कानूनी फॉर्म

For "canonical form" in linguistics, see Lemma (morphology).

For "canonical form" in Catholic matrimonial law, see Marriage in the Catholic Church § Canonical form.

विहित रूपों के रूप में multiset का उपयोग करते हुए एल्गोरिथम अनाग्राम परीक्षण: स्ट्रिंग्स मैडम क्यूरी और रेडियम आया को C (प्रोग्रामिंग भाषा) सरणियों के रूप में दिया गया है। प्रत्येक को छँटाई करके एक विहित रूप में परिवर्तित किया जाता है। चूँकि दोनों क्रमबद्ध तार शाब्दिक रूप से सहमत हैं, मूल तार एक दूसरे के विपर्यय थे।

गणित और कंप्यूटर विज्ञान में, गणितीय वस्तु का एक विहित, सामान्य या मानक रूप उस वस्तु को गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में प्रस्तुत करने का एक मानक तरीका है। अक्सर, यह वह होता है जो किसी वस्तु का सबसे सरल प्रतिनिधित्व प्रदान करता है और इसे एक अनोखे तरीके से पहचानने की अनुमति देता है। विहित और सामान्य रूपों के बीच का अंतर सबफ़ील्ड से सबफ़ील्ड में भिन्न होता है। अधिकांश क्षेत्रों में, एक विहित रूप प्रत्येक वस्तु के लिए एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व को निर्दिष्ट करता है, जबकि एक सामान्य रूप केवल विशिष्टता की आवश्यकता के बिना, इसके रूप को निर्दिष्ट करता है।

दशमलव प्रतिनिधित्व में एक सकारात्मक पूर्णांक का विहित रूप अंकों का एक परिमित अनुक्रम है जो शून्य से शुरू नहीं होता है। अधिक आम तौर पर, वस्तुओं के एक वर्ग के लिए जिस पर समानता संबंध परिभाषित किया गया है, प्रत्येक वर्ग में एक विशिष्ट वस्तु की पसंद में एक विहित रूप होता है। उदाहरण के लिए:

• जॉर्डन सामान्य रूप मैट्रिक्स समानता के लिए एक विहित रूप है।
• पंक्ति सोपानक रूप एक विहित रूप है, जब कोई मैट्रिक्स और उसके बाएं उत्पाद को एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के बराबर मानता है।

कंप्यूटर विज्ञान में, और विशेष रूप से कंप्यूटर बीजगणित में, कंप्यूटर में गणितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते समय, आमतौर पर एक ही वस्तु का प्रतिनिधित्व करने के कई अलग-अलग तरीके होते हैं। इस संदर्भ में, एक विहित रूप एक प्रतिनिधित्व है जैसे कि प्रत्येक वस्तु का एक अनूठा प्रतिनिधित्व होता है (कैनॉनिकलाइज़ेशन वह प्रक्रिया है जिसके माध्यम से एक प्रतिनिधित्व को उसके विहित रूप में रखा जाता है)। इस प्रकार, दो वस्तुओं की समानता को उनके विहित रूपों की समानता का परीक्षण करके आसानी से परखा जा सकता है।

इस लाभ के बावजूद, विहित रूप अक्सर मनमाने विकल्पों (जैसे चरों को क्रमबद्ध करना) पर निर्भर करते हैं, जो स्वतंत्र संगणनाओं के परिणामस्वरूप दो वस्तुओं की समानता के परीक्षण के लिए कठिनाइयों का परिचय देते हैं। इसलिए, कंप्यूटर बीजगणित में, सामान्य रूप एक कमजोर धारणा है: एक सामान्य रूप एक प्रतिनिधित्व है जैसे कि शून्य का विशिष्ट रूप से प्रतिनिधित्व किया जाता है। यह दो वस्तुओं के अंतर को सामान्य रूप में रखकर समानता के परीक्षण की अनुमति देता है।

कैनोनिकल फॉर्म का मतलब एक अलग रूप भी हो सकता है जिसे प्राकृतिक (कैनोनिकल) तरीके से परिभाषित किया गया है।

