फ्रोबेनियस सामान्य रूप

रैखिक बीजगणित में, फ्रोबेनियस सामान्य रूप या एक वर्ग मैट्रिक्स के तर्कसंगत विहित रूप 'एफ।यह प्रपत्र वेक्टर स्पेस के एक न्यूनतम अपघटन को उप -स्थानों में दर्शाता है जो ए के लिए चक्रीय हैं (यानी, कुछ वेक्टर द्वारा और ए के तहत इसकी दोहराई गई छवियों द्वारा फैलाया जाता है)।चूंकि केवल एक सामान्य रूप को किसी दिए गए मैट्रिक्स (कैनोनिकल) से पहुँचा जा सकता है, एक मैट्रिक्स बी समान है (रैखिक बीजगणित) 'अगर और केवल अगर यह एक ही तर्कसंगत कानूनी फॉर्म है, तोए।चूंकि यह फॉर्म किसी भी ऑपरेशन के बिना पाया जा सकता है, जो फ़ील्ड को f (तर्कसंगत रूप से) के रूप में बदल सकता है, विशेष रूप से बहुपद को फैक्टर किए बिना, यह दर्शाता है कि क्या दो मैट्रिस समान हैं, क्षेत्र विस्तार पर नहीं बदलते हैं।फॉर्म का नाम जर्मन गणितज्ञ फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस के नाम पर रखा गया है।

कुछ लेखक कुछ अलग -अलग रूप के लिए तर्कसंगत विहित रूप शब्द का उपयोग करते हैं जिसे अधिक ठीक से प्राथमिक तर्कसंगत विहित रूप कहा जाता है।चक्रीय उप -समूहों की न्यूनतम संख्या में विघटित होने के बजाय, प्राथमिक रूप चक्रीय उप -समूहों की अधिकतम संख्या में विघटित हो जाता है।इसे एफ पर भी परिभाषित किया गया है, लेकिन इसमें कुछ अलग -अलग गुण हैं: फॉर्म को खोजने के लिए बहुपद के कारक की आवश्यकता होती है, और परिणामस्वरूप प्राथमिक तर्कसंगत विहित रूप बदल सकता है जब एक ही मैट्रिक्स को 'के विस्तार क्षेत्र पर माना जाता है।।यह लेख मुख्य रूप से उस रूप से संबंधित है जिसे कारक की आवश्यकता नहीं होती है, और फैक्टरकरण का उपयोग करने वाले फॉर्म का मतलब होने पर स्पष्ट रूप से प्राथमिक उल्लेख होता है।

प्रेरणा

जब यह पता लगाने की कोशिश की जा रही है कि क्या दो वर्ग मैट्रिस ए और बी समान हैं, तो एक दृष्टिकोण, उनमें से प्रत्येक के लिए, वेक्टर स्थान को स्थिर करने के लिए, जहां तक संभव हो, स्थिर उप -स्थानों के प्रत्यक्ष योग की तुलना करें, और इन पर संबंधित कार्यों की तुलना करेंउप -समूह।उदाहरण के लिए, यदि दोनों विकर्ण हैं, तो कोई भी अपघटन को eigenspaces में ले सकता है (जिसके लिए कार्रवाई उतनी ही सरल है जितनी कि यह प्राप्त हो सकता है, अर्थात् एक स्केलर द्वारा), और फिर समानता का फैसला eigenvalues और उनकी बहुलता की तुलना करके किया जा सकता है।जबकि व्यवहार में यह अक्सर काफी व्यावहारिक दृष्टिकोण होता है, इसमें विभिन्न कमियां होती हैं जो एक सामान्य विधि के रूप में होती हैं।सबसे पहले, यह सभी eigenvalues खोजने की आवश्यकता है, विशेषता बहुपद की जड़ों के रूप में कहें, लेकिन उनके लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति देना संभव नहीं हो सकता है।दूसरा, eigenvalues का एक पूरा सेट केवल उस क्षेत्र के विस्तार में मौजूद हो सकता है, जो एक काम कर रहा है, और फिर किसी को मूल क्षेत्र पर समानता का प्रमाण नहीं मिलता है।अंत में ए और बी इस बड़े क्षेत्र पर भी तिरछे नहीं हो सकते हैं, इस मामले में किसी को सामान्यीकृत ईगेंसपेस में एक अपघटन का उपयोग करना चाहिए, और संभवतः जॉर्डन ब्लॉकों में।

