Difference between revisions of "अपव्यय प्रणाली"

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विघटनकारी प्रणाली थर्मोडायनामिक रूप से खुली प्रणाली (सिस्टम सिद्धांत) है जो ऐसे वातावरण में थर्मोडायनामिक संतुलन से संचालित होती है, और अक्सर उससे दूर होती है जिसके साथ यह ऊर्जा और पदार्थ का आदान-प्रदान करती है। बवंडर को विघटनकारी प्रणाली के रूप में सोचा जा सकता है। विघटनकारी प्रणालियाँ रूढ़िवादी प्रणालियों के विपरीत हैं।

विघटनकारी संरचना विघटनकारी प्रणाली है जिसमें गतिशील शासन होता है जो कुछ अर्थों में प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य स्थिर स्थिति में होता है। इस प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य स्थिर स्थिति को सिस्टम के प्राकृतिक विकास, चालाकी या इन दोनों के संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है।

सिंहावलोकन

अपव्यय संरचना की विशेषता समरूपता टूटने (असमदिग्वर्ती होने की दशा ) की सहज उपस्थिति और जटिल, कभी-कभी कैओस सिद्धांत, संरचनाओं का निर्माण है जहां परस्पर क्रिया करने वाले कण लंबी दूरी के सहसंबंध प्रदर्शित करते हैं। रोजमर्रा की जिंदगी के उदाहरणों में संवहन, अशांति, चक्रवात, उष्णकटिबंधीय चक्रवात और जीवन शामिल हैं। कम आम उदाहरणों में लेज़र , बेनार्ड कोशिकाएं, बूंद क्लस्टर और बेलौसोव-झाबोटिंस्की प्रतिक्रिया शामिल हैं।^[1] विघटनकारी प्रणाली को गणितीय रूप से मॉडलिंग करने का तरीका भटकते सेट पर लेख में दिया गया है: इसमें माप (गणित) पर समूह (गणित) की कार्रवाई शामिल है।

आर्थिक प्रणालियों और जटिल प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए विघटनकारी प्रणालियों का उपयोग उपकरण के रूप में भी किया जा सकता है।^[2] उदाहरण के लिए, एन्ट्रापी पीढ़ी और जैविक प्रणालियों की मजबूती के बीच संबंध को समझने के लिए मॉडल के रूप में नैनोवायरों की स्व-संयोजन से जुड़ी विघटनकारी प्रणाली का उपयोग किया गया है।^[3] हॉपफ अपघटन बताता है कि गतिशील प्रणालियों को रूढ़िवादी और विघटनकारी भाग में विघटित किया जा सकता है; अधिक सटीक रूप से, यह बताता है कि रूढ़िवादी प्रणाली के साथ प्रत्येक माप स्थान | गैर-एकवचन परिवर्तन को अपरिवर्तनीय रूढ़िवादी प्रणाली और अपरिवर्तनीय विघटनकारी सेट में विघटित किया जा सकता है।

ऊष्मागतिकी में विघटनकारी संरचनाएँ

रूसी-बेल्जियम के भौतिक रसायनज्ञ इल्या प्रिज़ोगिन, जिन्होंने विघटनकारी संरचना शब्द गढ़ा, को इन संरचनाओं पर अपने अग्रणी काम के लिए 1977 में रसायन विज्ञान में नोबेल पुरस्कार मिला, जिसमें गतिशील शासन हैं जिन्हें थर्मोडायनामिक स्थिर अवस्था के रूप में माना जा सकता है, और कभी-कभी कम से कम हो सकता है गैर-संतुलन थर्मोडायनामिक्स में उपयुक्त चरम सिद्धांतों द्वारा वर्णित।

अपने नोबेल व्याख्यान में,^[4] प्रिगोगिन बताते हैं कि कैसे संतुलन से दूर थर्मोडायनामिक सिस्टम संतुलन के करीब सिस्टम से काफी भिन्न व्यवहार कर सकते हैं। संतुलन के निकट, स्थानीय संतुलन परिकल्पना लागू होती है और मुक्त ऊर्जा और एन्ट्रापी जैसी विशिष्ट थर्मोडायनामिक मात्रा को स्थानीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है। कोई सिस्टम के (सामान्यीकृत) प्रवाह और बलों के बीच रैखिक संबंध मान सकता है। रैखिक थर्मोडायनामिक्स के दो प्रसिद्ध परिणाम हैं ऑनसागर पारस्परिक संबंध और न्यूनतम एन्ट्रापी उत्पादन का सिद्धांत।^[5] ऐसे परिणामों को संतुलन से दूर प्रणालियों तक विस्तारित करने के प्रयासों के बाद, यह पाया गया कि वे इस शासन में नहीं हैं और विपरीत परिणाम प्राप्त हुए।