परिभाषा

S पर समतुल्य संबंध R के साथ वस्तुओं के एक सेट S को देखते हुए, S की कुछ वस्तुओं को विहित रूप में नामित करके एक विहित रूप दिया जाता है, जैसे कि विचाराधीन प्रत्येक वस्तु विहित रूप में ठीक एक वस्तु के बराबर है। दूसरे शब्दों में, S में विहित रूप एक बार और केवल एक बार तुल्यता वर्गों का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह परीक्षण करने के लिए कि क्या दो वस्तुएं समतुल्य हैं, यह उनके विहित रूपों पर समानता का परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है। एक विहित रूप इस प्रकार एक वर्गीकरण प्रमेय और अधिक प्रदान करता है, जिसमें यह न केवल प्रत्येक वर्ग को वर्गीकृत करता है, बल्कि कक्षा में प्रत्येक वस्तु के लिए एक विशिष्ट (विहित) प्रतिनिधि (गणित) भी देता है।

औपचारिक रूप से, एक समुच्चय S पर एक तुल्यता संबंध R के संबंध में एक विहितीकरण एक मानचित्रण c:S→S है जैसे कि सभी s, s के लिए₁, एस₂ ∈ एस:

1. c(s) = c(c(s))   (आलस्य),
2. एस₁ आर एस₂ अगर और केवल अगर सी (एस₁) = सी (एस₂)   (निर्णायकता), और
3. s R c(s)   (प्रतिनिधित्व)।

संपत्ति 3 बेमानी है; यह 2 से 1 लागू करने के बाद होता है।

व्यावहारिक रूप से, कैनोनिकल रूपों को पहचानने में सक्षम होना अक्सर फायदेमंद होता है। विचार करने के लिए एक व्यावहारिक, एल्गोरिथम प्रश्न भी है: S में दिए गए ऑब्जेक्ट s से इसके कैनोनिकल फॉर्म s* में कैसे पास किया जाए? प्रामाणिक रूपों का उपयोग आम तौर पर समकक्ष वर्गों के संचालन को अधिक प्रभावी बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, मॉड्यूलर अंकगणित में, अवशेष वर्ग के लिए विहित रूप को आमतौर पर इसमें सबसे कम गैर-नकारात्मक पूर्णांक के रूप में लिया जाता है। इन प्रतिनिधियों को मिलाकर कक्षाओं पर संचालन किया जाता है, और फिर परिणाम को कम से कम गैर-नकारात्मक अवशेषों में घटाया जाता है। विशिष्टता की आवश्यकता को कभी-कभी आराम दिया जाता है, जिससे रूपों को कुछ बेहतर समकक्ष संबंध तक अद्वितीय बना दिया जाता है, जैसे शर्तों के पुनर्क्रमण की अनुमति देना (यदि शर्तों पर कोई प्राकृतिक आदेश नहीं है)।

एक विहित रूप केवल एक परिपाटी, या एक गहन प्रमेय हो सकता है। उदाहरण के लिए, बहुपदों को परंपरागत रूप से अवरोही शक्तियों में शब्दों के साथ लिखा जाता है: x लिखना अधिक सामान्य है² + x + 30 x + 30 + x की तुलना में², हालांकि दोनों रूप एक ही बहुपद को परिभाषित करते हैं। इसके विपरीत, मैट्रिक्स के लिए जॉर्डन विहित रूप का अस्तित्व एक गहरा प्रमेय है।

इतिहास

ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी और एलएसजे के अनुसार, कैनन का शब्द प्राचीन ग्रीक शब्द कानोनिकोस (विकट: κανονικός|κανονικός, नियमित, नियम के अनुसार) कान से (विक्ट: κανών#Ancient_ग्रीक|κᾰνών, रॉड, नियम) से उत्पन्न हुआ है। विक्ट: नॉर्म, विक्ट: स्टैंडर्ड, या ठेठ की भावना का उपयोग कई विषयों में किया गया है। जेम्स लोगान (राजनेता) के एक 1738 पत्र में गणितीय उपयोग को प्रमाणित किया गया है। जर्मन शब्द कानोनिशे फॉर्म को गॉथोल्ड ईसेनस्टीन द्वारा 1846 के पेपर में प्रमाणित किया गया है, बाद में उसी वर्ष फ्रेडरिक जूलियस रिचलॉट ने नॉर्मलफॉर्म शब्द का प्रयोग एक पेपर में किया, और 1851 में जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर लिखते हैं:

