मुक्त मॉड्यूल

गणित में, एक मुक्त मॉड्यूल एक मॉड्यूल (गणित) है जिसमें एक आधार (रैखिक बीजगणित) होता है - अर्थात, एक मॉड्यूल का एक उत्पन्न करने वाला सेट जिसमें रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व होते हैं।प्रत्येक सदिश स्थल एक मुफ्त मॉड्यूल है, लेकिन, यदि गुणांक की अंगूठी (गणित) एक विभाजन की अंगूठी नहीं है (कम्यूटेटिव रिंग मामले में एक क्षेत्र (गणित) नहीं), तो गैर-मुक्त मॉड्यूल मौजूद हैं।

किसी भी सेट (गणित) को देखते हुए S और अंगूठी R, एक मुफ्त है Rआधार के साथ -मॉड्यूल S, जिसे मुक्त मॉड्यूल कहा जाता है S या औपचारिक का मॉड्यूल Rके तत्वों के -लाइनर संयोजन S।

एक मुक्त एबेलियन समूह ठीक रिंग पर एक मुक्त मॉड्यूल है Z पूर्णांक की।

परिभाषा

एक अंगूठी के लिए (गणित) $R$ और एक $R$-मॉड्यूल (गणित) $M$, सेट $E\subseteq M$ के लिए एक आधार है $M$ अगर:

• $E$ के लिए एक मॉड्यूल का एक उत्पादन सेट है $M$;यह कहना है, हर तत्व $M$ के तत्वों की एक परिमित राशि है $E$ में गुणांक द्वारा गुणा किया जाता है $R$;और
• $E$ रैखिक रूप से स्वतंत्र है, अर्थात्, हर सबसेट के लिए $\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$ के अलग -अलग तत्वों का $E$, $r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}$ इसका आशय है $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}$ (कहाँ $0_{M}$ का शून्य तत्व है $M$ और $0_{R}$ का शून्य तत्व है $R$)।

एक मुफ्त मॉड्यूल एक आधार के साथ एक मॉड्यूल है। परिभाषा की दूसरी छमाही का एक तत्काल परिणाम यह है कि पहली छमाही में गुणांक एम के प्रत्येक तत्व के लिए अद्वितीय हैं।

अगर $R$ Invariant आधार संख्या है, फिर परिभाषा के अनुसार किसी भी दो ठिकानों में एक ही कार्डिनलिटी होती है।उदाहरण के लिए, नॉनज़ेरो कम्यूटेटिव रिंग्स में अपरिवर्तनीय आधार संख्या होती है।किसी भी (और इसलिए प्रत्येक) आधार की कार्डिनलिटी को मुक्त मॉड्यूल का रैंक कहा जाता है $M$।यदि यह कार्डिनैलिटी परिमित है, तो मुफ्त मॉड्यूल को परिमित रैंक से मुक्त, या रैंक से मुक्त कहा जाता है n यदि रैंक होने के लिए जाना जाता है n।

उदाहरण

चलो r एक अंगूठी बनो।

• आर रैंक वन का एक मुक्त मॉड्यूल है (या तो बाएं या दाएं मॉड्यूल के रूप में);कोई भी इकाई तत्व एक आधार है।
• अधिक आम तौर पर, यदि आर कम्यूटेटिव है, तो आर का एक नॉनज़ेरो आदर्श I मुक्त है यदि और केवल अगर यह एक नॉनजेरोडिविज़र द्वारा उत्पन्न एक प्रमुख आदर्श है, एक जनरेटर एक आधार है।
• यदि आर कम्यूटेटिव है, तो बहुपद रिंग $R[X]$ अनिश्चित X में एक संभावित आधार 1, x, x के साथ एक मुक्त मॉड्यूल है² , ...।
• होने देना $A[t]$ एक कम्यूटेटिव रिंग ए पर एक बहुपद रिंग बनें, एफ एक मोनिक बहुपद डिग्री डी, $B=A[t]/(f)$ और $\xi$ बी में टी की छवि तब बी में एक सबरिंग के रूप में एक होता है और एक आधार के साथ ए-मॉड्यूल के रूप में स्वतंत्र है $1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}$।
• किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक n के लिए, $R^{n}=R\times \cdots \times R$, Direct_product#Direct_product_of_modules of n प्रतियों की r की बाएं R- मॉड्यूल के रूप में, मुक्त है।यदि R के पास Invariant आधार संख्या है, तो एक मॉड्यूल का रैंक n है।
• मुक्त मॉड्यूल के मॉड्यूल का एक सीधा योग मुक्त है, जबकि मुक्त मॉड्यूल का एक अनंत कार्टेशियन उत्पाद आमतौर पर मुक्त नहीं है (cf. Baer -Specker समूह)।
• प्रोजेक्टिव मॉड्यूल पर कप्लांस्की का प्रमेय | कपलांस्की का प्रमेय एक स्थानीय रिंग पर एक अनुमानित मॉड्यूल बताता है।