लेकिन इस तरह के बारीक अपघटन को प्राप्त करना केवल यह तय करना आवश्यक नहीं है कि क्या दो मैट्रिस समान हैं।तर्कसंगत विहित रूप स्थिर उप -स्थानों में एक प्रत्यक्ष राशि अपघटन का उपयोग करने के बजाय आधारित है जो यथासंभव बड़े हैं, जबकि अभी भी उनमें से प्रत्येक पर कार्रवाई के एक बहुत ही सरल विवरण की अनुमति देते हैं।इन उप -स्थानों को मैट्रिक्स से जुड़े रैखिक ऑपरेटर के बार -बार अनुप्रयोग द्वारा एक एकल नॉनज़ेरो वेक्टर वी और इसकी सभी छवियों द्वारा उत्पन्न किया जाना चाहिए;इस तरह के उप -स्थानों को चक्रीय उप -समूह (चक्रीय उपसमूहों के साथ सादृश्य द्वारा) कहा जाता है और वे रैखिक ऑपरेटर के तहत स्पष्ट रूप से स्थिर होते हैं।इस तरह के उप -समूह का एक आधार वी और इसकी क्रमिक छवियों को लेने के द्वारा प्राप्त किया जाता है जब तक कि वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।इस तरह के आधार के संबंध में रैखिक ऑपरेटर का मैट्रिक्स एक मोनिक बहुपद का साथी मैट्रिक्स है;यह बहुपद (संचालक का न्यूनतम बहुपद उप -स्थान तक सीमित है, जो धारणा एक चक्रीय उपसमूह के क्रम के अनुरूप है) चक्रीय उप -पर ऑपरेटर की कार्रवाई को आइसोमोर्फिज्म तक निर्धारित करता है, और की पसंद से स्वतंत्र हैवेक्टर v सबस्पेस उत्पन्न करता है।

चक्रीय उप -स्थानों में एक प्रत्यक्ष राशि अपघटन हमेशा मौजूद रहती है, और एक को ढूंढने के लिए फैक्टरिंग बहुपद की आवश्यकता नहीं होती है।हालांकि यह संभव है कि चक्रीय उप -समूह छोटे चक्रीय उप -समूहों (अनिवार्य रूप से चीनी शेष प्रमेय द्वारा) के प्रत्यक्ष योग के रूप में एक अपघटन की अनुमति देते हैं।इसलिए, बस दोनों मैट्रिस के लिए अंतरिक्ष के कुछ अपघटन को चक्रीय उप -स्थानों में, और इसी न्यूनतम बहुपदों को जानना, उनकी समानता को तय करने के लिए अपने आप में पर्याप्त नहीं है।यह सुनिश्चित करने के लिए एक अतिरिक्त स्थिति लगाई जाती है कि समान मैट्रिसेस के लिए एक चक्रीय उप -समूहों में अपघटन प्राप्त होता है जो बिल्कुल मेल खाता है: संबंधित न्यूनतम बहुपदों की सूची में प्रत्येक को अगले को विभाजित करना होगा (और निरंतर बहुपद 1 को आयाम 0 के तुच्छ चक्रीय उप -समूहों को बाहर करने के लिए मना किया जाता है।)।बहुपदों की परिणामी सूची को मैट्रिक्स के (k [x] -Module द्वारा परिभाषित) के अपरिवर्तनीय कारक कहा जाता है, और दो मैट्रिस समान हैं यदि और केवल अगर उनके पास अपरिवर्तनीय कारकों की समान सूची है।एक मैट्रिक्स ए का तर्कसंगत विहित रूप इसे चक्रीय उप -स्थानों में एक अपघटन के लिए अनुकूलित आधार पर व्यक्त करके प्राप्त किया जाता है, जिनके संबद्ध न्यूनतम बहुपद एक के अपरिवर्तनीय कारक हैं;दो मैट्रिस समान हैं यदि और केवल अगर उनके पास एक ही तर्कसंगत विहित रूप है।

उदाहरण

निम्नलिखित मैट्रिक्स ए पर विचार करें, Q पर:

$\scriptstyle A={\begin{pmatrix}-1&3&-1&0&-2&0&0&-2\\-1&-1&1&1&-2&-1&0&-1\\-2&-6&4&3&-8&-4&-2&1\\-1&8&-3&-1&5&2&3&-3\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&-1&0&0&0\\1&0&0&0&2&0&0&0\\0&0&0&0&4&0&1&0\end{pmatrix}}.$

