मैट्रिक्स का स्पेक्ट्रम

गणित में, एक मैट्रिक्स (गणित) का स्पेक्ट्रम उसके eigenvalue का सेट (गणित) होता है। अधिक सामान्यतः, यदि $T\colon V\to V$ किसी भी आयाम (सदिश स्थल ) पर एक रैखिक ऑपरेटर है | परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस, इसका स्पेक्ट्रम स्केलर का सेट है $\lambda$ ऐसा है कि $T-\lambda I$ उलटा कार्य नहीं है. मैट्रिक्स का निर्धारक उसके eigenvalues ​​​​के उत्पाद के बराबर होता है। इसी प्रकार, मैट्रिक्स का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) इसके eigenvalues ​​​​के योग के बराबर होता है। इस दृष्टिकोण से, हम एक विलक्षण मैट्रिक्स के लिए छद्म-निर्धारक को उसके गैर-शून्य आइगेनवैल्यू के उत्पाद के रूप में परिभाषित कर सकते हैं (बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के घनत्व को इस मात्रा की आवश्यकता होगी)।

पृष्ठ रैंक जैसे कई अनुप्रयोगों में, किसी की रुचि प्रमुख आइगेनवैल्यू में होती है, यानी वह जो निरपेक्ष मूल्य में सबसे बड़ा हो। अन्य अनुप्रयोगों में, सबसे छोटा eigenvalue महत्वपूर्ण है, लेकिन सामान्य तौर पर, संपूर्ण स्पेक्ट्रम एक मैट्रिक्स के बारे में बहुमूल्य जानकारी प्रदान करता है।

परिभाषा

मान लीजिए V किसी फ़ील्ड (गणित) K पर एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान है और मान लीजिए T: V → V एक रैखिक मानचित्र है। T का स्पेक्ट्रम, σ को दर्शाता है_T, T के अभिलक्षणिक बहुपद के एक बहुपद के मूल का बहुसमुच्चय है। इस प्रकार स्पेक्ट्रम के तत्व सटीक रूप से T के eigenvalues ​​​​हैं, और स्पेक्ट्रम में एक eigenvalue λ की बहुलता λ के लिए T के सामान्यीकृत eigenspace के आयाम के बराबर होती है। (जिसे λ की बीजगणितीय बहुलता भी कहा जाता है)।

अब, K के ऊपर V का एक आधार (रैखिक बीजगणित) B तय करें और मान लें कि M ∈ Mat_K(V) एक मैट्रिक्स है. रैखिक मानचित्र T : V → V को बिंदुवार Tx = Mx द्वारा परिभाषित करें, जहां दाईं ओर x को एक स्तंभ वेक्टर के रूप में व्याख्या किया गया है और M मैट्रिक्स गुणन द्वारा x पर कार्य करता है। अब हम कहते हैं कि x ∈ V, M का एक eigenvector है यदि x, T का एक eigenvector है। इसी तरह, λ ∈ K, M का एक eigenvalue है यदि यह T का एक eigenvalue है, और समान बहुलता के साथ, और M का स्पेक्ट्रम लिखा हुआ σ_M, ऐसे सभी eigenvalues ​​​​का बहुसमूह है।

संबंधित धारणाएँ

एक विकर्णीय मैट्रिक्स का eigendecomposition (या वर्णक्रमीय अपघटन) एक विशिष्ट विहित रूप में विकर्ण मैट्रिक्स का एक मैट्रिक्स अपघटन है जिसके तहत मैट्रिक्स को उसके eigenvalues ​​​​और eigenvectors के संदर्भ में दर्शाया जाता है।

एक वर्ग मैट्रिक्स का वर्णक्रमीय त्रिज्या उसके eigenvalues ​​​​का सबसे बड़ा निरपेक्ष मान है। वर्णक्रमीय सिद्धांत में, एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर की वर्णक्रमीय त्रिज्या उस ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम में तत्वों के निरपेक्ष मूल्यों का सर्वोच्च है।

संदर्भ

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• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646