संभाव्यता आयाम

हाइड्रोजन परमाणु के 5d परमाणु कक्षीय पर एकल इलेक्ट्रॉन के लिए तरंग फलन। ठोस शरीर उन स्थानों को दर्शाता है जहां इलेक्ट्रॉन की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन एक निश्चित मान से ऊपर है (यहाँ 0.02 नैनोमीटर ⁻³): इसकी गणना प्रायिकता आयाम से की जाती है। रंगीन सतह पर रंग तरंग समारोह के तर्क (जटिल विश्लेषण) को दर्शाता है।

क्वांटम यांत्रिकी में, संभाव्यता आयाम एक जटिल संख्या है जिसका उपयोग सिस्टम के व्यवहार का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इस मात्रा का मापांक वर्ग प्रायिकता घनत्व फलन दर्शाता है।

संभाव्यता आयाम एक प्रणाली के क्वांटम राज्य वेक्टर और उस प्रणाली के अवलोकनों के परिणामों के बीच एक संबंध प्रदान करते हैं, एक लिंक पहली बार 1926 में मैक्स बोर्न द्वारा प्रस्तावित किया गया था। संभाव्यता आयाम के रूप में तरंग फ़ंक्शन के मूल्यों की व्याख्या एक स्तंभ है। क्वांटम यांत्रिकी की कोपेनहेगन व्याख्या । वास्तव में, किसी विशेष कार्य की किसी भी भौतिक व्याख्या की पेशकश करने से पहले तरंग कार्यों के स्थान के गुणों का उपयोग भौतिक भविष्यवाणियों (जैसे परमाणु उत्सर्जन स्पेक्ट्रोस्कोपी कुछ असतत ऊर्जा पर होने) के लिए किया जा रहा था। बोर्न को इस समझ के लिए 1954 के भौतिकी के नोबेल पुरस्कार के आधे हिस्से से सम्मानित किया गया था, और इस प्रकार गणना की गई प्रायिकता को कभी-कभी बोर्न प्रायिकता कहा जाता है। इन संभाव्य अवधारणाओं, अर्थात् संभाव्यता घनत्व और क्वांटम माप , सिद्धांत पर काम कर रहे मूल भौतिकविदों, जैसे इरविन श्रोडिंगर | श्रोडिंगर और अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा उस समय सख्ती से लड़े गए थे। यह क्वांटम यांत्रिकी-विषयों की व्याख्याओं में रहस्यमय परिणामों और दार्शनिक कठिनाइयों का स्रोत है जिन पर आज भी बहस जारी है।

सिंहावलोकन

Main article: Born rule

भौतिक

कुछ तकनीकी जटिलताओं की उपेक्षा करते हुए, क्वांटम मापन की समस्या एक क्वांटम अवस्था का व्यवहार है, जिसके लिए प्रेक्षण योग्य का मान Q मापा जाना अनिश्चितता सिद्धांत है। इस तरह के एक राज्य को अवलोकन योग्य ईजेनस्टेट्स की एक जितना अध्यारोपण माना जाता है, जिसमें कहा गया है कि अवलोकन योग्य के विभिन्न संभावित मूल्यों के लिए अवलोकन के मूल्य को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है।

जब की माप Q बनाया जाता है, सिस्टम (कोपेनहेगन व्याख्या के तहत) राज्य वेक्टर कमी, उस ईजेनस्टेट से संबंधित ईजेनवेल्यू को लौटाता है। सिस्टम को हमेशा एक रैखिक संयोजन या इन ईजेनस्टेट्स के असमान वजन समारोह के साथ क्वांटम सुपरपोजिशन द्वारा वर्णित किया जा सकता है। वजन। सहज रूप से यह स्पष्ट है कि भारी वजन वाले ईजेनस्टेट्स के उत्पादन की संभावना अधिक होती है। वास्तव में, उपरोक्त में से कौन सा सिस्टम कूदता है एक संभाव्य कानून द्वारा दिया जाता है: राज्य में कूदने वाली प्रणाली की संभावना संबंधित संख्यात्मक वजन वर्ग के पूर्ण मूल्य के आनुपातिक है। इन संख्यात्मक भारों को संभाव्यता आयाम कहा जाता है, और दिए गए शुद्ध क्वांटम राज्यों (जैसे तरंग कार्यों) से संभावनाओं की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले इस संबंध को बोर्न नियम कहा जाता है।