ऐसी प्रणालियों का कठोरता से विश्लेषण करने का तरीका संतुलन से दूर प्रणाली की स्थिरता का अध्ययन करना है। संतुलन के करीब, कोई ल्यपुनोव समारोह के अस्तित्व को दिखा सकता है जो यह सुनिश्चित करता है कि एन्ट्रापी स्थिर अधिकतम तक जाती है। निश्चित बिंदु के पड़ोस में उतार-चढ़ाव कम हो जाते हैं और स्थूल विवरण पर्याप्त होता है। हालाँकि, संतुलन से दूर स्थिरता अब सार्वभौमिक संपत्ति नहीं है और इसे तोड़ा जा सकता है। रासायनिक प्रणालियों में, यह स्वत: उत्प्रेरक प्रतिक्रियाओं की उपस्थिति के साथ होता है, जैसे ब्रुसेलेटर के उदाहरण में। यदि सिस्टम को निश्चित सीमा से परे चलाया जाता है, तो दोलन अब कम नहीं होंगे, बल्कि बढ़ सकते हैं। गणितीय रूप से, यह हॉप द्विभाजन से मेल खाता है जहां निश्चित मूल्य से परे किसी पैरामीटर को बढ़ाने से चक्र व्यवहार सीमित हो जाता है। यदि प्रतिक्रिया-प्रसार समीकरण के माध्यम से स्थानिक प्रभावों को ध्यान में रखा जाता है, तो लंबी दूरी के सहसंबंध और स्थानिक रूप से क्रमबद्ध पैटर्न उत्पन्न होते हैं,^[6] जैसे कि बेलौसोव-ज़ाबोटिंस्की प्रतिक्रिया के मामले में। पदार्थ की ऐसी गतिशील अवस्था वाली प्रणालियाँ जो अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं, विघटनकारी संरचनाएँ होती हैं।

हाल के शोध में जैविक प्रणालियों के संबंध में विघटनकारी संरचनाओं के बारे में प्रिगोगिन के विचारों पर पुनर्विचार देखा गया है।^[7]

नियंत्रण सिद्धांत में विघटनकारी प्रणालियाँ

जान कैमियल विलेम्स ने सबसे पहले सिस्टम सिद्धांत में विघटन की अवधारणा पेश की^[8] इनपुट-आउटपुट गुणों द्वारा गतिशील प्रणालियों का वर्णन करना। इसकी स्थिति द्वारा वर्णित गतिशील प्रणाली पर विचार करना $x(t)$ , इसका इनपुट $u(t)$ और इसका आउटपुट $y(t)$ , इनपुट-आउटपुट सहसंबंध को आपूर्ति दर दी गई है $w(u(t),y(t))$ . प्रणाली को आपूर्ति दर के संबंध में विघटनकारी कहा जाता है यदि इसमें निरंतर भिन्न भंडारण फ़ंक्शन मौजूद हो $V(x(t))$ ऐसा है कि $V(0)=0$ , $V(x(t))\geq 0$ और

{\dot {V}}(x(t))\leq w(u(t),y(t))

.^[9]

अपव्ययता के विशेष मामले के रूप में, प्रणाली को निष्क्रिय कहा जाता है यदि उपरोक्त अपव्ययता असमानता निष्क्रियता आपूर्ति दर के संबंध में होती है $w(u(t),y(t))=u(t)^{T}y(t)$ .

भौतिक व्याख्या वह है $V(x)$ जबकि, सिस्टम में संग्रहीत ऊर्जा है $w(u(t),y(t))$ वह ऊर्जा है जो सिस्टम को आपूर्ति की जाती है।

इस धारणा का ल्यपुनोव स्थिरता के साथ मजबूत संबंध है, जहां भंडारण कार्य गतिशील प्रणाली की नियंत्रणीयता और अवलोकन की कुछ शर्तों के तहत, ल्यपुनोव कार्यों की भूमिका निभा सकते हैं।

