क्षेत्र विस्तार

गणित में, विशेष रूप से बीजगणित में, एक क्षेत्र विस्तार क्षेत्र (गणित) की एक जोड़ी है $K\subseteq L,$ इस तरह के K के संचालन K के लिए l प्रतिबंध (गणित) के हैं।^[1]^[2]^[3] उदाहरण के लिए, जोड़ और गुणन की सामान्य धारणाओं के तहत, जटिल संख्या वास्तविक संख्याओं का एक विस्तार क्षेत्र है;वास्तविक संख्याएं जटिल संख्याओं का एक सबफील्ड हैं।

फील्ड एक्सटेंशन बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में मौलिक हैं, और गैलोइस सिद्धांत के माध्यम से बहुपद जड़ों के अध्ययन में, और व्यापक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किए जाते हैं।

सबफील्ड

एक सबफील्ड $K$ एक क्षेत्र की (गणित) $L$ एक सबसेट है $K\subseteq L$ यह एक क्षेत्र है जो विरासत में प्राप्त क्षेत्र संचालन के संबंध में है $L$ ।समान रूप से, एक सबफील्ड एक उपसमुच्चय है जिसमें शामिल है $1$ , और इसके अलावा, घटाव, गुणन के संचालन के तहत बंद (गणित) है। $K$ ।

जैसा $1 - 1 = 0$ , बाद की परिभाषा का अर्थ है $K$ और $L$ एक ही शून्य तत्व है।

उदाहरण के लिए, तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का एक उप -क्षेत्र है, जो स्वयं जटिल संख्याओं का एक उप -क्षेत्र है।आम तौर पर, तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र एक अंगूठी की विशेषता के किसी भी क्षेत्र का एक उपक्षेत्र है (या समाकृतिकता है) $0$ ।

एक सबफील्ड की विशेषता (बीजगणित) बड़े क्षेत्र की विशेषता के समान है।

एक्सटेंशन फील्ड

यदि K L का एक उप -क्षेत्र है, तो L एक 'एक्सटेंशन फ़ील्ड' या K का केवल 'एक्सटेंशन' है, और यह जोड़ी फील्ड्स एक 'फील्ड एक्सटेंशन' है।इस तरह के फील्ड एक्सटेंशन को l / k (K के रूप में पढ़ें) को दर्शाया गया है।

यदि L F का एक विस्तार है, जो K के विस्तार में है, तो F को L / K के 'मध्यवर्ती क्षेत्र' (या 'इंटरमीडिएट एक्सटेंशन' या 'सबक्स्टेंशन') के रूप में कहा जाता है।

एक फील्ड एक्सटेंशन को देखते हुए L / K, बड़ा क्षेत्र L एक K-VECTOR SPACE है।इस सदिश स्थल के आयाम (वेक्टर स्पेस) को एक फील्ड एक्सटेंशन की डिग्री कहा जाता है। एक्सटेंशन की 'डिग्री' और [l & nbsp;: & nbsp; k] द्वारा निरूपित किया गया है।

एक एक्सटेंशन की डिग्री 1 है यदि और केवल यदि दो फ़ील्ड समान हैं।इस मामले में, विस्तार एक 'तुच्छ विस्तार' है।डिग्री 2 और 3 के एक्सटेंशन को क्रमशः 'द्विघात एक्सटेंशन' और 'क्यूबिक एक्सटेंशन' कहा जाता है।एक 'परिमित एक्सटेंशन' एक एक्सटेंशन है जिसमें एक परिमित डिग्री है।

दो एक्सटेंशन दिए गए L / K और M / L, विस्तृति M / K परिमित है अगर और केवल अगर दोनों L / K और M / L परिमित हैं।इस मामले में, एक है

[M:K]=[M:L]\cdot [L:K].

एक फील्ड एक्सटेंशन एल / के और एल के एक सबसेट एस को देखते हुए, एल का एक सबसे छोटा उपक्षेत्र होता है जिसमें के और एस होता है। यह एल के सभी उपक्षेत्रों का चौराहा है जिसमें k और s होते हैं, और k (s) द्वारा निरूपित किया जाता है।।एक का कहना है कि k (s) k से उत्पन्न क्षेत्र है, और यह s k के ऊपर k (s) का एक उत्पन्न करने वाला सेट है। $S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ परिमित है, एक लिखता है $K(x_{1},\ldots ,x_{n})$ के बजाय $K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}),$ और एक कहता है कि के (एस) है finitely generated K. यदि S में एक ही तत्व होता है, तो एक्सटेंशन K(s) / K एक साधारण विस्तार कहा जाता है^[4]^[5] और एस को विस्तार का एक आदिम तत्व (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है।^[6] फॉर्म का एक विस्तार क्षेत्र K(S) अक्सर से परिणाम के लिए कहा जाता हैadjunctionके से के।^[7]^[8] एक रिंग 0 की विशेषता में, प्रत्येक परिमित विस्तार एक सरल विस्तार है।यह आदिम तत्व प्रमेय है, जो गैर-शून्य विशेषता के क्षेत्रों के लिए सही नहीं है।