औपचारिक रैखिक संयोजन

एक सेट दिया E और अंगूठी R, एक मुफ्त है R-Module जो है E एक आधार के रूप में: अर्थात्, ई द्वारा अनुक्रमित आर की प्रतियों के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग

$R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R$।

स्पष्ट रूप से, यह direct_product#direct_product_of_modules का सबमॉड्यूल है ${\textstyle \prod _{E}R}$ (आर को एक बाएं मॉड्यूल के रूप में देखा जाता है) जिसमें ऐसे तत्व होते हैं जिनमें केवल कई नॉनज़ेरो घटक होते हैं।एक में ई में एम्बेडिंग कर सकते हैं R^(E) एक तत्व ई की पहचान करके एक सबसेट के रूप में R^(E) जिसका ई-टीएच घटक 1 है (आर की एकता) और अन्य सभी घटक शून्य हैं।फिर प्रत्येक तत्व R^(E) के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

$\sum _{e\in E}c_{e}e,$

जहां केवल बहुत से कई $c_{e}$ नॉनज़ेरो हैं।इसे तत्वों का एक औपचारिक रैखिक संयोजन कहा जाता है E।

इसी तरह के तर्क से पता चलता है कि प्रत्येक मुक्त बाएं (सम्मान। दाएं) आर-मॉड्यूल आर की प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में बाएं (सम्मान) मॉड्यूल के रूप में आइसोमोर्फिक है।

एक और निर्माण

मुक्त मॉड्यूल R^(E) निम्नलिखित समकक्ष तरीके से भी निर्माण किया जा सकता है।

एक रिंग आर और एक सेट ई को देखते हुए, पहले एक सेट के रूप में हम देते हैं

$R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ for all but finitely many }}x\in E\}.$

हम इसे एक बाएं मॉड्यूल की संरचना से लैस करते हैं जैसे कि इसके द्वारा परिभाषित किया गया है: ई में एक्स के लिए,

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

और स्केलर गुणा द्वारा: आर में आर और एक्स में ई में,

$(rf)(x)=r(f(x))$

अब, ई पर एक आर-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) के रूप में, प्रत्येक एफ में $R^{(E)}$ के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

$f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}$

कहाँ $c_{e}$ आर में हैं और केवल बारीक रूप से उनमें से कई नॉनज़ेरो और हैं $\delta _{e}$ के रूप में दिया गया है

$\delta _{e}(x)={\begin{cases}1_{R}\quad {\mbox{if }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{if }}x\neq e\end{cases}}$

(यह क्रोनकर डेल्टा का एक प्रकार है।) उपरोक्त का अर्थ है कि सबसेट $\{\delta _{e}\mid e\in E\}$ का $R^{(E)}$ का एक आधार है $R^{(E)}$।मानचित्रण $e\mapsto \delta _{e}$ के बीच एक जीव है E और यह आधार।इस जीवंत के माध्यम से, $R^{(E)}$ आधार ई के साथ एक मुक्त मॉड्यूल है