स्पष्ट रूप से, संभावनाओं का योग, जो प्रायिकता आयाम के पूर्ण वर्गों के योग के बराबर है, 1 के बराबर होना चाहिए। यह #सामान्यीकरण|सामान्यीकरण (नीचे देखें) आवश्यकता है।

यदि सिस्टम के कुछ स्वदेशी अवस्था में जाना जाता है Q (उदाहरण के लिए इसी eigenvalue के अवलोकन के बाद Q) यह देखने की संभावना कि बाद के सभी मापों के लिए eigenvalue 1 (निश्चित) के बराबर हो जाता है Q (जब तक माप के बीच कोई अन्य महत्वपूर्ण बल कार्य नहीं करता)। दूसरे शब्दों में, प्रायिकता का आयाम अन्य सभी ईजेनस्टेट्स के लिए शून्य है, और भविष्य के मापों के लिए शून्य रहता है। यदि ईजेनस्टेट्स का सेट जिसके मापन पर सिस्टम कूद सकता है Q के माप के लिए eigenstates के सेट के समान है R, फिर बाद के माप या तो Q या R हमेशा 1 की प्रायिकता के साथ समान मान उत्पन्न करते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे किस क्रम में लागू किए गए हैं। संभाव्यता आयाम या तो माप से अप्रभावित हैं, और वेधशालाओं को कम्यूटेटर कहा जाता है।

इसके विपरीत, यदि के eigenstates Q और R अलग हैं, तो की माप R एक ऐसे राज्य के लिए छलांग लगाता है जो की स्वदेशी नहीं है Q. इसलिए, यदि सिस्टम के कुछ स्वदेशी अवस्था में जाना जाता है Q (एक ईजेनस्टेट को छोड़कर सभी संभाव्यता आयाम शून्य), फिर कब R देखा गया है कि प्रायिकता आयाम बदल गए हैं। एक दूसरा, बाद का अवलोकन Q अब निश्चित रूप से आरंभिक अवस्था के अनुरूप ईजेनवेल्यू उत्पन्न नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, के दूसरे माप के लिए संभाव्यता आयाम Q इस पर निर्भर करता है कि यह माप से पहले आता है या बाद में R, और दो वेधशाला कम्यूटेटर।

गणितीय

एक औपचारिक सेटअप में, किसी भी क्वांटम प्रणाली को एक अवस्था द्वारा वर्णित किया जाता है, जो एक सदिश स्थान है |Ψ⟩, हिल्बर्ट अंतरिक्ष कहे जाने वाले अमूर्त जटिल संख्या सदिश स्थान में रहते हैं। यह या तो अनंत- या परिमित-आयाम (वेक्टर स्थान) हो सकता है। उस हिल्बर्ट स्थान की एक सामान्य प्रस्तुति एक विशेष कार्य स्थान है, जिसे कहा जाता है L²(X), निश्चित सेट पर X, वह या तो कुछ विन्यास स्थान (भौतिकी) या असतत सेट है।

मापने योग्य समारोह के लिए $\psi$, शर्त $\psi \in L^{2}(X)$ निर्दिष्ट करता है कि एक अंतिम रूप से बंधा हुआ अभिन्न अंग लागू होना चाहिए:

$$\int _{X}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} \mu (x)<\infty ;$$

यह अभिन्न मानक सदिश स्थान के वर्ग को परिभाषित करता है ψ. यदि वह मानदंड बराबर है 1, तब

$$\int _{X}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} \mu (x)=1.$$

इसका वास्तव में मतलब है कि कोई भी तत्व L²(X) मानदंड 1 एक संभाव्यता माप को परिभाषित करता है X और एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या व्यंजक |ψ(x)|² मानक माप के संबंध में इसके रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न को परिभाषित करता है μ.