अगर एक साधारण एक्सटेंशन K(s) / K परिमित नहीं है, फील्ड k (s) k पर s में तर्कसंगत अंशों के क्षेत्र के लिए आइसोमॉर्फिक है।

कैवेट्स

संकेतन l / k विशुद्ध रूप से औपचारिक है और इसका अर्थ एक भागफल रिंग या भागफल समूह या किसी अन्य प्रकार के विभाजन का गठन नहीं करता है।इसके बजाय स्लैश शब्द को व्यक्त करता है।कुछ साहित्य में संकेतन l: k का उपयोग किया जाता है।

यह अक्सर उन स्थितियों में फील्ड एक्सटेंशन के बारे में बात करना वांछनीय होता है जहां छोटा क्षेत्र वास्तव में बड़े में निहित नहीं है, लेकिन स्वाभाविक रूप से एम्बेडेड है।इस उद्देश्य के लिए, एक अमूर्त रूप से एक फील्ड एक्सटेंशन को दो क्षेत्रों के बीच एक इंजेक्टिव फ़ंक्शन रिंग समरूपता के रूप में परिभाषित करता है। खेतों के बीच प्रत्येक गैर-शून्य रिंग होमोमोर्फिज्म इंजेक्शन है क्योंकि फ़ील्ड में नॉनटिवियल उचित आदर्श_ (RING_THEORY) नहीं है, इसलिए फ़ील्ड एक्सटेंशन ठीक से फ़ील्ड की श्रेणी में आकारिकी हैं।

इसके बाद, हम इंजेक्टिव समरूपता को दबाएंगे और मान लेंगे कि हम वास्तविक उपक्षेत्रों के साथ काम कर रहे हैं।

उदाहरण

जटिल संख्याओं का क्षेत्र $\mathbb {C}$ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का एक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {R}$ , और $\mathbb {R}$ बदले में तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र का एक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {Q}$ ।स्पष्ट रूप से, $\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ एक फील्ड एक्सटेंशन भी है।अपने पास $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ क्योंकि $\{1,i\}$ एक आधार है, इसलिए विस्तार $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ परिमित है।यह एक साधारण विस्तार है क्योंकि $\mathbb {C} =\mathbb {R} (i).$ $[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}$ (सातत्य की कार्डिनलिटी), इसलिए यह विस्तार अनंत है।

फील्ड

\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},

का एक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {Q} ,$ यह भी स्पष्ट रूप से एक साधारण विस्तार।डिग्री 2 है क्योंकि $\left\{1,{\sqrt {2}}\right\}$ एक आधार के रूप में सेवा कर सकते हैं।

फील्ड

{\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}

दोनों का एक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ और $\mathbb {Q} ,$ क्रमशः डिग्री 2 और 4।यह एक साधारण एक्सटेंशन भी है, क्योंकि कोई भी दिखा सकता है

{\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}

परिमित विस्तार $\mathbb {Q}$ बीजगणितीय संख्या फ़ील्ड भी कहा जाता है और संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं।तर्कसंगतों का एक और विस्तार क्षेत्र, जो संख्या सिद्धांत में भी महत्वपूर्ण है, हालांकि एक परिमित विस्तार नहीं है, पी-एडिक संख्याओं का क्षेत्र है $\mathbb {Q} _{p}$ एक प्राइम नंबर पी के लिए।

किसी दिए गए बहुपद f (x) के लिए एक फ़ंक्शन की जड़ बनाने के लिए बहुपद रिंग k [x] के एक भागफल रिंग के रूप में किसी दिए गए फ़ील्ड k के एक्सटेंशन फ़ील्ड का निर्माण करना आम है।उदाहरण के लिए मान लीजिए कि k में X के साथ कोई तत्व x नहीं है² = −1।फिर बहुपद $X^{2}+1$ K [x] में irreducible बहुपद है, परिणामस्वरूप इस बहुपद द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) अधिकतम आदर्श है, और $L=K[X]/(X^{2}+1)$ K का एक एक्सटेंशन फ़ील्ड है जिसमें एक तत्व होता है जिसका वर्ग −1 है (अर्थात् x का अवशेष वर्ग)।