मोटे तौर पर कहें तो, अपव्ययता सिद्धांत रैखिक और गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए प्रतिक्रिया नियंत्रण कानूनों के डिजाइन के लिए उपयोगी है। डिसिपेटिव सिस्टम सिद्धांत पर वासिले एम. पोपोव|वी.एम. द्वारा चर्चा की गई है। पोपोव, जान कैमियल विलेम्स|जे.सी. विलेम्स, डी.जे. हिल, और पी. मोयलान। रैखिक अपरिवर्तनीय प्रणालियों के मामले में, इसे सकारात्मक वास्तविक स्थानांतरण फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है, और मौलिक उपकरण तथाकथित कल्मन-याकूबोविच-पोपोव लेम्मा है जो राज्य स्थान और सकारात्मक वास्तविक प्रणालियों की आवृत्ति डोमेन गुणों से संबंधित है.^[10] अपने महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों के कारण, डिसिपेटिव सिस्टम अभी भी सिस्टम और नियंत्रण में अनुसंधान का सक्रिय क्षेत्र है।

क्वांटम विघटनकारी प्रणालियाँ

चूँकि क्वांटम यांत्रिकी, और कोई भी शास्त्रीय गतिशील प्रणाली, हैमिल्टनियन यांत्रिकी पर बहुत अधिक निर्भर करती है जिसके लिए समय की प्रतिवर्तीता होती है, ये सन्निकटन आंतरिक रूप से विघटनकारी प्रणालियों का वर्णन करने में सक्षम नहीं हैं। यह प्रस्तावित किया गया है कि सिद्धांत रूप में, कोई सिस्टम को कमजोर रूप से जोड़ सकता है - मान लीजिए, ऑसिलेटर - स्नान के लिए, यानी, ब्रॉड बैंड स्पेक्ट्रम के साथ थर्मल संतुलन में कई ऑसिलेटर्स की असेंबली, और स्नान पर ट्रेस (औसत)। इससे मास्टर समीकरण प्राप्त होता है जो लिंडब्लैड समीकरण नामक अधिक सामान्य सेटिंग का विशेष मामला है जो शास्त्रीय लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) के बराबर क्वांटम है। इस समीकरण का प्रसिद्ध रूप और इसका क्वांटम समकक्ष प्रतिवर्ती चर के रूप में समय लेता है जिस पर एकीकृत होना है, लेकिन विघटनकारी संरचनाओं की नींव समय के लिए एच-प्रमेय और रचनात्मक भूमिका लगाती है।

हाल के शोध में क्वांटम विस्तार देखा गया है^[11] जेरेमी इंग्लैंड के विघटनकारी अनुकूलन के सिद्धांत की^[7](जैसा कि ऊपर बताया गया है, जो प्रिगोगिन के विघटनकारी संरचनाओं के विचारों को दूर-से-संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी तक सामान्यीकृत करता है)।

विघटनकारी संरचना अवधारणा के विघटनकारी प्रणालियों पर अनुप्रयोग

ऊर्जा के निरंतर आदान-प्रदान में प्रणालियों के व्यवहार को समझने के लिए तंत्र के रूप में विघटनकारी संरचनाओं की रूपरेखा को विभिन्न विज्ञान क्षेत्रों और अनुप्रयोगों पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है, जैसे प्रकाशिकी में,^[12]^[13] जनसंख्या की गतिशीलता और वृद्धि^[14]^[15]^[16] और रसायन-यांत्रिक संरचनाएं।^[17]^[18]^[19]

यह भी देखें

ऑटोकैटलिटिक प्रतिक्रियाएं और आदेश निर्माण
आत्म सुधार
ऑटोवेव
संरक्षण कानून
जटिल सिस्टम
गतिशील प्रणाली
गैर-संतुलन थर्मोडायनामिक्स में चरम सिद्धांत
सूचना चयापचय
लॉस्च्मिड्ट का विरोधाभास
गैर-संतुलन थर्मोडायनामिक्स
संबंधपरक क्रम सिद्धांत
स्व-संगठन
व्यवहार्य प्रणाली सिद्धांत
भंवर इंजन

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संदर्भ

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बाहरी संबंध

The dissipative systems model The Australian National University

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[18] Gandhi, Punit; Zelnik, Yuval R.; Knobloch, Edgar (28 December 2018). "Spatially localized structures in the Gray–Scott model". Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 376 (2135): 20170375. Bibcode:2018RSPTA.37670375G. doi:10.1098/rsta.2017.0375. PMC 6232600. PMID 30420543.