यदि मानक माप μ पर X गैर-परमाणु माप है | गैर-परमाणु, जैसे वास्तविक रेखा पर लेबेस्ग माप, या त्रि-आयामी स्थान पर, या कई गुना पर समान उपाय, फिर एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य |ψ(x)|² संभाव्यता घनत्व कहा जाता है; विवरण देखें #तरंग कार्य और संभावनाएं। यदि मानक माप चालू है X केवल परमाणु (माप सिद्धांत) के होते हैं (हम ऐसे सेट कहेंगे X असतत), और किसी के माप को निर्दिष्ट करता है x ∈ X के बराबर 1, फिर एक अभिन्न ओवर X बस एक योग है और |ψ(x)|² सेट पर संभाव्यता माप के मान को परिभाषित करता है {x}, दूसरे शब्दों में, संभावना है कि क्वांटम प्रणाली राज्य में है x. आयाम और सदिश किस प्रकार संबंधित हैं, इसे के मानक आधार से समझा जा सकता है L²(X), जिसके तत्वों को द्वारा निरूपित किया जाएगा |x⟩ या ⟨x| (कोण कोष्ठक संकेतन के लिए ब्रा-केट संकेतन देखें)। इस आधार पर

$$\psi (x)=\langle x|\Psi \rangle$$

एक सार वेक्टर की समन्वय प्रस्तुति निर्दिष्ट करता है |Ψ⟩.

गणितीय रूप से, बहुत सारे L² सिस्टम के हिल्बर्ट स्पेस की प्रस्तुतियाँ मौजूद हो सकती हैं। हम एक मनमाना नहीं बल्कि एक पर विचार करेंगे convenient देखने योग्य के लिए एक Q प्रश्न में। एक सुविधाजनक विन्यास स्थान X ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु x के कुछ अनूठे मूल्य पैदा करता है Q. असतत के लिए X इसका अर्थ है कि मानक आधार के सभी तत्व इसके आइजन्वेक्टर हैं Q. दूसरे शब्दों में, Q उस आधार पर विकर्ण मैट्रिक्स होगा। फिर $\psi (x)$ eigenstate के लिए प्रायिकता आयाम है ⟨x|. यदि यह एक गैर-पतित ऊर्जा स्तर के eigenvalue से मेल खाती है Q, तब $|\psi (x)|^{2}$ के संगत मान की प्रायिकता देता है Q प्रारंभिक अवस्था के लिए |Ψ⟩.

असतत के लिए X ऐसे राज्य नहीं हो सकते हैं ⟨x| में L²(X), लेकिन अपघटन कुछ अर्थों में संभव है; सटीक स्पष्टीकरण के लिए स्पेक्ट्रल सिद्धांत और स्वयं-आसन्न ऑपरेटर # स्पेक्ट्रल प्रमेय देखें।

तरंग कार्य और संभावनाएं

यदि कॉन्फ़िगरेशन स्थान X निरंतर है (वास्तविक रेखा या यूक्लिडियन अंतरिक्ष की तरह कुछ, #परमाणु देखें), तो विशेष के अनुरूप कोई मान्य क्वांटम राज्य नहीं हैं x ∈ X, और संभावना है कि सिस्टम राज्य में है xहमेशा लगभग कभी नहीं होगा। इसका एक पुरातन उदाहरण है L²(R) 1-आयामी Lebesgue माप के साथ निर्मित स्थान; इसका उपयोग एक आयामी अंतरिक्ष में गति का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। अनंत-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष की यह प्रस्तुति स्थिति ऑपरेटर के वर्णक्रमीय अपघटन से मेल खाती है: ⟨x | Q | Ψ⟩ = x⋅⟨x | Ψ⟩, x ∈ R इस उदाहरण में। हालांकि ऐसे कोई वैक्टर नहीं हैं ⟨x |, सख्ती से बोलना, अभिव्यक्ति {{math|⟨x | Ψ⟩}उदाहरण के लिए, वर्णक्रमीय सिद्धांत के साथ } को सार्थक बनाया जा सकता है।

आम तौर पर, यह तब होता है जब किसी कण की गति (भौतिकी) को स्थिति और संवेग स्थान के रूप में वर्णित किया जाता है, जहां संबंधित संभाव्यता आयाम कार्य करता है ψ तरंग कार्य है।

यदि समारोह ψ ∈ L²(X), ‖ψ‖ = 1 क्वांटम राज्य वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है |Ψ⟩, फिर वास्तविक अभिव्यक्ति |ψ(x)|², यह निर्भर करता है x, दी गई अवस्था का प्रायिकता घनत्व फलन बनाता है। केवल एक संख्यात्मक संभाव्यता से एक घनत्व समारोह के अंतर का मतलब है कि किसी को इस मॉड्यूलस-स्क्वायर फ़ंक्शन को कुछ (छोटे) डोमेन में एकीकृत करना चाहिए X संभाव्यता मान प्राप्त करने के लिए - जैसा कि ऊपर कहा गया था, सिस्टम किसी अवस्था में नहीं हो सकता x एक सकारात्मक संभावना के साथ। यह आयाम रहित संभावना के विपरीत, आयाम और घनत्व दोनों कार्यों को एक भौतिक मात्रा का एक आयाम देता है। उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए | त्रि-आयामी तरंग फ़ंक्शन, आयाम में आयाम [एल है^−3/2], जहां L लंबाई है।