"I now proceed to [...] the mode of reducing Algebraical Functions to their simplest and most symmetrical, or as my admirable friend M. Hermite well proposes to call them, their Canonical forms."

इसी अवधि में, ओटो हेस्से (नॉर्मलफॉर्म) द्वारा उपयोग को प्रमाणित किया गया है, चार्ल्स हर्मिट (विहित रूप), कार्ल विल्हेम बोरचर्ड (विहित रूप), और आर्थर केली (विहित रूप)। 1865 में, डिक्शनरी ऑफ साइंस, लिटरेचर एंड आर्ट ने विहित रूप को इस प्रकार परिभाषित किया:

"In Mathematics, denotes a form, usually the simplest or most symmetrical, to which, without loss of generality, all functions of the same class can be reduced."

उदाहरण

नोट: इस खंड में, कुछ तुल्यता संबंध ई तक का अर्थ है कि विहित रूप सामान्य रूप से अद्वितीय नहीं है, लेकिन यदि एक वस्तु के दो अलग-अलग विहित रूप हैं, तो वे ई-समतुल्य हैं।

बड़ी संख्या संकेतन

बहुत बड़ी संख्याओं को लिखने के लिए बहुत से गणितज्ञों और वैज्ञानिकों द्वारा मानक रूप का उपयोग किया जाता है # बहुत बड़ी संख्याओं को अधिक संक्षिप्त और समझने योग्य तरीके से लिखने की मानकीकृत प्रणाली, जिनमें से सबसे प्रमुख वैज्ञानिक संकेतन है।

संख्या सिद्धांत

• एक धनात्मक पूर्णांक का विहित निरूपण
• निरंतर अंश का विहित रूप

रेखीय बीजगणित

Objects	A is equivalent to B if:	Normal form	Notes
Normal matrices over the complex numbers	$A=U^{*}BU$ for some unitary matrix U	Diagonal matrices (up to reordering)	This is the Spectral theorem
Matrices over the complex numbers	$A=UBV^{*}$ for some unitary matrices U and V	Diagonal matrices with real positive entries (in descending order)	Singular value decomposition
Matrices over an algebraically closed field	$A=P^{-1}BP$ for some invertible matrix P	Jordan normal form (up to reordering of blocks)
Matrices over an algebraically closed field	$A=P^{-1}BP$ for some invertible matrix P	Weyr canonical form (up to reordering of blocks)
Matrices over a field	$A=P^{-1}BP$ for some invertible matrix P	Frobenius normal form
Matrices over a principal ideal domain	$A=P^{-1}BQ$ for some invertible matrices P and Q	Smith normal form	The equivalence is the same as allowing invertible elementary row and column transformations
Matrices over the integers	$A=UB$ for some unimodular matrix U	Hermite normal form
Matrices over the integers modulo n		Howell normal form
Finite-dimensional vector spaces over a field K	A and B are isomorphic as vector spaces	$K^{n}$, n a non-negative integer

बीजगणित

Objects	A is equivalent to B if:	Normal form
Finitely generated R-modules with R a principal ideal domain	A and B are isomorphic as R-modules	Primary decomposition (up to reordering) or invariant factor decomposition

ज्यामिति

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में:

• एक रेखा का समीकरण: Ax+By=C, A के साथ² + बी² = 1 और C ≥ 0
• एक वृत्त का समीकरण: $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

इसके विपरीत, समीकरण लिखने के वैकल्पिक रूप हैं। उदाहरण के लिए, एक रेखा के समीकरण को बिंदु-ढलान और ढलान-अवरोधन के रूप में एक रेखीय समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।

