभाजन
• गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स गुणनखंडन
• प्रमुख कंपोनेंट विश्लेषण

संदर्भ

ग्रन्थसूची

• Choudhury, Dipa; Horn, Roger A. (April 1987). "A Complex Orthogonal-Symmetric Analog of the Polar Decomposition". SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods. 8 (2): 219–225. doi:10.1137/0608019.
• Fredholm, I. (1903), "Sur une classe d'´equations fonctionnelles", Acta Mathematica (in français), 27: 365–390, doi:10.1007/bf02421317
• Hilbert, D. (1904), "Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen", Nachr. Königl. Ges. Gött (in Deutsch), 1904: 49–91
• Horn, Roger A.; Merino, Dennis I. (January 1995). "Contragredient equivalence: A canonical form and some applications". Linear Algebra and Its Applications. 214: 43–92. doi:10.1016/0024-3795(93)00056-6.
• Meyer, C. D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8
• Schmidt, E. (1907), "Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil. Entwicklung willkürlichen Funktionen nach System vorgeschriebener", Mathematische Annalen (in Deutsch), 63 (4): 433–476, doi:10.1007/bf01449770
• Simon, C.; Blume, L. (1994). Mathematics for Economists. Norton. ISBN 978-0-393-95733-4.
• Stewart, G. W. (2011), Fredholm, Hilbert, Schmidt: three fundamental papers on integral equations (PDF), retrieved 2015-01-06
• Townsend, A.; Trefethen, L. N. (2015), "Continuous analogues of matrix factorizations", Proc. R. Soc. A, 471 (2173): 20140585, Bibcode:2014RSPSA.47140585T, doi:10.1098/rspa.2014.0585, PMC 4277194, PMID 25568618
• Jun, Lu (2021), Numerical matrix decomposition and its modern applications: A rigorous first course, arXiv:2107.02579

बाहरी संबंध

• Online Matrix Calculator
• Wolfram Alpha Matrix Decomposition Computation » LU and QR Decomposition
• Springer Encyclopaedia of Mathematics » Matrix factorization
• GraphLab GraphLab collaborative filtering library, large scale parallel implementation of matrix decomposition methods (in C++) for multicore.