ध्यान दें कि निरंतर और अनंत असतत दोनों मामलों के लिए प्रत्येक मापने योग्य, या यहां तक ​​​​कि सुचारू कार्य (यानी एक संभावित तरंग फ़ंक्शन) के तत्व को परिभाषित नहीं करता है L²(X); नीचे #सामान्यीकरण देखें।

असतत आयाम

जब सेट X असतत है (#atomic देखें), वैक्टर |Ψ⟩ हिल्बर्ट अंतरिक्ष के साथ प्रतिनिधित्व किया L²(X) एम्पलीट्यूड और अनुक्रमित परिवार से बने कॉलम वेक्टर हैं X. इन्हें कभी-कभी असतत चर के तरंग कार्यों के रूप में संदर्भित किया जाता है x ∈ X. असतत गतिशील चर का उपयोग बॉक्स में कण और क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर जैसी समस्याओं में किया जाता है। वेक्टर के घटकों को द्वारा निरूपित किया जाएगा ψ(x) पिछले मामले के साथ एकरूपता के लिए; हिल्बर्ट स्थान के आधार पर या तो परिमित या अनंत संख्या में घटक हो सकते हैं। इस मामले में, यदि वेक्टर |Ψ⟩ का मानदंड 1 है, तो |ψ(x)|² केवल संभावना है कि क्वांटम सिस्टम राज्य में रहता है x. यह असतत संभाव्यता वितरण को परिभाषित करता है X.

|ψ(x)| = 1 अगर और केवल अगर |x⟩ किरण (क्वांटम सिद्धांत) के रूप में है |Ψ⟩. ψ(x) = 0 अगर और केवल अगर |x⟩ और |Ψ⟩ ओर्थोगोनल हैं (आंतरिक उत्पाद स्थान देखें)। अन्यथा का मापांक ψ(x) 0 और 1 के बीच है।

असतत संभाव्यता आयाम को मौलिक आवृत्ति के रूप में माना जा सकता है एम-सिद्धांत परिवर्तन गणनाओं को सरल बनाने के प्रयोजनों के लिए प्रायिकता आवृत्ति डोमेन (गोलाकार हार्मोनिक्स ) में।

उदाहरण

असतत मामले का सबसे सरल अर्थपूर्ण उदाहरण लें: एक क्वांटम प्रणाली जो दो-राज्य क्वांटम प्रणाली में हो सकती है: उदाहरण के लिए, एक फोटॉन का प्रकाश ध्रुवीकरण । जब ध्रुवीकरण मापा जाता है, तो यह क्षैतिज स्थिति हो सकती है $|H\rangle$ या खड़ी अवस्था $|V\rangle$. जब तक इसके ध्रुवीकरण को नहीं मापा जाता है, तब तक फोटॉन इन दोनों अवस्थाओं की एक क्वांटम सुपरपोजिशन में हो सकता है, इसलिए इसकी अवस्था $|\psi \rangle$ के रूप में लिखा जा सकता है:

$|\psi \rangle =\alpha |H\rangle +\beta |V\rangle$

की संभाव्यता आयाम $|\psi \rangle$ राज्यों के लिए $|H\rangle$ और $|V\rangle$ हैं $\alpha$ और $\beta$ क्रमश। जब फोटॉन के ध्रुवीकरण को मापा जाता है, तो परिणामी स्थिति या तो क्षैतिज या लंबवत होती है। लेकिन एक यादृच्छिक प्रयोग में क्षैतिज रूप से ध्रुवीकृत होने की संभावना है $|\alpha |^{2}$, और लंबवत ध्रुवीकृत होने की संभावना है $|\beta |^{2}$.

