शिफ्ट ऑपरेटर

गणित में, और विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, शिफ्ट ऑपरेटर जिसे ट्रांसलेशन ऑपरेटर के रूप में भी जाना जाता है, एक ऑपरेटर है जो एक फ़ंक्शन लेता है $x \mapsto f (x)$ इसके अनुवाद के लिए $x \mapsto f (x + a)$ .^[1] समय श्रृंखला विश्लेषण में, शिफ्ट ऑपरेटर को अंतराल ऑपरेटर कहा जाता है।

शिफ्ट ऑपरेटर रैखिक ऑपरेटर ों के उदाहरण हैं, जो उनकी सादगी और प्राकृतिक घटना के लिए महत्वपूर्ण हैं। एक वास्तविक चर के कार्यों पर शिफ्ट ऑपरेटर कार्रवाई हार्मोनिक विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, उदाहरण के लिए, यह लगभग आवधिक फ़ंक्शन # यूनिफ़ॉर्म या बोह्र या बोचनर लगभग आवधिक कार्यों, सकारात्मक-निश्चित कार्य ों, यौगिक और घुमाव की परिभाषाओं में प्रकट होती है।^[2] अनुक्रमों की शिफ्ट (एक पूर्णांक चर के कार्य) हार्डी रिक्त स्थान, एबेलियन विविधता के सिद्धांत और प्रतीकात्मक गतिशीलता के सिद्धांत जैसे विविध क्षेत्रों में दिखाई देते हैं, जिसके लिए बेकर का नक्शा एक स्पष्ट प्रतिनिधित्व है।

परिभाषा

एक वास्तविक चर के कार्य

शिफ्ट ऑपरेटर $T t$ (कहाँ पे $t \in R$ ) एक कार्य करता है $f$ आर पर इसके अनुवाद के लिए $f t$ ,

T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.

रेखीय संचालिका का एक व्यावहारिक संक्रियात्मक कलन निरूपण $T t$ सादे व्युत्पन्न के संदर्भ में $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}d/dx$ Lagrange द्वारा पेश किया गया था,

{{Equation box 1 |indent =: |equation = Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "ग" found.in 1:44"): {\displaystyle T^t= e^{t \frac d {dx}}~, </गणित> | सेलपैडिंग = 6 |बॉर्डर |बॉर्डर का रंग = #0073CF |bgcolor=#F9FFF7}} में इसकी औपचारिक [[ टेलर विस्तार ]] के माध्यम से परिचालन रूप से व्याख्या की जा सकती है {{mvar|t}}; और मोनोमियल पर किसकी कार्रवाई {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} [[ द्विपद प्रमेय ]] द्वारा स्पष्ट है, और इसलिए सभी श्रृंखलाओं पर {{mvar|x}}, और इसलिए सभी कार्य {{math|''f''(''x'')}} ऊपरोक्त अनुसार।<ref>Jordan, Charles, (1939/1965). ''Calculus of Finite Differences'', (AMS Chelsea Publishing), {{isbn|978-0828400336}} .</ref> यह, तब, हीविसाइड के कलन में टेलर विस्तार का एक औपचारिक कूटलेखन है। ऑपरेटर इस प्रकार प्रोटोटाइप प्रदान करता है<ref>M Hamermesh (1989), ''Group Theory and Its Application to Physical Problems'' (Dover Books on Physics), Hamermesh ISBM 978-0486661810, Ch 8-6, pp 294-5, [https://physics.stackexchange.com/questions/331635/undefined-phase-flow/331841#331841 online].</ref> लाई के प्रसिद्ध पुनरावृत्त प्रकार्य के लिए#लाई का डाटा परिवहन समीकरण, :<math> e^{t \beta(x) \frac d {dx}} f(x) = e^{t \frac d {dh}} F(h) = F(h+t) = f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),} जहां विहित निर्देशांक $h$ (एबेल समीकरण) को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).

उदाहरण के लिए, यह आसानी से उसका अनुसरण करता है $\beta (x)=x$ पैदावार स्केलिंग,

e^{tx{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(e^{t}x),

इसलिए $e^{i\pi x{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(-x)$ (समानता); वैसे ही,

 $\beta (x)=x^{2}$  पैदावार^[3] : $e^{tx^{2}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),$

$\beta (x)=1/x$ पैदावार

e^{{\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),

$\beta (x)=e^{x}$ पैदावार

\exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),

आदि।

प्रवाह की प्रारंभिक स्थिति और समूह संपत्ति पूरी तरह से पूरे प्रवाह को निर्धारित करती है, अनुवाद कार्यात्मक समीकरण का समाधान प्रदान करती है^[4]

f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).

अनुक्रम

लेफ्ट शिफ्ट ऑपरेटर द्वारा संख्याओं के एक तरफा अनंत अनुक्रम पर कार्य करता है

S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )

और दो तरफा अनंत अनुक्रमों पर

T:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k=-\infty }^{\infty }.

राइट शिफ्ट ऑपरेटर द्वारा संख्याओं के एक तरफा अनंत अनुक्रम पर कार्य करता है

S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )

और दो तरफा अनंत अनुक्रमों पर

T^{-1}:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k=-\infty }^{\infty }.

दो तरफा अनंत अनुक्रमों पर काम करने वाले दाएं और बाएं शिफ्ट ऑपरेटर को 'द्विपक्षीय' शिफ्ट कहा जाता है।

एबेलियन समूह

सामान्य तौर पर, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, यदि $F$ एबेलियन समूह पर एक समारोह है $G$ , और $h$ का एक तत्व है $G$ , शिफ्ट ऑपरेटर $T g$ एमएपीएस $F$ को^[4]^[5]

F_{g}(h)=F(h+g).