[19] Kostet, B.; Tlidi, M.; Tabbert, F.; Frohoff-Hülsmann, T.; Gurevich, S. V.; Averlant, E.; Rojas, R.; Sonnino, G.; Panajotov, K. (28 December 2018). "स्थिर स्थानीयकृत संरचनाएं और ब्रुसेलेटर मॉडल में विलंबित फीडबैक का प्रभाव". Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 376 (2135): 20170385. arXiv:1810.05072. Bibcode:2018RSPTA.37670385K. doi:10.1098/rsta.2017.0385. PMID 30420547. S2CID 53289595.

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 {{Short description|Thermodynamically open system which is not in equilibrium}}
-एक विघटनकारी प्रणाली एक थर्मोडायनामिक रूप से [[खुली प्रणाली (सिस्टम सिद्धांत)]] है जो एक ऐसे वातावरण में [[थर्मोडायनामिक संतुलन]] से संचालित होती है, और अक्सर उससे दूर होती है जिसके साथ यह [[ऊर्जा]] और पदार्थ का आदान-प्रदान करती है। [[बवंडर]] को एक विघटनकारी प्रणाली के रूप में सोचा जा सकता है। विघटनकारी प्रणालियाँ रूढ़िवादी प्रणालियों के विपरीत हैं।
+विघटनकारी प्रणाली थर्मोडायनामिक रूप से [[खुली प्रणाली (सिस्टम सिद्धांत)]] है जो ऐसे वातावरण में [[थर्मोडायनामिक संतुलन]] से संचालित होती है, और अक्सर उससे दूर होती है जिसके साथ यह [[ऊर्जा]] और पदार्थ का आदान-प्रदान करती है। [[बवंडर]] को विघटनकारी प्रणाली के रूप में सोचा जा सकता है। विघटनकारी प्रणालियाँ रूढ़िवादी प्रणालियों के विपरीत हैं।
-एक विघटनकारी संरचना एक विघटनकारी प्रणाली है जिसमें एक गतिशील शासन होता है जो कुछ अर्थों में प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य स्थिर स्थिति में होता है। इस प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य स्थिर स्थिति को सिस्टम के प्राकृतिक विकास, चालाकी या इन दोनों के संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है।
+विघटनकारी संरचना विघटनकारी प्रणाली है जिसमें गतिशील शासन होता है जो कुछ अर्थों में प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य स्थिर स्थिति में होता है। इस प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य स्थिर स्थिति को सिस्टम के प्राकृतिक विकास, चालाकी या इन दोनों के संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है।
 == सिंहावलोकन ==
-एक [[अपव्यय]] संरचना की विशेषता समरूपता टूटने ([[ असमदिग्वर्ती होने की दशा ]]) की सहज उपस्थिति और जटिल, कभी-कभी कैओस सिद्धांत, संरचनाओं का निर्माण है जहां परस्पर क्रिया करने वाले कण लंबी दूरी के सहसंबंध प्रदर्शित करते हैं। रोजमर्रा की जिंदगी के उदाहरणों में संवहन, [[अशांति]], [[चक्रवात]], [[उष्णकटिबंधीय चक्रवात]] और जीवन शामिल हैं। कम आम उदाहरणों में [[ लेज़र ]], बेनार्ड कोशिकाएं, [[ बूंद क्लस्टर ]] और बेलौसोव-झाबोटिंस्की प्रतिक्रिया शामिल हैं।<ref>{{cite journal|last1=Li|first1=HP|title=Dissipative Belousov–Zhabotinsky reaction in unstable micropyretic synthesis|journal=Current Opinion in Chemical Engineering|date=February 2014|volume=3|pages=1–6|doi=10.1016/j.coche.2013.08.007}}</ref>