उपरोक्त निर्माण को पुन: उत्पन्न करके, कोई k [x] से किसी भी बहुपद के विभाजन क्षेत्र का निर्माण कर सकता है।यह K का एक एक्सटेंशन फ़ील्ड L है जिसमें दिया गया बहुपद रैखिक कारकों के उत्पाद में विभाजित होता है।

यदि P कोई अभाज्य संख्या है और n एक सकारात्मक पूर्णांक है, तो हमारे पास एक परिमित क्षेत्र GF है (P)ⁿ) पी के साथⁿ तत्व;यह परिमित क्षेत्र का एक विस्तार क्षेत्र है $\operatorname {GF} (p)=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ पी तत्वों के साथ।

एक फ़ील्ड k को देखते हुए, हम k में गुणांक के साथ चर X में सभी तर्कसंगत कार्यों के फ़ील्ड k (x) पर विचार कर सकते हैं;K (x) के तत्व K पर दो बहुपद के अंश हैं, और वास्तव में K (x) बहुपद रिंग k [x] के अंशों का क्षेत्र है।तर्कसंगत कार्यों का यह क्षेत्र K का एक विस्तार क्षेत्र है। यह विस्तार अनंत है।

एक रीमैन सतह एम को देखते हुए, एम पर परिभाषित सभी मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन का सेट एक क्षेत्र है, जिसे दर्शाया गया है $\mathbb {C} (M).$ यह एक पारलौकिक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {C}$ यदि हम एम। पर परिभाषित इसी निरंतर फ़ंक्शन के साथ प्रत्येक जटिल संख्या की पहचान करते हैं, तो आम तौर पर, कुछ फ़ील्ड k पर एक बीजगणितीय किस्म v को देखते हुए, तो V की एक बीजीय किस्म का फ़ंक्शन फ़ील्ड, V पर परिभाषित तर्कसंगत कार्यों से मिलकर और निरूपित किया जाता है।के (वी), के का एक विस्तार क्षेत्र है।

बीजगणितीय विस्तार

एक क्षेत्र एक्सटेंशन का एक तत्व x L / K K पर बीजगणितीय है यदि यह K में गुणांक के साथ एक गैर -बहुपद के एक समारोह की जड़ है। उदाहरण के लिए, ${\sqrt {2}}$ तर्कसंगत संख्याओं पर बीजगणितीय है, क्योंकि यह एक जड़ है $x^{2}-2.$ यदि L का एक तत्व X K पर बीजगणितीय है, तो सबसे कम डिग्री का मोनिक बहुपद है जिसमें X को एक जड़ के रूप में x का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है।यह न्यूनतम बहुपद K पर irreducible बहुपद है।

एल का एक तत्व एस के ऊपर बीजीय है अगर और केवल अगर सरल एक्सटेंशन K(s) /K एक परिमित विस्तार है।इस मामले में एक्सटेंशन की डिग्री न्यूनतम बहुपद की डिग्री के बराबर होती है, और के-वेक्टर स्पेस के आधार k (s) के होते हैं $1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},$ जहां डी न्यूनतम बहुपद की डिग्री है।

एल के तत्वों का सेट जो कि K पर बीजगणितीय होते हैं, एक सबक्स्टेंशन बनाते हैं, जिसे L में K का बीजगणितीय बंद कहा जाता है। यह पूर्ववर्ती लक्षण वर्णन से होता है: यदि S और T बीजगणितीय हैं, तो एक्सटेंशन K(s) /K और K(s)(t) /K(s) परिमित हैं।इस प्रकार K(s, t) /K परिमित भी है, साथ ही उप एक्सटेंशन भी K(s ± t) /K, K(st) /K और K(1/s) /K (अगर s ≠ 0)।यह इस प्रकार है कि s ± t, सेंट और 1/एस सभी बीजीय हैं।

एक बीजीय विस्तार L / K एक एक्सटेंशन ऐसा है कि एल का प्रत्येक तत्व K पर बीजगणितीय है। समतुल्य रूप से, एक बीजगणितीय विस्तार एक विस्तार है जो बीजगणितीय तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है।उदाहरण के लिए, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ का एक बीजीय विस्तार है $\mathbb {Q}$ , क्योंकि ${\sqrt {2}}$ और ${\sqrt {3}}$ बीजगणितीय से अधिक हैं $\mathbb {Q} .$ एक साधारण विस्तार बीजीय है यदि और केवल अगर यह परिमित है।इसका तात्पर्य यह है कि एक एक्सटेंशन बीजीय है यदि और केवल अगर यह इसके परिमित उप -संदर्भों का मिलन है, और यह कि प्रत्येक परिमित विस्तार बीजीय है।