सार्वभौमिक संपत्ति

समावेश मैपिंग $\iota :E\to R^{(E)}$ ऊपर परिभाषित निम्नलिखित अर्थों में सार्वभौमिक संपत्ति है।एक मनमाना कार्य दिया $f:E\to N$ एक सेट से E एक बाईं ओर R-मापांक N, एक अद्वितीय मॉड्यूल समरूपता मौजूद है ${\overline {f}}:R^{(E)}\to N$ ऐसा है कि $f={\overline {f}}\circ \iota$;अर्थात्, ${\overline {f}}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

${\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)$

और ${\overline {f}}$ कहा जाता है कि विस्तार करके प्राप्त किया जाए $f$ रैखिकता द्वारा।विशिष्टता का अर्थ है कि प्रत्येक आर-रैखिक मानचित्र $R^{(E)}\to N$ विशिष्ट रूप से इसके प्रतिबंध (गणित) द्वारा ई को निर्धारित किया जाता है।

सार्वभौमिक गुणों के लिए हमेशा की तरह, यह परिभाषित करता है R^(E) एक कैनोनिकल आइसोमोर्फिज़्म तक।का गठन भी $\iota :E\to R^{(E)}$ प्रत्येक सेट के लिए ई एक फंक्टर निर्धारित करता है

$R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}$,

सेट की श्रेणी से वाम की श्रेणी तक R-मॉड्यूल्स।इसे मुफ्त फंक्टर कहा जाता है और एक प्राकृतिक संबंध को संतुष्ट करता है: प्रत्येक सेट ई और एक बाएं मॉड्यूल एन के लिए,

$\operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}$

कहाँ $U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}$ भुलक्कड़ फंक्टर है, जिसका अर्थ है $R^{(-)}$ भुलक्कड़ फंक्शनर का एक बाएं आसन्न है।

सामान्यीकरण

मुक्त मॉड्यूल के बारे में कई कथन, जो रिंग्स पर सामान्य मॉड्यूल के लिए गलत हैं, अभी भी मुक्त मॉड्यूल के कुछ सामान्यीकरण के लिए सही हैं।प्रोजेक्टिव मॉड्यूल मुक्त मॉड्यूल के प्रत्यक्ष संक्षेप हैं, इसलिए कोई एक मुफ्त मॉड्यूल में एक इंजेक्शन चुन सकता है और प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के लिए कुछ साबित करने के लिए इस एक के आधार का उपयोग कर सकता है।यहां तक कि कमजोर सामान्यीकरण फ्लैट मॉड्यूल हैं, जिनमें अभी भी वह संपत्ति है जो उनके साथ टेंसिंग सटीक अनुक्रम, और मरोड़-मुक्त मॉड्यूल को संरक्षित करती है।यदि अंगूठी में विशेष गुण होते हैं, तो यह पदानुक्रम ध्वस्त हो सकता है, उदाहरण के लिए, किसी भी सही स्थानीय डेडेकिंड रिंग के लिए, हर मरोड़-मुक्त मॉड्यूल सपाट, प्रक्षेप्य और स्वतंत्र भी है।एक कम्यूटेटिव पीआईडी का एक बारीक रूप से उत्पन्न मरोड़-मुक्त मॉड्यूल मुक्त है।एक बारीक रूप से उत्पन्न Z- मॉड्यूल मुक्त है यदि और केवल अगर यह सपाट है।

स्थानीय अंगूठी, एकदम सही अंगूठी और डेडेकिंड रिंग देखें।

यह भी देखें

• मुक्त वस्तु
• प्रक्षेप्य वस्तु
• मुफ्त प्रस्तुति
• नि: शुल्क संकल्प
• क्विलन -सुस्लिन प्रमेय
• सख्ती से मुक्त मॉड्यूल
• सामान्य फ़्रेनस
• व्हाइटहेड समस्या

संदर्भ

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• Adamson, Iain T. (1972). Elementary Rings and Modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. pp. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. MR 0345993.
• Keown, R. (1975). An Introduction to Group Representation Theory. Mathematics in science and engineering. Vol. 116. Academic Press. ISBN 978-0-12-404250-6. MR 0387387.
• Govorov, V. E. (2001) [1994], "Free module", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.