+[[अपव्यय]] संरचना की विशेषता समरूपता टूटने ([[ असमदिग्वर्ती होने की दशा ]]) की सहज उपस्थिति और जटिल, कभी-कभी कैओस सिद्धांत, संरचनाओं का निर्माण है जहां परस्पर क्रिया करने वाले कण लंबी दूरी के सहसंबंध प्रदर्शित करते हैं। रोजमर्रा की जिंदगी के उदाहरणों में संवहन, [[अशांति]], [[चक्रवात]], [[उष्णकटिबंधीय चक्रवात]] और जीवन शामिल हैं। कम आम उदाहरणों में [[ लेज़र |लेज़र]] , बेनार्ड कोशिकाएं, [[ बूंद क्लस्टर |बूंद क्लस्टर]] और बेलौसोव-झाबोटिंस्की प्रतिक्रिया शामिल हैं।<ref>{{cite journal|last1=Li|first1=HP|title=Dissipative Belousov–Zhabotinsky reaction in unstable micropyretic synthesis|journal=Current Opinion in Chemical Engineering|date=February 2014|volume=3|pages=1–6|doi=10.1016/j.coche.2013.08.007}}</ref>
-एक विघटनकारी प्रणाली को गणितीय रूप से मॉडलिंग करने का एक तरीका भटकते सेट पर लेख में दिया गया है: इसमें एक [[माप (गणित)]] पर एक [[समूह (गणित)]] की कार्रवाई शामिल है।
+विघटनकारी प्रणाली को गणितीय रूप से मॉडलिंग करने का तरीका भटकते सेट पर लेख में दिया गया है: इसमें [[माप (गणित)]] पर [[समूह (गणित)]] की कार्रवाई शामिल है।
-आर्थिक प्रणालियों और जटिल प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए विघटनकारी प्रणालियों का उपयोग एक उपकरण के रूप में भी किया जा सकता है।<ref>{{Cite book|title = The Unity of Science and Economics: A New Foundation of Economic Theory|last = Chen|first = Jing|publisher = Springer|year = 2015|url=https://www.springer.com/us/book/9781493934645}}</ref> उदाहरण के लिए, एन्ट्रापी पीढ़ी और जैविक प्रणालियों की मजबूती के बीच संबंध को समझने के लिए एक मॉडल के रूप में नैनोवायरों की स्व-संयोजन से जुड़ी एक विघटनकारी प्रणाली का उपयोग किया गया है।<ref>{{cite journal|last1=Hubler|first1=Alfred|last2=Belkin|first2=Andrey|last3=Bezryadin|first3=Alexey|title=Noise induced phase transition between maximum entropy production structures and minimum entropy production structures?|journal=Complexity|date=2 January 2015|volume=20|issue=3|pages=8–11|doi=10.1002/cplx.21639|bibcode=2015Cmplx..20c...8H}}</ref>
+आर्थिक प्रणालियों और जटिल प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए विघटनकारी प्रणालियों का उपयोग उपकरण के रूप में भी किया जा सकता है।<ref>{{Cite book|title = The Unity of Science and Economics: A New Foundation of Economic Theory|last = Chen|first = Jing|publisher = Springer|year = 2015|url=https://www.springer.com/us/book/9781493934645}}</ref> उदाहरण के लिए, एन्ट्रापी पीढ़ी और जैविक प्रणालियों की मजबूती के बीच संबंध को समझने के लिए मॉडल के रूप में नैनोवायरों की स्व-संयोजन से जुड़ी विघटनकारी प्रणाली का उपयोग किया गया है।<ref>{{cite journal|last1=Hubler|first1=Alfred|last2=Belkin|first2=Andrey|last3=Bezryadin|first3=Alexey|title=Noise induced phase transition between maximum entropy production structures and minimum entropy production structures?|journal=Complexity|date=2 January 2015|volume=20|issue=3|pages=8–11|doi=10.1002/cplx.21639|bibcode=2015Cmplx..20c...8H}}</ref>
-हॉपफ अपघटन बताता है कि गतिशील प्रणालियों को एक रूढ़िवादी और एक विघटनकारी भाग में विघटित किया जा सकता है; अधिक सटीक रूप से, यह बताता है कि एक रूढ़िवादी प्रणाली के साथ प्रत्येक माप स्थान | गैर-एकवचन परिवर्तन को एक अपरिवर्तनीय रूढ़िवादी प्रणाली और एक अपरिवर्तनीय विघटनकारी सेट में विघटित किया जा सकता है।