प्रत्येक क्षेत्र k में एक बीजीय बंद होता है, जो कि K के सबसे बड़े एक्सटेंशन फ़ील्ड के लिए एक आइसोमोर्फिज्म तक होता है, जो K पर बीजीय है, और यह भी सबसे छोटा एक्सटेंशन फ़ील्ड जैसे कि K में गुणांक के साथ प्रत्येक बहुपद में एक जड़ है।उदाहरण के लिए, $\mathbb {C}$ का एक बीजीय बंद है $\mathbb {R}$ , लेकिन एक बीजीय बंद नहीं $\mathbb {Q}$ , क्योंकि यह बीजीय पर नहीं है $\mathbb {Q}$ (उदाहरण के लिए $π$ पर्वक्रिय पर नहीं है $\mathbb {Q}$ )।

ट्रांसेंडेंटल एक्सटेंशन

उदाहरणों के लिए पारलौकिक उपाधि और ट्रांसेंडेंटल एक्सटेंशन की अधिक व्यापक चर्चा देखें।

एक फील्ड एक्सटेंशन को देखते हुए L / K, एल के एक सबसेट एस को k पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि K में गुणांक के साथ कोई गैर-तुच्छ बहुपद संबंध एस के तत्वों के बीच मौजूद नहीं है, तो एक बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र सेट के सबसे बड़े कार्डिनैलिटी को एल/के की पारगमन डिग्री कहा जाता है।हमेशा के ऊपर एक सेट एस, बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र रूप से खोजना संभव है, जैसे कि एल/के (एस) बीजगणितीय है।इस तरह के एक सेट एस को एल/के का पारगमन आधार कहा जाता है।सभी पारलौकिक आधारों में एक ही कार्डिनलिटी होती है, जो एक्सटेंशन की पारगमन डिग्री के बराबर होता है।एक विस्तार l/k कहा जाता है 'purely transcendentalयदि और केवल अगर वहाँ एक पारगमन आधार इस तरह के विस्तार की संपत्ति है कि k को छोड़कर l के सभी तत्व k पर पारलौकिक हैं, लेकिन, हालांकि, इस संपत्ति के साथ एक्सटेंशन हैं जो विशुद्ध रूप से पारलौकिक नहीं हैं - एक वर्ग - एक वर्ग नहीं हैइस तरह के एक्सटेंशन l '/' 'k' 'को लेते हैं, जहाँ दोनों' 'l' 'और' 'k' 'दोनों बीजगणितीय रूप से बंद हैं।इसके अलावा, यदि l 'k' 'विशुद्ध रूप से पारलौकिक है और' 's' 'विस्तार का एक पारगमन आधार है,(एस)।

उदाहरण के लिए, विस्तार पर विचार करें $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q} ,$ जहां x पारलौकिक है $\mathbb {Q} .$ सेट $\{x\}$ X ट्रान्सेंडैंटल होने के बाद से बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है।जाहिर है, विस्तार $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q} (x)$ बीजगणितीय है, इसलिए $\{x\}$ एक पारगमन आधार है।यह पूरे एक्सटेंशन को उत्पन्न नहीं करता है क्योंकि इसमें कोई बहुपद अभिव्यक्ति नहीं है $x$ के लिए ${\sqrt {x}}$ ।लेकिन यह देखना आसान है $\{{\sqrt {x}}\}$ एक पारगमन आधार है जो उत्पन्न करता है $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}}),$ तो यह विस्तार वास्तव में विशुद्ध रूप से पारलौकिक है।

सामान्य, अलग -अलग और गैलोइस एक्सटेंशन

एक बीजगणितीय विस्तार L/K को सामान्य विस्तार कहा जाता है यदि K [x] में प्रत्येक ireducible बहुपद है, जिसमें L पर L में पूरी तरह से कारकों में एक जड़ है।एफ जैसे कि एल/के सामान्य है और जो इस संपत्ति के साथ न्यूनतम है।

एक बीजगणितीय विस्तार L/K को अलग -अलग विस्तार कहा जाता है यदि K के प्रत्येक तत्व के न्यूनतम बहुपद k से अलग -अलग बहुपद है, यानी, K पर एक बीजीय बंद होने में कोई बार -बार जड़ों की कोई बार -बार नहीं है। एक गैलिस एक्सटेंशन एक क्षेत्र का विस्तार है जो सामान्य है और दोनों सामान्य है और दोनों सामान्य हैं औरअलग।