ए में न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) है $\mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1$, ताकि एकल वेक्टर की बार -बार छवियों द्वारा उत्पन्न एक उप -स्थान का आयाम सबसे अधिक हो। विशेषता बहुपद है $\chi =X^{8}-X^{7}-5X^{6}+2X^{5}+10X^{4}+2X^{3}-7X^{2}-5X-1$, जो एक कारक द्वारा न्यूनतम बहुपद का एक बहु $X^{2}-X-1$।हमेशा ऐसे वैक्टर होते हैं जैसे कि चक्रीय सब्सपेस जो वे उत्पन्न करते हैं, उसमें वही न्यूनतम बहुपद होता है जैसा कि ऑपरेटर के पास पूरे स्थान पर होता है;वास्तव में अधिकांश वैक्टर के पास यह संपत्ति होगी, और इस मामले में पहला मानक आधार वेक्टर होगा $e_{1}$ ऐसा करता है: वैक्टर $A^{k}(e_{1})$ के लिए $k=0,1,\ldots ,5$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और न्यूनतम बहुपद के साथ एक चक्रीय उप -भाग का विस्तार करते हैं $\mu$।इस चक्रीय उप -समूह के लिए पूरक स्थिर उप -समूह (आयाम 2), और वैक्टर द्वारा उत्पन्न स्थान $v=(3,4,8,0,-1,0,2,-1)^{\top }$ और $w=(5,4,5,9,-1,1,1,-2)^{\top }$ एक उदाहरण है।वास्तव में एक है $A\cdot v=w$, इसलिए पूरक उप -स्थान एक चक्रीय उप -समूह है जो उत्पन्न होता है $v$;इसमें न्यूनतम बहुपद है $X^{2}-X-1$।तब से $\mu$ पूरे स्थान का न्यूनतम बहुपद है, यह स्पष्ट है कि $X^{2}-X-1$ विभाजित होना चाहिए $\mu$ (और यह आसानी से जांचा जाता है कि यह करता है), और हमने अपरिवर्तनीय कारक पाए हैं $X^{2}-X-1$ और $\mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1$ ए। फिर ए का तर्कसंगत विहित रूप ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स है, जो कि विकर्ण ब्लॉक के रूप में संबंधित साथी मैट्रिस के साथ है, अर्थात्

$\scriptstyle C={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&-1\\0&0&1&0&0&0&0&-4\\0&0&0&1&0&0&0&-4\\0&0&0&0&1&0&0&2\\0&0&0&0&0&1&0&4\\0&0&0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.$

एक आधार जिस पर यह रूप प्राप्त होता है वह वैक्टर द्वारा बनता है $v,w$ ऊपर, उसके बाद $A^{k}(e_{1})$ के लिए $k=0,1,\ldots ,5$;स्पष्ट रूप से इसका मतलब है कि के लिए

$\scriptstyle P={\begin{pmatrix}3&5&1&-1&0&0&-4&0\\4&4&0&-1&-1&-2&-3&-5\\8&5&0&-2&-5&-2&-11&-6\\0&9&0&-1&3&-2&0&0\\-1&-1&0&0&0&1&-1&4\\0&1&0&0&0&0&-1&1\\2&1&0&1&-1&0&2&-6\\-1&-2&0&0&1&-1&4&-2\end{pmatrix}}$,

किसी के पास $A=PCP^{-1}.$

सामान्य मामला और सिद्धांत

एक बेस फ़ील्ड F और एक परिमित-हैमेल आयाम सदिश स्थल V को FER FIX FER F. ओवर F. एक बहुपद P [F [X] को देखते हुए, इसमें एक साथी मैट्रिक्स C से जुड़ा है_P जिनकी विशेषता बहुपद और न्यूनतम बहुपद दोनों पी के बराबर हैं।

'प्रमेय': लेट वी एक फ़ील्ड एफ पर एक परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस हो, और एफ पर एक स्क्वायर मैट्रिक्स। फिर वी (एक एफ [एक्स] -मॉड्यूल (गणित) के रूप में देखा गया, एक्स की कार्रवाई के साथ ए)एक f [x] -मॉड्यूल आइसोमोर्फिज्म स्वीकार करता है

V ≅ f [x]/f₁ ⊕… ⊕ f [x]/f_k

जहां एफ_i ∈ F [x] को सकारात्मक डिग्री के मोनिक बहुपद होने के लिए लिया जा सकता है (इसलिए वे गैर-इकाई (रिंग थ्योरी) s में f [x]) हैं जो संबंधों को संतुष्ट करते हैं

एफ₁ |एफ₂ |… |एफ_k

जहां एक |B एक विभाजन B के लिए संकेतन है;इन शर्तों के साथ बहुपदों की सूची एफ_i निराला है।