+हॉपफ अपघटन बताता है कि गतिशील प्रणालियों को रूढ़िवादी और विघटनकारी भाग में विघटित किया जा सकता है; अधिक सटीक रूप से, यह बताता है कि रूढ़िवादी प्रणाली के साथ प्रत्येक माप स्थान | गैर-एकवचन परिवर्तन को अपरिवर्तनीय रूढ़िवादी प्रणाली और अपरिवर्तनीय विघटनकारी सेट में विघटित किया जा सकता है।
 == ऊष्मागतिकी में विघटनकारी संरचनाएँ ==
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 अपने नोबेल व्याख्यान में,<ref name="PrigogineNobel">{{cite journal|last1=Prigogine|first1=Ilya|title=समय, संरचना और उतार-चढ़ाव|url=https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1977/prigogine-lecture.html|journal=Science|year=1978|volume=201|issue=4358|pages=777–785|doi=10.1126/science.201.4358.777|pmid=17738519|bibcode=1978Sci...201..777P |s2cid=9129799 }}</ref> प्रिगोगिन बताते हैं कि कैसे संतुलन से दूर थर्मोडायनामिक सिस्टम संतुलन के करीब सिस्टम से काफी भिन्न व्यवहार कर सकते हैं। संतुलन के निकट, स्थानीय संतुलन परिकल्पना लागू होती है और मुक्त ऊर्जा और एन्ट्रापी जैसी विशिष्ट थर्मोडायनामिक मात्रा को स्थानीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है। कोई सिस्टम के (सामान्यीकृत) प्रवाह और बलों के बीच रैखिक संबंध मान सकता है। रैखिक थर्मोडायनामिक्स के दो प्रसिद्ध परिणाम हैं [[ऑनसागर पारस्परिक संबंध]] और न्यूनतम [[एन्ट्रापी उत्पादन]] का सिद्धांत।<ref>{{cite journal|last1=Prigogine|first1=Ilya|title=Modération et transformations irréversibles des systèmes ouverts|journal=Bulletin de la Classe des Sciences, Académie Royale de Belgique|date=1945|volume=31|pages=600–606}}</ref> ऐसे परिणामों को संतुलन से दूर प्रणालियों तक विस्तारित करने के प्रयासों के बाद, यह पाया गया कि वे इस शासन में नहीं हैं और विपरीत परिणाम प्राप्त हुए।
-ऐसी प्रणालियों का कठोरता से विश्लेषण करने का एक तरीका संतुलन से दूर प्रणाली की स्थिरता का अध्ययन करना है। संतुलन के करीब, कोई [[ल्यपुनोव समारोह]] के अस्तित्व को दिखा सकता है जो यह सुनिश्चित करता है कि एन्ट्रापी एक स्थिर अधिकतम तक जाती है। निश्चित बिंदु के पड़ोस में उतार-चढ़ाव कम हो जाते हैं और एक स्थूल विवरण पर्याप्त होता है। हालाँकि, संतुलन से दूर स्थिरता अब एक सार्वभौमिक संपत्ति नहीं है और इसे तोड़ा जा सकता है। रासायनिक प्रणालियों में, यह [[स्वत: उत्प्रेरक]] प्रतिक्रियाओं की उपस्थिति के साथ होता है, जैसे [[ब्रुसेलेटर]] के उदाहरण में। यदि सिस्टम को एक निश्चित सीमा से परे चलाया जाता है, तो दोलन अब कम नहीं होंगे, बल्कि बढ़ सकते हैं। गणितीय रूप से, यह हॉप द्विभाजन से मेल खाता है जहां एक निश्चित मूल्य से परे किसी एक पैरामीटर को बढ़ाने से चक्र व्यवहार सीमित हो जाता है। यदि प्रतिक्रिया-प्रसार समीकरण के माध्यम से स्थानिक प्रभावों को ध्यान में रखा जाता है, तो लंबी दूरी के सहसंबंध और स्थानिक रूप से क्रमबद्ध पैटर्न उत्पन्न होते हैं,<ref name="LemarchandNicolis">{{cite journal|last1=Lemarchand|first1=H.|last2=Nicolis|first2=G.|title=लंबी दूरी के सहसंबंध और रासायनिक अस्थिरता की शुरुआत|journal=Physica|date=1976|volume=82A|issue=4|pages=521–542|doi=10.1016/0378-4371(76)90079-0|bibcode=1976PhyA...82..521L}}</ref> जैसे कि बेलौसोव-ज़ाबोटिंस्की प्रतिक्रिया के मामले में। पदार्थ की ऐसी गतिशील अवस्था वाली प्रणालियाँ जो अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं, विघटनकारी संरचनाएँ होती हैं।