शिफ्ट ऑपरेटर के गुण

वास्तविक- या जटिल-मूल्यवान कार्यों या अनुक्रमों पर कार्य करने वाला शिफ्ट ऑपरेटर एक रैखिक ऑपरेटर है जो कार्यात्मक विश्लेषण में प्रकट होने वाले अधिकांश मानक मानदंड (गणित) को संरक्षित करता है। इसलिए, यह आमतौर पर मानक एक के साथ एक सतत ऑपरेटर होता है।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर कार्रवाई

दो तरफा अनुक्रमों पर काम करने वाला शिफ्ट ऑपरेटर एक एकात्मक ऑपरेटर है $ℓ 2 (Z)$ . एक वास्तविक चर के कार्यों पर कार्य करने वाला शिफ्ट ऑपरेटर एक एकात्मक ऑपरेटर है $L 2 (R)$ .

दोनों ही मामलों में, (बाएं) शिफ्ट ऑपरेटर फूरियर रूपांतरण के साथ निम्नलिखित रूपान्तरण संबंध को संतुष्ट करता है:

{\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},

कहां

M t

द्वारा गुणन संकारक है

exp(itx)

. इसलिए, का स्पेक्ट्रम

T t

यूनिट सर्कल है।

एकतरफा पारी $S$ अभिनय कर रहे $ℓ 2 (N)$ एक उचित आइसोमेट्री है जिसमें सभी वेक्टर (ज्यामितीय) के बराबर फ़ंक्शन की सीमा होती है जो पहले समन्वय में गायब हो जाती है। ऑपरेटर एस का एक संपीड़न (कार्यात्मक विश्लेषण) है $T -1$ , इस अर्थ में कि

T^{-1}y=Sx{\text{ for each }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),

कहाँ पे

y

में सदिश है

ℓ 2 (Z)

साथ

y i = x i

के लिए

i \geq 0

और

y i = 0

के लिए

i < 0

. यह अवलोकन आइसोमेट्रीज़ के कई एकात्मक विस्तारों के निर्माण के केंद्र में है।

S का स्पेक्ट्रम यूनिट डिस्क है। शिफ्ट एस फ्रेडहोम ऑपरेटर का एक उदाहरण है; इसका फ्रेडहोम इंडेक्स -1 है।

सामान्यीकरण

जॉन डेलसर्ट ने सामान्यीकृत शिफ्ट ऑपरेटर (जिसे सामान्यीकृत विस्थापन ऑपरेटर भी कहा जाता है) की धारणा पेश की; इसे आगे उत्तर लेवांत द्वारा विकसित किया गया था।^[2]^[6]^[7] ऑपरेटरों का एक परिवार ${L x} x \in X$ एक अंतरिक्ष पर अभिनय $Φ$ एक सेट से कार्यों की $X$ को $C$ निम्नलिखित गुणों के होने पर सामान्यीकृत शिफ्ट ऑपरेटरों का परिवार कहा जाता है:

साहचर्य: चलो $(R y f)(x) = (L x f)(y)$ . फिर $L x R y = R y L x$ .
वहां मौजूद $e$ में $X$ ऐसा है कि $L e$ पहचान ऑपरेटर है।

इस मामले में, सेट $X$ hypergroup कहा जाता है।

यह भी देखें

अंकगणितीय बदलाव
तार्किक बदलाव
परिमित अंतर # परिमित अंतरों की गणना
अनुवाद ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी)

↑ Weisstein, Eric W. "Shift Operator". MathWorld.
↑ ^2.0 ^2.1 Marchenko, V. A. (2006). "The generalized shift, transformation operators, and inverse problems". Mathematical events of the twentieth century. Berlin: Springer. pp. 145–162. doi:10.1007/3-540-29462-7_8. MR 2182783.
↑ p 75 of Georg Scheffers (1891): Sophus Lie, Vorlesungen Ueber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen, Teubner, Leipzig, 1891. ISBN 978-3743343078 online
↑ ^4.0 ^4.1 Aczel, J (2006), Lectures on Functional Equations and Their Applications (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, ISBN 978-0486445236 .
↑ "A one-parameter continuous group is equivalent to a group of translations". M Hamermesh, ibid.
↑ Levitan, B.M.; Litvinov, G.L. (2001) [1994], "Generalized displacement operators", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
↑ Bredikhina, E.A. (2001) [1994], "Almost-periodic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

ग्रन्थसूची

Partington, Jonathan R. (March 15, 2004). Linear Operators and Linear Systems. Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9780511616693. ISBN 978-0-521-83734-7.
Marvin Rosenblum and James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory, (1985) Oxford University Press.

[1] Weisstein, Eric W. "Shift Operator". MathWorld.

[mar-2] 2.0 ^2.1 Marchenko, V. A. (2006). "The generalized shift, transformation operators, and inverse problems". Mathematical events of the twentieth century. Berlin: Springer. pp. 145–162. doi:10.1007/3-540-29462-7_8. MR 2182783.

[3] 75 of Georg Scheffers (1891): Sophus Lie, Vorlesungen Ueber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen, Teubner, Leipzig, 1891. ISBN 978-3743343078 online

[acz-4] 4.0 ^4.1 Aczel, J (2006), Lectures on Functional Equations and Their Applications (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, ISBN 978-0486445236 .

[5] "A one-parameter continuous group is equivalent to a group of translations". M Hamermesh, ibid.

[6] Levitan, B.M.; Litvinov, G.L. (2001) [1994], "Generalized displacement operators", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[7] Bredikhina, E.A. (2001) [1994], "Almost-periodic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

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