प्रूफ का स्केच: एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर वी के लिए बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय लागू करें, इसे एक एफ [एक्स] -मोड्यूल के रूप में देखें।संरचना प्रमेय चक्रीय कारकों में एक अपघटन प्रदान करती है, जिनमें से प्रत्येक एक उचित आदर्श द्वारा f [x] का एक भागफल है;शून्य आदर्श मौजूद नहीं हो सकता है क्योंकि परिणामी मुक्त मॉड्यूल एफ वेक्टर अंतरिक्ष के रूप में अनंत-आयामी होगा, जबकि वी परिमित आयामी है।बहुपदों के लिए एफ_i एक तब संबंधित आदर्शों के अद्वितीय मोनिक जनरेटर लेता है, और चूंकि संरचना प्रमेय पूर्ववर्ती आदर्श में हर आदर्श के नियंत्रण को सुनिश्चित करती है, इसलिए एफ के लिए विभाजन की स्थिति प्राप्त होती है_i।विवरण के लिए [DF] देखें।

एक मनमाना वर्ग मैट्रिक्स को देखते हुए, जॉर्डन के सामान्य रूप के निर्माण में उपयोग किए जाने वाले प्राथमिक विभाजक f [x] पर मौजूद नहीं हैं, इसलिए अपरिवर्तनीय कारक F_i जैसा कि ऊपर दिया गया है इसके बजाय इसका उपयोग किया जाना चाहिए।इन कारकों में से अंतिम एफ_k तब न्यूनतम बहुपद है, जो सभी इसलिए अपरिवर्तनीय कारक विभाजित करते हैं, और अपरिवर्तनीय कारकों का उत्पाद विशेषता बहुपद देता है।ध्यान दें कि इसका तात्पर्य है कि न्यूनतम बहुपद विशेषता बहुपद (जो अनिवार्य रूप से केली-हैमिल्टन प्रमेय है) को विभाजित करता है, और यह कि विशेषता बहुपद का हर अतार्किक कारक भी न्यूनतम बहुपद (संभवतः कम बहुलता के साथ) को विभाजित करता है।

प्रत्येक अपरिवर्तनीय कारक एफ के लिए_i एक अपने साथी मैट्रिक्स सी लेता है_fi, और इन ब्लॉकों से गठित ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स ए के तर्कसंगत विहित रूप को पैदा करता है।जब न्यूनतम बहुपद विशेषता बहुपद (मामला k & nbsp; = & nbsp; 1) के समान होता है, तो फ्रोबेनियस सामान्य रूप विशेषता बहुपद का साथी मैट्रिक्स होता है।जैसा कि तर्कसंगत विहित रूप 'से जुड़े अद्वितीय अपरिवर्तनीय कारकों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, और ये अपरिवर्तनीय कारक हामेल आधार से स्वतंत्र हैं, यह इस प्रकार है कि दो वर्ग मैट्रिसेस' ए और बी समान हैंयदि और केवल अगर उनके पास एक ही तर्कसंगत विहित रूप है।

एक तर्कसंगत सामान्य रूप जॉर्डन सामान्य रूप को सामान्य करना

फ्रोबेनियस सामान्य रूप विशेषता बहुपद के कारक के किसी भी रूप को प्रतिबिंबित नहीं करता है, भले ही यह ग्राउंड फील्ड एफ पर मौजूद हो। इसका तात्पर्य यह है कि यह एक अलग क्षेत्र द्वारा प्रतिस्थापित होने पर अपरिवर्तनीय है (जब तक कि इसमें प्रविष्टियाँ शामिल हैंमूल मैट्रिक्स ए)।दूसरी ओर, यह फ्रोबेनियस सामान्य रूप को अन्य सामान्य रूपों से अलग बनाता है, जो विशेषता बहुपद को फैक्टर करने पर निर्भर करता है, विशेष रूप से विकर्ण मैट्रिक्स (यदि ए विकर्ण है) या अधिक आम तौर पर जॉर्डन सामान्य रूप (यदि विशेषता बहुपद में विभाजित होता हैरैखिक कारक)।उदाहरण के लिए, अलग -अलग विकर्ण प्रविष्टियों के साथ एक विकर्ण मैट्रिक्स का फ्रोबेनियस सामान्य रूप इसकी विशेषता बहुपद का सिर्फ साथी मैट्रिक्स है।