+ऐसी प्रणालियों का कठोरता से विश्लेषण करने का तरीका संतुलन से दूर प्रणाली की स्थिरता का अध्ययन करना है। संतुलन के करीब, कोई [[ल्यपुनोव समारोह]] के अस्तित्व को दिखा सकता है जो यह सुनिश्चित करता है कि एन्ट्रापी स्थिर अधिकतम तक जाती है। निश्चित बिंदु के पड़ोस में उतार-चढ़ाव कम हो जाते हैं और स्थूल विवरण पर्याप्त होता है। हालाँकि, संतुलन से दूर स्थिरता अब सार्वभौमिक संपत्ति नहीं है और इसे तोड़ा जा सकता है। रासायनिक प्रणालियों में, यह [[स्वत: उत्प्रेरक]] प्रतिक्रियाओं की उपस्थिति के साथ होता है, जैसे [[ब्रुसेलेटर]] के उदाहरण में। यदि सिस्टम को निश्चित सीमा से परे चलाया जाता है, तो दोलन अब कम नहीं होंगे, बल्कि बढ़ सकते हैं। गणितीय रूप से, यह हॉप द्विभाजन से मेल खाता है जहां निश्चित मूल्य से परे किसी पैरामीटर को बढ़ाने से चक्र व्यवहार सीमित हो जाता है। यदि प्रतिक्रिया-प्रसार समीकरण के माध्यम से स्थानिक प्रभावों को ध्यान में रखा जाता है, तो लंबी दूरी के सहसंबंध और स्थानिक रूप से क्रमबद्ध पैटर्न उत्पन्न होते हैं,<ref name="LemarchandNicolis">{{cite journal|last1=Lemarchand|first1=H.|last2=Nicolis|first2=G.|title=लंबी दूरी के सहसंबंध और रासायनिक अस्थिरता की शुरुआत|journal=Physica|date=1976|volume=82A|issue=4|pages=521–542|doi=10.1016/0378-4371(76)90079-0|bibcode=1976PhyA...82..521L}}</ref> जैसे कि बेलौसोव-ज़ाबोटिंस्की प्रतिक्रिया के मामले में। पदार्थ की ऐसी गतिशील अवस्था वाली प्रणालियाँ जो अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं, विघटनकारी संरचनाएँ होती हैं।
 हाल के शोध में जैविक प्रणालियों के संबंध में विघटनकारी संरचनाओं के बारे में प्रिगोगिन के विचारों पर पुनर्विचार देखा गया है।<ref name="England">{{cite journal|last1=England|first1=Jeremy L.|title=संचालित स्व-संयोजन में विघटनकारी अनुकूलन|journal=Nature Nanotechnology|date=4 November 2015|volume=10|issue=11|pages=919–923|doi=10.1038/NNANO.2015.250|pmid=26530021|bibcode=2015NatNa..10..919E}}</ref>
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 == नियंत्रण सिद्धांत में विघटनकारी प्रणालियाँ ==
-[[जान कैमियल विलेम्स]] ने सबसे पहले सिस्टम सिद्धांत में विघटन की अवधारणा पेश की<ref>{{cite journal |last1=Willems |first1=J.C. |title=Dissipative dynamical systems part 1: General theory |journal=Arch. Rational Mech. Anal. |date=1972 |volume=45 |issue=5 |page=321 |doi=10.1007/BF00276493 |bibcode=1972ArRMA..45..321W |hdl=10338.dmlcz/135639 |s2cid=123076101 |url=https://homes.esat.kuleuven.be/~sistawww/smc/jwillems/Articles/JournalArticles/1972.1.pdf }}</ref> इनपुट-आउटपुट गुणों द्वारा गतिशील प्रणालियों का वर्णन करना। इसकी स्थिति द्वारा वर्णित एक गतिशील प्रणाली पर विचार करना <math> x(t) </math>, इसका इनपुट <math>u(t)</math> और इसका आउटपुट <math>y(t)</math>, इनपुट-आउटपुट सहसंबंध को आपूर्ति दर दी गई है <math> w(u(t),y(t))</math>. एक प्रणाली को आपूर्ति दर के संबंध में विघटनकारी कहा जाता है यदि इसमें निरंतर भिन्न भंडारण फ़ंक्शन मौजूद हो <math> V(x(t))</math> ऐसा है कि <math>V(0)=0</math>, <math>V(x(t))\ge 0 </math> और