आदिम तत्व प्रमेय का एक परिणाम बताता है कि प्रत्येक परिमित वियोज्य एक्सटेंशन में एक आदिम तत्व होता है (यानी सरल है)।

किसी भी फील्ड एक्सटेंशन एल/के को देखते हुए, हम इसके 'स्वचालितता ग्रुप' ऑट (एल/के) पर विचार कर सकते हैं, जिसमें सभी फील्ड ऑटोमोर्फिज्म α: एल → एल के साथ α (x) = x के साथ K में सभी x के लिए K. पृथक विस्तार होता है।गैलिस इस ऑटोमोर्फिज्म ग्रुप को एक्सटेंशन का गैलोइस समूह कहा जाता है।एक्सटेंशन जिनके गैलोइस ग्रुप एबेलियन ग्रुप हैं उन्हें एबेलियन एक्सटेंशन कहा जाता है।

किसी दिए गए फ़ील्ड एक्सटेंशन L/K के लिए, एक को अक्सर मध्यवर्ती फ़ील्ड F (L के उप -क्षेत्रों में k होता है) में रुचि होती है।गैलोइस एक्सटेंशन और गैलोइस समूहों का महत्व यह है कि वे मध्यवर्ती क्षेत्रों के पूर्ण विवरण की अनुमति देते हैं: गालोइस सिद्धांत के मौलिक प्रमेय द्वारा वर्णित मध्यवर्ती क्षेत्रों और गैलोइस समूह के उपसमूहों के बीच एक जीव है।

सामान्यीकरण

फील्ड एक्सटेंशन को रिंग एक्सटेंशन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसमें एक रिंग (गणित) और इसके एक सबरिंग शामिल हैं।एक नॉन-कम्यूटिव एनालॉग [[केंद्रीय सरल बीजगणित]] (CSAS) हैं-एक क्षेत्र पर रिंग एक्सटेंशन, जो सरल बीजगणित हैं (कोई गैर-तुच्छ 2-पक्षीय आदर्श नहीं, जैसे कि एक क्षेत्र के लिए) और जहां केंद्र_ (RING_THEORY) बिल्कुल सही हैमैदान।उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का एकमात्र परिमित फ़ील्ड एक्सटेंशन जटिल संख्या है, जबकि चतुर्भुज रियल पर एक केंद्रीय सरल बीजगणित हैं, और रियल पर सभी सीएसएएस रियल या चतुर्भुजों के बराबर ब्रेउर हैं।सीएसएएस को आगे अज़ुमया बीजगण के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जहां आधार क्षेत्र को एक कम्यूटेटिव स्थानीय अंगूठी द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

स्केलर का विस्तार

एक फ़ील्ड एक्सटेंशन को देखते हुए, कोई संबंधित बीजगणितीय वस्तुओं पर स्केलर का विस्तार कर सकता है।उदाहरण के लिए, एक वास्तविक वेक्टर स्थान को देखते हुए, कोई जटिलता के माध्यम से एक जटिल वेक्टर स्थान का उत्पादन कर सकता है।वेक्टर रिक्त स्थान के अलावा, कोई क्षेत्र में परिभाषित साहचर्य बीजगणित के लिए स्केलर का विस्तार कर सकता है, जैसे कि बहुपद या समूह के छल्ले और संबंधित समूह अभ्यावेदन।बहुपद के स्केलर के विस्तार का उपयोग अक्सर एक बड़े क्षेत्र के तत्वों के रूप में गुणांक पर विचार करके, लेकिन अधिक औपचारिक रूप से भी माना जा सकता है।स्केलर के विस्तार में कई अनुप्रयोग हैं, जैसा कि स्केलर#अनुप्रयोगों के विस्तार में चर्चा की गई है। स्केलर का विस्तार: अनुप्रयोग।

यह भी देखें

क्षेत्र सिद्धांत (गणित)
फील्ड थ्योरी की शब्दावली
खेतों का टॉवर
प्राथमिक विस्तार
नियमित विस्तार

संदर्भ

Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225

बाहरी संबंध

"Extension of a field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Fraleigh (1976, p. 293)

[2] Herstein (1964, p. 167)

[3] McCoy (1968, p. 116)

[4] Fraleigh (1976, p. 298)

[5] Herstein (1964, p. 193)

[6] Fraleigh (1976, p. 363)

[7] Fraleigh (1976, p. 319)

[8] Herstein (1964, p. 169)

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