आगमनात्मक आयाम

टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, टोपोलॉजिकल स्पेस X का आगमनात्मक आयाम या तो दो मानों में से होता है, छोटा आगमनात्मक आयाम ind(X) या बड़ा आगमनात्मक आयाम Ind(X) . ये इस अवलोकन पर आधारित हैं कि, n-आयामी यूक्लिडियन स्पेस R मेंⁿ, (n − 1)-आयामी क्षेत्रों (अर्थात, n-आयामी गेंदों की सीमा (टोपोलॉजी) ) का आयाम n − 1 होता है। इसलिए अंतरिक्ष गणितीय प्रेरण के आयाम को परिभाषित करना संभव होना चाहिए उपयुक्त खुले सेटों की सीमाओं के आयामों के संदर्भ में।

छोटे और बड़े आगमनात्मक आयाम टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए आयाम की धारणा को कैप्चर करने के तीन सबसे सामान्य तरीकों में से दो हैं, जो केवल टोपोलॉजी पर निर्भर करता है (और नहीं, कहें, मीट्रिक स्थान के गुणों पर)। दूसरा लेब्सग्यू कवरिंग आयाम है। टोपोलॉजिकल डायमेंशन शब्द को आमतौर पर लेबेस्ग्यू कवरिंग आयाम के संदर्भ में समझा जाता है। पर्याप्त रूप से अच्छी जगहों के लिए, आयाम के तीन उपाय बराबर हैं।

औपचारिक परिभाषा

हम चाहते हैं कि एक बिंदु का आयाम 0 हो, और एक बिंदु की खाली सीमा हो, इसलिए हम शुरू करते हैं

$\operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1$

फिर आगमनात्मक रूप से, ind(X) सबसे छोटा n है, जिससे प्रत्येक . के लिए$x\in X$और प्रत्येक खुला समुच्चय U जिसमें x है, एक खुला समुच्चय V है जिसमें x है, जैसे कि V का क्लोजर (टोपोलॉजी) U का उपसमुच्चय है, और V की सीमा में n − 1 से कम या उसके बराबर छोटा आगमनात्मक आयाम है। (यदि X एक यूक्लिडियन n-आयामी स्थान है, तो V को x पर केंद्रित n-आयामी गेंद के रूप में चुना जा सकता है।)

बड़े आगमनात्मक आयाम के लिए, हम वी की पसंद को और भी सीमित करते हैं; Ind(X) सबसेट छोटा n इस प्रकार है कि, X के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय U के प्रत्येक बंद समुच्चय F के लिए, बीच में एक खुला V है (अर्थात, F, V का उपसमुच्चय है और V का बंद होना एक उपसमुच्चय है) यू का), जैसे कि वी की सीमा में n − 1 से कम या उसके बराबर बड़ा आगमनात्मक आयाम है।

आयामों के बीच संबंध

होने देना $\dim$ Lebesgue कवरिंग आयाम हो। किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस X के लिए, हमारे पास है

$\dim X=0$ अगर और केवल अगर $\operatorname {Ind} X=0.$

उरीसोहन के प्रमेय में कहा गया है कि जब X एक सामान्य स्थान होता है जिसमें दूसरी-गणनीय स्थान होता है, तब

$\dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.$

इस तरह के रिक्त स्थान बिल्कुल अलग करने योग्य स्थान और मेट्रिजेबल एक्स हैं (यूरीसोहन के मेट्रिज़ेशन प्रमेय देखें)।

'नोबेलिंग-पोंट्रीगिन प्रमेय' में तब कहा गया है कि परिमित आयाम वाले ऐसे रिक्त स्थान को यूक्लिडियन रिक्त स्थान के उप-स्थानों के रूप में होमियोमोर्फिज्म की विशेषता है, उनकी सामान्य टोपोलॉजी के साथ। 'मेंजर-नोबेलिंग प्रमेय' (1932) में कहा गया है कि यदि $X$ कॉम्पैक्ट मीट्रिक वियोज्य और आयाम का है $n$, तो यह आयाम के यूक्लिडियन स्थान के उप-स्थान के रूप में एम्बेड होता है $2n+1$. (जॉर्ज नोबेलिंग कार्ल मेंगेर के छात्र थे। उन्होंने नोबेलिंग स्पेस की शुरुआत की, उप-स्थान $\mathbf {R} ^{2n+1}$ कम से कम . के साथ अंक से मिलकर $n+1$ अपरिमेय संख्या होने के कारण समन्वय करता है, जिसमें आयाम के रिक्त स्थान को एम्बेड करने के लिए सार्वभौमिक गुण होते हैं $n$।)

मान लें कि हमारे पास केवल एक्स मेट्रिज़ेबल है (मिरोस्लाव कैटेटोव)

इंड एक्स ≤ इंडस्ट्रीज़ एक्स = मंद एक्स;

या X कॉम्पैक्ट स्पेस और हॉसडॉर्फ स्पेस (P. S. Aleksandrov) को मानते हुए

मंद एक्स ≤ इंडस्ट्रीज़ एक्स इंडस्ट्रीज़ एक्स।

या तो यहां असमानता सख्त हो सकती है; व्लादिमीर वी. फ़िलिपोव के एक उदाहरण से पता चलता है कि दो आगमनात्मक आयाम भिन्न हो सकते हैं।

एक वियोज्य मीट्रिक स्थान X असमानता को संतुष्ट करता है $\operatorname {Ind} X\leq n$ अगर और केवल अगर हर बंद उप-स्थान के लिए $A$ अंतरिक्ष के $X$ और प्रत्येक सतत मानचित्रण $f:A\to S^{n}$ एक निरंतर विस्तार मौजूद है ${\bar {f}}:X\to S^{n}$.

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

• खुला सेट
• गणितीय अधिष्ठापन
• वृत्त
• बंद सेट
• दूसरा-गणनीय स्थान
• वियोज्य स्थान

अग्रिम पठन

• Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn and Karl Menger: papers on dimension theory" in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 844-55.
• R. Engelking, Theory of Dimensions. Finite and Infinite, Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2.
• V. V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.
• V. V. Filippov, On the inductive dimension of the product of bicompacta, Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250-254.
• A. R. Pears, Dimension theory of general spaces, Cambridge University Press (1975).