इसलिए, उदाहरण के लिए, एक राज्य में एक फोटॉन ${\textstyle |\psi \rangle ={\sqrt {\frac {1}{3}}}|H\rangle -i{\sqrt {\frac {2}{3}}}|V\rangle }$ की संभावना होगी ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ क्षैतिज रूप से ध्रुवीकृत होने के लिए, और की संभावना ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ जब मापों का एक सांख्यिकीय पहनावा (गणितीय भौतिकी) बनाया जाता है तो लंबवत ध्रुवीकरण होता है। हालांकि, ऐसे परिणामों का क्रम पूरी तरह यादृच्छिक है।

सामान्यीकरण

उपरोक्त उदाहरण में, माप या तो देना चाहिए | H ⟩ या | V ⟩, तो मापने की कुल संभावना | H ⟩ या | V ⟩ 1 होना चाहिए। यह एक बाधा की ओर जाता है α² + β² = 1; आम तौर पर सभी संभावित अवस्थाओं के संभाव्यता आयाम के वर्गित मापांक का योग एक के बराबर होता है। यदि सभी संभावित अवस्थाओं को ऑर्थोनॉर्मल आधार के रूप में समझना है, जो कि असतत मामले में समझ में आता है, तो यह स्थिति मानदंड -1 स्थिति के समान है जिसे #गणितीय समझाया गया है।

कोई भी हिल्बर्ट अंतरिक्ष के किसी भी गैर-शून्य तत्व को उसके मानदंड से विभाजित कर सकता है और एक 'सामान्यीकृत' राज्य वेक्टर प्राप्त कर सकता है। हर वेव फंक्शन हिल्बर्ट स्पेस से संबंधित नहीं है L²(X), यद्यपि। वेव फ़ंक्शंस जो इस बाधा को पूरा करते हैं उन्हें सामान्यीकृत तरंग तरंग क्रिया कहा जाता है।

श्रोडिंगर तरंग समीकरण, क्वांटम कणों की अवस्थाओं का वर्णन करते हुए, ऐसे समाधान हैं जो एक प्रणाली का वर्णन करते हैं और यह निर्धारित करते हैं कि राज्य समय विकास ऑपरेटर कैसे है। मान लीजिए कि एक तरंग है ψ₀(x, t) कण का विवरण देते हुए तरंग समीकरण का एक समाधान है (स्थिति x, समय के लिए t). यदि वेवफंक्शन चौकोर पूर्णांक है, अर्थात

$\int _{\mathbf {R} ^{n}}|\psi _{0}(\mathbf {x} ,t_{0})|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =a^{2}<\infty$

कुछ के लिए t₀, तब ψ = ψ₀/a सामान्यीकृत तरंग क्रिया कहलाती है। मानक कोपेनहेगन व्याख्या के तहत, सामान्यीकृत वेवफंक्शन कण की स्थिति के लिए संभाव्यता आयाम देता है। इसलिए, एक निश्चित समय पर t₀, ρ(x) = |ψ(x, t₀)|² कण की स्थिति का प्रायिकता घनत्व फलन है। इस प्रकार संभावना है कि कण मात्रा में है V पर t₀ है

$\mathbf {P} (V)=\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\,\mathrm {d\mathbf {x} } =\int _{V}|\psi (\mathbf {x} ,t_{0})|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } .$

ध्यान दें कि यदि कोई उपाय है ψ₀ कुछ समय में तरंग समीकरण सामान्य हो जाता है t₀, फिर ψ ऊपर परिभाषित हमेशा सामान्यीकृत होता है, ताकि

$\rho _{t}(\mathbf {x} )=\left|\psi (\mathbf {x} ,t)\right|^{2}=\left|{\frac {\psi _{0}(\mathbf {x} ,t)}{a}}\right|^{2}$

सभी के लिए हमेशा प्रायिकता घनत्व फलन होता है t. यह इस व्याख्या के महत्व को समझने की कुंजी है, क्योंकि किसी दिए गए कण के निरंतर द्रव्यमान के लिए प्रारंभिक ψ(x, 0) और संभावित ऊर्जा , श्रोडिंगर तरंग समीकरण | श्रोडिंगर समीकरण पूरी तरह से बाद की तरंग क्रिया को निर्धारित करता है, और उपरोक्त सभी बाद के समय में कण के स्थानों की संभावनाएं देता है।

घटनाओं की संभावनाओं की गणना के नियम

ए। बशर्ते एक प्रणाली स्वाभाविक रूप से विकसित हो (जो कोपेनहेगन व्याख्या के तहत इसका अर्थ है कि प्रणाली माप के अधीन नहीं है), निम्नलिखित कानून लागू होते हैं:

1. किसी घटना के होने की संभावना (या स्थिति / गति स्थान में संभावना का घनत्व) घटना के लिए संभावना आयाम के निरपेक्ष मूल्य का वर्ग है: $P=|\phi |^{2}$.
2. यदि कई पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं हैं, अप्रभेद्य विकल्प जिसमें एक घटना हो सकती है (या, वेवफंक्शन की यथार्थवादी व्याख्याओं में, स्पेस-टाइम इवेंट के लिए कई वेवफंक्शन मौजूद हैं), इन सभी संभावनाओं के प्रायिकता आयाम संभाव्यता आयाम देने के लिए जोड़ते हैं उस घटना के लिए:
   $$\phi =\sum _{i}\phi _{i};P=|\phi |^{2}=\left|\sum _{i}\phi _{i}\right|^{2}.$$
3. यदि, किसी भी विकल्प के लिए, उप-घटनाओं का एक क्रम है, तो उस विकल्प के लिए प्रायिकता आयाम प्रत्येक उप-घटना के लिए प्रायिकता आयाम का गुणनफल है: $\phi _{APB}=\phi _{AP}\phi _{PB}$.
4. एक समग्र क्वांटम प्रणाली के गैर-उलझने वाले राज्यों में घटक प्रणालियों के राज्यों के आयाम के उत्पाद के बराबर आयाम हैं:
   $$\phi _{\text{system}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots )=\phi _{1}(\alpha )\phi _{2}(\beta )\phi _{3}(\gamma )\phi _{4}(\delta )\cdots .$$
   देखो § Composite systems अधिक जानकारी के लिए।

कानून 2 संभाव्यता स्वयंसिद्धों के अनुरूप है, केवल प्रायिकता को प्रायिकता आयाम द्वारा प्रतिस्थापित किया जा रहा है। इसी प्रकार, कानून 4 स्वतंत्र घटनाओं के लिए संभाव्यता के गुणन कानून के अनुरूप है; ध्यान दें कि यह क्वांटम उलझाव के लिए विफल रहता है।

बी। जब कई विकल्पों के बीच निर्णय लेने के लिए एक प्रयोग किया जाता है, तो समान कानून संबंधित संभावनाओं के लिए सही होते हैं:

$$P=\sum _{i}|\phi _{i}|^{2}.$$

बशर्ते किसी प्रयोग से जुड़ी घटनाओं के लिए संभाव्यता आयाम को जाना जाता है, उपरोक्त कानून संभावनाओं के संदर्भ में क्वांटम सिस्टम का पूरा विवरण प्रदान करते हैं।

उपरोक्त नियम प्रसिद्ध सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन द्वारा विकसित औपचारिकता में पथ अभिन्न सूत्रीकरण का मार्ग प्रशस्त करते हैं। क्वांटम यांत्रिकी के लिए यह दृष्टिकोण क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पथ अभिन्न दृष्टिकोण के लिए कदम-पत्थर बनाता है।

डबल-स्लिट प्रयोग के संदर्भ में

Main article: Double-slit experiment

संभाव्यता आयाम का विशेष महत्व है क्योंकि वे क्वांटम यांत्रिकी में परंपरागत संभावनाओं के समकक्ष के रूप में कार्य करते हैं, ऊपर वर्णित कई समान कानूनों के साथ। उदाहरण के लिए, क्लासिक डबल-स्लिट प्रयोग में, इलेक्ट्रॉनों को दो स्लिट्स पर बेतरतीब ढंग से निकाल दिया जाता है, और स्लिट्स के पीछे रखी एक बड़ी स्क्रीन पर सभी भागों में इलेक्ट्रॉनों का पता लगाने की संभावना वितरण पर सवाल उठाया जाता है। एक सहज उत्तर है P(through either slit) = P(through first slit) + P(through second slit), कहां P(event) उस घटना की संभावना है। यह स्पष्ट है अगर कोई मानता है कि इलेक्ट्रॉन किसी भी भट्ठा से गुजरता है। जब प्रकृति के पास यह भेद करने का कोई तरीका नहीं होता है कि इलेक्ट्रॉन किस भट्ठा से गुजरा है (एक बहुत अधिक कठोर स्थिति जो केवल देखी नहीं गई है), स्क्रीन पर देखा गया संभाव्यता वितरण हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) को दर्शाता है जो प्रकाश तरंगों के साथ आम है . यदि कोई उपरोक्त नियम को सत्य मानता है, तो इस पैटर्न की व्याख्या नहीं की जा सकती है। कणों को या तो भट्ठा से गुजरने के लिए नहीं कहा जा सकता है और सरल व्याख्या काम नहीं करती है। हालांकि, सही व्याख्या प्रत्येक घटना के लिए संभाव्यता आयाम के सहयोग से है। यह केस ए का एक उदाहरण है जैसा कि पिछले लेख में बताया गया है। जटिल आयाम जो प्रत्येक भट्ठा से गुजरने वाले इलेक्ट्रॉन का प्रतिनिधित्व करते हैं (ψ_first और ψ_second) अपेक्षित रूप से सटीक रूप से कानून का पालन करें: ψ_total = ψ_first + ψ_second. यह क्वांटम सुपरपोजिशन का सिद्धांत है। प्रायिकता, जो प्रायिकता आयाम का मापांक वर्ग है, फिर, आवश्यकता के तहत हस्तक्षेप पैटर्न का अनुसरण करता है कि आयाम जटिल हैं:

$$P=\left|\psi _{\text{first}}+\psi _{\text{second}}\right|^{2}=\left|\psi _{\text{first}}\right|^{2}+\left|\psi _{\text{second}}\right|^{2}+2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2}).$$

यहां, $\varphi _{1}$ और $\varphi _{2}$ का तर्क (जटिल विश्लेषण) हैं ψ_first और ψ_second क्रमश। सुपरपोज़िशन को ध्यान में रखते समय सिस्टम की स्थिति का वर्णन करने के लिए विशुद्ध रूप से वास्तविक सूत्रीकरण के बहुत कम आयाम हैं। यही है, आयाम के तर्कों के बिना, हम चरण-निर्भर हस्तक्षेप का वर्णन नहीं कर सकते। निर्णायक पद ${\textstyle 2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$ हस्तक्षेप शब्द कहा जाता है, और यदि हमने संभावनाओं को जोड़ा होता तो यह गायब होता।

हालाँकि, कोई एक ऐसा प्रयोग तैयार करना चुन सकता है जिसमें प्रयोगकर्ता यह देखता है कि प्रत्येक इलेक्ट्रॉन किस स्लिट से होकर जाता है। तब उपरोक्त लेख का केस बी लागू होता है, और स्क्रीन पर हस्तक्षेप पैटर्न नहीं देखा जाता है।

एक प्रयोग को विकसित करने में आगे बढ़ सकते हैं जिसमें क्वांटम इरेज़र प्रयोग द्वारा प्रयोगकर्ता इस किस-पथ की जानकारी से छुटकारा पाता है| क्वांटम इरेज़र। फिर, कोपेनहेगन व्याख्या के अनुसार, केस ए फिर से लागू होता है और हस्तक्षेप पैटर्न बहाल हो जाता है।

संभावनाओं का संरक्षण और निरंतरता समीकरण

Main article: Probability current

सहज रूप से, चूंकि तरंग समीकरण के अनुसार विकसित होने पर एक सामान्यीकृत तरंग फ़ंक्शन सामान्यीकृत रहता है, इसलिए कण की स्थिति की प्रायिकता घनत्व में परिवर्तन और इन स्थितियों में आयाम में परिवर्तन के बीच संबंध होगा।

संभाव्यता वर्तमान (या प्रवाह) को परिभाषित करें j जैसा

$\mathbf {j} ={\hbar \over m}{1 \over {2i}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)={\hbar \over m}\operatorname {Im} \left(\psi ^{*}\nabla \psi \right),$

(संभावना)/(क्षेत्र × समय) की इकाइयों में मापा जाता है।

तब धारा समीकरण को संतुष्ट करती है

$\nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \over \partial t}|\psi |^{2}=0.$

संभाव्यता घनत्व है $\rho =|\psi |^{2}$, यह समीकरण वास्तव में निरंतरता समीकरण है, भौतिकी में कई स्थितियों में प्रकट होता है जहां हमें मात्राओं के स्थानीय संरक्षण का वर्णन करने की आवश्यकता होती है। सबसे अच्छा उदाहरण शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स में है, जहां j विद्युत आवेश के अनुरूप वर्तमान घनत्व से मेल खाता है, और घनत्व आवेश-घनत्व है। संबंधित निरंतरता समीकरण स्थानीय चार्ज संरक्षण का वर्णन करता है।