एक सामान्य रूप को परिभाषित करने का एक और तरीका है, कि, फ्रोबेनियस सामान्य रूप की तरह, हमेशा एक ही क्षेत्र एफ के रूप में एक के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन यह विशेषता बहुपद (या समतुल्य न्यूनतम बहुपद) के एक संभावित कारक को प्रतिबिंबित करता है।एफ पर, और जो जॉर्डन के सामान्य रूप को कम कर देता है जब इस कारक में केवल रैखिक कारक होते हैं (eigenvalues के अनुरूप)।यह रूप कभी -कभी सामान्यीकृत जॉर्डन सामान्य रूप, या प्राथमिक तर्कसंगत विहित रूप कहा जाता है।यह इस तथ्य पर आधारित है कि वेक्टर स्पेस को कैनोनिक रूप से विशिष्ट बहुपद के विशिष्ट इरेड्यूसिबल कारकों पी के अनुरूप स्थिर उप -समूहों के प्रत्यक्ष योग में विघटित किया जा सकता है (जैसा कि द्वारा कहा गया है lemme des noyaux), जहां प्रत्येक सारांश की विशेषता बहुपद संबंधित पी। की एक शक्ति है। इन गर्मियों को और अधिक विघटित किया जा सकता है, गैर-कैनोनिक रूप से, चक्रीय एफ [एक्स] -मोड्यूल्स के प्रत्यक्ष योग के रूप में (जैसे कि ऊपर फ्रोबेनियस सामान्य रूप के लिए किया जाता है।), जहां प्रत्येक सारांश की विशेषता बहुपद। अभी भी पी। की एक (आम तौर पर छोटी) शक्ति है। प्राथमिक तर्कसंगत विहित रूप एक ब्लॉक मैट्रिक्स#ब्लॉक विकर्ण मैट्रिसेस है जो इस तरह के चक्रीय मॉड्यूल में इस तरह के अपघटन के अनुरूप है, एक विशेष रूप के साथ सामान्यीकृत जॉर्डन ब्लॉक नामकविकर्ण ब्लॉकों में, चक्रीय मॉड्यूल के लिए एक आधार के एक विशेष विकल्प के अनुरूप।यह सामान्यीकृत जॉर्डन ब्लॉक अपने आप में एक ब्लॉक मैट्रिक्स है

$\scriptstyle {\begin{pmatrix}C&0&\cdots &0\\U&C&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &U&C\end{pmatrix}}$

जहां c ireducible बहुपद का साथी मैट्रिक्स है P, और U एक मैट्रिक्स है जिसका एकमात्र नॉनज़ेरो प्रविष्टि ऊपरी दाएं हाथ के कोने में 1 है।एक रैखिक irreducible कारक के मामले के लिए P = x − λ, ये ब्लॉक एकल प्रविष्टियों में कम हो जाते हैं C = λ और U = 1 और, एक (ट्रांसपोज़्ड) जॉर्डन ब्लॉक पाता है।किसी भी सामान्यीकृत जॉर्डन ब्लॉक में, मुख्य विकर्ण के तुरंत नीचे सभी प्रविष्टियां 1. इस फॉर्म को जन्म देने वाले चक्रीय मॉड्यूल का एक आधार एक उत्पन्न करने वाले वेक्टर का चयन करके प्राप्त की जाती हैं v (एक जो कि विनाश नहीं है P^k−1(A) जहां चक्रीय मॉड्यूल का न्यूनतम बहुपद है P^k), और आधार के रूप में लेना

$v,A(v),A^{2}(v),\ldots ,A^{d-1}(v),~P(A)(v),A(P(A)(v)),\ldots ,A^{d-1}(P(A)(v)),~P^{2}(A)(v),\ldots ,~P^{k-1}(A)(v),\ldots ,A^{d-1}(P^{k-1}(A)(v))$

कहाँ d = deg(P)।

यह भी देखें

• स्मिथ नॉर्मल फॉर्म

संदर्भ

• [DF] David S. Dummit and Richard M. Foote. Abstract Algebra. 2nd Edition, John Wiley & Sons. pp. 442, 446, 452-458. ISBN 0-471-36857-1.

बाहरी संबंध

• Rational Canonical Form (Mathworld)

एल्गोरिदम

• ]³ ) फ्रोबेनियस सामान्य रूप के लिए एल्गोरिथ्म]
• फ्रोबेनियस नॉर्मल फॉर्म (पीडीएफ) के लिए एक एल्गोरिथ्म]
• एक तर्कसंगत कैनोनिकल फॉर्म एल्गोरिथ्म (PDF)]

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