उत्तल पॉलीहेड्रा को मिडस्फीयर#कैनोनिकल_पॉलीहेड्रॉन में रखा जा सकता है जैसे कि:

• सभी चेहरे सपाट हैं,
• सभी किनारे इकाई गोले के स्पर्शरेखा हैं, और
• बहुफलक का केन्द्रक मूल बिंदु पर होता है।

अभिन्न प्रणाली

प्रत्येक अलग-अलग कई गुना में एक कॉटैंगेंट बंडल होता है। उस बंडल को हमेशा एक निश्चित अंतर रूप से संपन्न किया जा सकता है, जिसे विहित एक रूप कहा जाता है। यह प्रपत्र स्पर्शरेखा बंडल को एक सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड की संरचना देता है, और मैनिफोल्ड पर वेक्टर फ़ील्ड को यूलर-लैग्रेंज समीकरणों के माध्यम से या हैमिल्टनियन यांत्रिकी के माध्यम से एकीकृत करने की अनुमति देता है। समाकलनीय अवकल समीकरणों के ऐसे निकाय समाकलनीय निकाय कहलाते हैं।

गतिशील प्रणाली

डायनेमिक सिस्टम का अध्ययन इंटीग्रेबल सिस्टम के साथ ओवरलैप होता है; वहाँ एक सामान्य रूप (गतिशील प्रणाली) का विचार है।

तीन आयामी ज्यामिति

त्रिविम में बहुगुणों के अध्ययन में एक का प्रथम मूल रूप, दूसरा मूल रूप और तीसरा मूल रूप है।

कार्यात्मक विश्लेषण

Objects	A is equivalent to B if:	Normal form
Hilbert spaces	If A and B are both Hilbert spaces of infinite dimension, then A and B are isometrically isomorphic.	$\ell ^{2}(I)$ sequence spaces (up to exchanging the index set I with another index set of the same cardinality)
Commutative C*-algebras with unit	A and B are isomorphic as C*-algebras	The algebra $C(X)$ of continuous functions on a compact Hausdorff space, up to homeomorphism of the base space.

शास्त्रीय तर्क

Main article: Canonical form (Boolean algebra)

• निषेध सामान्य रूप
• संयोजक सामान्य रूप
• वियोगात्मक सामान्य रूप
• बीजगणितीय सामान्य रूप
• प्रीनेक्स सामान्य रूप
• स्कोलेम सामान्य रूप
• ब्लेक विहित रूप, जिसे प्राइम इंप्लिकेंट्स के पूर्ण योग, पूर्ण योग या वियोगी सामान्य रूप के रूप में भी जाना जाता है

सेट सिद्धांत

• कैंटोर नॉर्मल फॉर्म#कैंटोर नॉर्मल फॉर्म ऑफ क्रमसूचक संख्या

खेल सिद्धांत

• सामान्य फॉर्म गेम

प्रमाण सिद्धांत

• सामान्य रूप (प्राकृतिक कटौती)

पुनर्लेखन प्रणाली

Main article: Normal form (abstract rewriting)

किसी सूत्र के एक रूप से दूसरे रूप में प्रतीकात्मक हेरफेर को उस सूत्र का पुनर्लेखन कहा जाता है। नियमों के संग्रह का अध्ययन करके, जिसके द्वारा सूत्रों को वैध रूप से हेरफेर किया जा सकता है, सामान्य सूत्रों को फिर से लिखने के अमूर्त गुणों का अध्ययन किया जा सकता है। ये पुनर्लेखन नियम हैं - एक सार पुनर्लेखन प्रणाली का एक अभिन्न अंग। एक सामान्य प्रश्न यह है कि क्या कुछ सामान्य अभिव्यक्ति को एकल, सामान्य रूप, सामान्य रूप में लाना संभव है। यदि पुनर्लेखन के विभिन्न क्रम अभी भी एक ही रूप में परिणामित होते हैं, तो उस रूप को एक सामान्य रूप कहा जा सकता है, जिसमें पुनर्लेखन को संगम कहा जाता है। सामान्य रूप प्राप्त करना हमेशा संभव नहीं होता है।