समग्र प्रणाली

रिक्त स्थान के साथ दो क्वांटम सिस्टम के लिए L²(X₁) और L²(X₂) और दिए गए राज्य |Ψ₁⟩ और |Ψ₂⟩ क्रमशः, उनकी संयुक्त अवस्था |Ψ₁⟩ ⊗ |Ψ₂⟩ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ψ₁(x₁) ψ₂(x₂) एक समारोह चालू X₁ × X₂, जो देता है उत्पाद माप । दूसरे शब्दों में, एक गैर-क्वांटम उलझाव समग्र राज्य के आयाम मूल आयामों का गुणन हैं, और सिस्टम 1 और 2 पर सुविधाजनक इन राज्यों पर स्वतंत्र यादृच्छिक चर के रूप में व्यवहार करते हैं। यह घटनाओं की संभावनाओं की गणना के नियमों की व्याख्या की गई संभाव्य व्याख्या को मजबूत करता है।

ऑपरेटरों में आयाम

ऊपर वर्णित एम्पलीट्यूड की अवधारणा क्वांटम स्टेट वैक्टर के लिए प्रासंगिक है। इसका उपयोग एकात्मक संचालक ों के संदर्भ में भी किया जाता है जो बिखरने के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से एस मैट्रिक्स | एस-मैट्रिसेस के रूप में। जबकि किसी दिए गए सदिश के लिए सदिश घटकों के वर्ग के मापांक, एक निश्चित संभाव्यता वितरण देते हैं, मैट्रिक्स तत्व (भौतिकी) के वर्ग के मापांक को एक यादृच्छिक प्रक्रिया की तरह ही संक्रमण की संभावना के रूप में व्याख्या की जाती है। एक परिमित-आयामी इकाई वेक्टर की तरह एक परिमित संभाव्यता वितरण निर्दिष्ट करता है, एक परिमित-आयामी एकात्मक मैट्रिक्स राज्यों की एक सीमित संख्या के बीच संक्रमण की संभावनाओं को निर्दिष्ट करता है। ध्यान दें कि एकात्मक मैट्रिक्स के कॉलम, वैक्टर के रूप में, मानदंड 1 है।

संक्रमणकालीन व्याख्या पर लागू किया जा सकता है L²एस गैर असतत रिक्त स्थान पर भी।

यह भी देखें

• मुक्त कण
• परिमित संभावित बाधा
• पदार्थ तरंग
• अनिश्चित सिद्धांत
• जॉन क्लाइव वार्ड|वार्ड का प्रायिकता आयाम
• वेव पैकेट
• चरण स्थान सूत्रीकरण

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• संभाव्यता सघनता फ़ंक्शन
• तरंग क्रिया
• हुए
• भौतिकी में नोबेल पुरस्कार
• मापांक चुकता
• कितना राज्य
• क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्या
• नमूदार
• खुद का राज्य
• अनिश्चित सिद्धांत
• जन्म नियम
• सदिश स्थल
• समारोह स्थान
• नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस
• वास्तविक मूल्यवान समारोह
• विविध
• लेबेस्ग उपाय
• गैर-परमाणु उपाय
• ऊर्जा के स्तर को कम करना
• वर्णक्रमीय सिद्धांत
• लगभग नहीं
• एक आयामी स्थान
• स्थिति और गति स्थान
• एक भौतिक मात्रा का आयाम
• चिकना समारोह
• डिब्बे में कण
• फोटोन
• ऑर्थोनॉर्मल बेसिस
• सामान्यीकृत तरंग समारोह
• सामान्यीकृत तरंग समारोह
• परस्पर अनन्य कार्यक्रम
• बहुत नाजुक स्थिति
• संभाव्यता सिद्धांत
• हस्तक्षेप (लहर प्रसार)
• सातत्य समीकरण
• गुणा
• बिखरने का सिद्धांत
• संक्रमण की संभावनाएं
• संभावित बाधा को सीमित करें

संदर्भ

• Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1989). "Probability Amplitudes". The Feynman Lectures on Physics. Vol. 3. Redwood City: Addison-Wesley. ISBN 0-201-51005-7.
• Gudder, Stanley P. (1988). Quantum Probability. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-305340-4.