वियोज्य आंशिक अंतर समीकरण

एक वियोज्य आंशिक अंतर समीकरण वह है जिसे चरों को अलग करने की विधि द्वारा कम आयामीता (कम स्वतंत्र चर) के अलग-अलग समीकरणों के एक सेट में तोड़ा जा सकता है। यह आम तौर पर कुछ विशेष रूप या समरूपता वाली समस्या पर निर्भर करता है। इस तरह, आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) को सरल पीडीई, या सामान्य अंतर समीकरण (ओडीई) के एक सेट को हल करके हल किया जा सकता है यदि समस्या को एक आयामी समीकरणों में तोड़ा जा सकता है।

चरों के पृथक्करण का सबसे सामान्य रूप चरों का सरल पृथक्करण है जिसमें प्रत्येक व्यक्तिगत निर्देशांक के कार्यों के उत्पाद द्वारा दिए गए फॉर्म के समाधान को मानकर एक समाधान प्राप्त किया जाता है। चरों के पृथक्करण का एक विशेष रूप है जिसे कहा जाता है $R$-चरों का पृथक्करण जो समाधान को प्रत्येक व्यक्तिगत समन्वय के कार्यों के उत्पाद द्वारा गुणा किए गए निर्देशांक के एक विशेष निश्चित कार्य के रूप में लिखकर पूरा किया जाता है। लाप्लास का समीकरण चालू ${\mathbb {R} }^{n}$ एक आंशिक अवकल समीकरण का एक उदाहरण है जो समाधान को स्वीकार करता है $R$चर का पृथक्करण; त्रि-आयामी मामले में यह 6-गोले निर्देशांक का उपयोग करता है।

(यह एक वियोज्य ODE के मामले से भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो कुछ अलग वर्ग की समस्याओं को संदर्भित करता है जिन्हें एक जोड़ी अभिन्न में तोड़ा जा सकता है; चरों का पृथक्करण देखें।)

उदाहरण

उदाहरण के लिए, समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें

$[-\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} )]\psi (\mathbf {x} )=E\psi (\mathbf {x} )$

समारोह के लिए $\psi (\mathbf {x} )$ (आयाम रहित इकाइयों में, सरलता के लिए)। (समरूप रूप से, असमांगी हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण पर विचार करें।) यदि फलन $V(\mathbf {x} )$ तीन आयामों में रूप का है

$V(x_{1},x_{2},x_{3})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+V_{3}(x_{3}),$

तो यह पता चला है कि कार्यों के लिए समस्या को तीन एक-आयामी ओडीई में अलग किया जा सकता है $\psi _{1}(x_{1})$, $\psi _{2}(x_{2})$, और $\psi _{3}(x_{3})$, और अंतिम समाधान के रूप में लिखा जा सकता है $\psi (\mathbf {x} )=\psi _{1}(x_{1})\cdot \psi _{2}(x_{2})\cdot \psi _{3}(x_{3})$. (आम तौर पर, श्रोडिंगर समीकरण के वियोज्य मामलों की गणना 1948 में ईसेनहार्ट द्वारा की गई थी।)

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