लैम्ब्डा कैलकुस

• यदि कोई बीटा कमी संभव नहीं है तो एक लैम्ब्डा शब्द बीटा सामान्य रूप में है; लैम्ब्डा कैलकुस एक सार पुनर्लेखन प्रणाली का एक विशेष मामला है। अप्रकाशित लैम्ब्डा कैलकुलस में, उदाहरण के लिए, शब्द $(\lambda x.(xx)\;\lambda x.(xx))$ सामान्य रूप नहीं है। टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुस में, प्रत्येक अच्छी तरह से गठित शब्द को उसके सामान्य रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

ग्राफ सिद्धांत

Main article: Graph canonization

ग्राफ सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, ग्राफ़ विमुद्रीकरण किसी दिए गए ग्राफ़ G के विहित रूप को खोजने की समस्या है। एक विहित रूप एक ग्राफ लेबलिंग कैनन (G) है जो कि G के लिए ग्राफ़ समरूपता है, जैसे कि प्रत्येक ग्राफ़ जो समरूप है जी के लिए जी के रूप में एक ही कैनोनिकल रूप है। इस प्रकार, ग्राफ कैनोनाइजेशन समस्या के समाधान से, ग्राफ समरूपता की समस्या को भी हल किया जा सकता है: यह जांचने के लिए कि क्या दो ग्राफ जी और एच आइसोमॉर्फिक हैं, उनके कैनोनिकल रूपों की गणना करें कैनन (जी) और कैनन (एच), और परीक्षण करें कि क्या ये दो विहित रूप समान हैं।

कम्प्यूटिंग

कंप्यूटिंग में, किसी भी प्रकार के विहित रूप में डेटा की कमी को सामान्यतः डेटा सामान्यीकरण कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, डेटाबेस सामान्यीकरण आधार सामग्री अतिरेक और निर्भरता को कम करने के लिए संबंध का डेटाबेस के क्षेत्र (कंप्यूटर विज्ञान) और तालिका (डेटाबेस) को व्यवस्थित करने की प्रक्रिया है। सॉफ़्टवेयर सुरक्षा के क्षेत्र में, एक सामान्य भेद्यता (कंप्यूटिंग) अनियंत्रित दुर्भावनापूर्ण इनपुट है (कोड इंजेक्शन देखें)। इस समस्या का शमन उचित इनपुट सत्यापन है। इनपुट सत्यापन किए जाने से पहले, आमतौर पर एन्कोडिंग को समाप्त करके इनपुट को सामान्यीकृत किया जाता है (उदाहरण के लिए, HTML में कैरेक्टर एन्कोडिंग) और इनपुट डेटा को एक सामान्य वर्ण सेट में कम कर दिया जाता है।

डेटा के अन्य रूप, जो आमतौर पर संकेत आगे बढ़ाना (ऑडियो सिग्नल प्रोसेसिंग और मूर्ति प्रोद्योगिकी सहित) या यंत्र अधिगम से जुड़े होते हैं, को मूल्यों की सीमित सीमा प्रदान करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

सामग्री प्रबंधन में, सत्य के एकल स्रोत (एसएसओटी) की अवधारणा लागू होती है, ठीक वैसे ही जैसे यह आमतौर पर डेटाबेस सामान्यीकरण और सॉफ्टवेयर विकास में होती है। सक्षम सामग्री प्रबंधन प्रणालियाँ इसे प्राप्त करने के तार्किक तरीके प्रदान करती हैं, जैसे कि ट्रांसक्लुजन

यह भी देखें

• प्रामाणिकीकरण
• विहित आधार
• कैनोनिकल वर्ग
• सामान्यीकरण (बहुविकल्पी)
• मानकीकरण

संदर्भ

• Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A. (ed.), Linear Algebra, Dover, ISBN 0-486-63518-X.
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006), Functional Analysis: Entering Hilbert Space, World Scientific Publishing, ISBN 981-256-563-9.