+[[जान कैमियल विलेम्स]] ने सबसे पहले सिस्टम सिद्धांत में विघटन की अवधारणा पेश की<ref>{{cite journal |last1=Willems |first1=J.C. |title=Dissipative dynamical systems part 1: General theory |journal=Arch. Rational Mech. Anal. |date=1972 |volume=45 |issue=5 |page=321 |doi=10.1007/BF00276493 |bibcode=1972ArRMA..45..321W |hdl=10338.dmlcz/135639 |s2cid=123076101 |url=https://homes.esat.kuleuven.be/~sistawww/smc/jwillems/Articles/JournalArticles/1972.1.pdf }}</ref> इनपुट-आउटपुट गुणों द्वारा गतिशील प्रणालियों का वर्णन करना। इसकी स्थिति द्वारा वर्णित गतिशील प्रणाली पर विचार करना <math> x(t) </math>, इसका इनपुट <math>u(t)</math> और इसका आउटपुट <math>y(t)</math>, इनपुट-आउटपुट सहसंबंध को आपूर्ति दर दी गई है <math> w(u(t),y(t))</math>. प्रणाली को आपूर्ति दर के संबंध में विघटनकारी कहा जाता है यदि इसमें निरंतर भिन्न भंडारण फ़ंक्शन मौजूद हो <math> V(x(t))</math> ऐसा है कि <math>V(0)=0</math>, <math>V(x(t))\ge 0 </math> और
 :<math> \dot{V}(x(t)) \le w(u(t),y(t))</math>.<ref>{{cite book |last1=Arcak |first1=Murat |last2=Meissen |first2=Chris |last3=Packard |first3=Andrew |title=विघटनकारी प्रणालियों के नेटवर्क|date=2016 |publisher=Springer International Publishing |isbn=978-3-319-29928-0 }}</ref>
-अपव्ययता के एक विशेष मामले के रूप में, एक प्रणाली को निष्क्रिय कहा जाता है यदि उपरोक्त अपव्ययता असमानता निष्क्रियता आपूर्ति दर के संबंध में होती है <math> w(u(t),y(t)) = u(t)^Ty(t) </math>.
+अपव्ययता के विशेष मामले के रूप में, प्रणाली को निष्क्रिय कहा जाता है यदि उपरोक्त अपव्ययता असमानता निष्क्रियता आपूर्ति दर के संबंध में होती है <math> w(u(t),y(t)) = u(t)^Ty(t) </math>.
 भौतिक व्याख्या वह है <math>V(x)</math> जबकि, सिस्टम में संग्रहीत ऊर्जा है <math>w(u(t),y(t))</math> वह ऊर्जा है जो सिस्टम को आपूर्ति की जाती है।
-इस धारणा का [[ल्यपुनोव स्थिरता]] के साथ एक मजबूत संबंध है, जहां भंडारण कार्य गतिशील प्रणाली की नियंत्रणीयता और अवलोकन की कुछ शर्तों के तहत, ल्यपुनोव कार्यों की भूमिका निभा सकते हैं।
+इस धारणा का [[ल्यपुनोव स्थिरता]] के साथ मजबूत संबंध है, जहां भंडारण कार्य गतिशील प्रणाली की नियंत्रणीयता और अवलोकन की कुछ शर्तों के तहत, ल्यपुनोव कार्यों की भूमिका निभा सकते हैं।
-मोटे तौर पर कहें तो, अपव्ययता सिद्धांत रैखिक और गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए प्रतिक्रिया नियंत्रण कानूनों के डिजाइन के लिए उपयोगी है। डिसिपेटिव सिस्टम सिद्धांत पर वासिले एम. पोपोव|वी.एम. द्वारा चर्चा की गई है। पोपोव, जान कैमियल विलेम्स|जे.सी. विलेम्स, डी.जे. हिल, और पी. मोयलान। रैखिक अपरिवर्तनीय प्रणालियों के मामले में{{clarify|reason=Is this the same as a "linear time-invariant system" as in the Wikipedia articles "LTI system theory"?|date=April 2015}}, इसे सकारात्मक वास्तविक स्थानांतरण फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है, और एक मौलिक उपकरण तथाकथित कल्मन-याकूबोविच-पोपोव लेम्मा है जो राज्य स्थान और सकारात्मक वास्तविक प्रणालियों की आवृत्ति डोमेन गुणों से संबंधित है{{clarify|reason=What is a positive real system?|date=April 2015}}.<ref>{{cite book|url=https://www.springer.com/978-1-84628-892-0|title=प्रक्रिया नियंत्रण - निष्क्रिय सिस्टम दृष्टिकोण| last1=Bao| first1=Jie| last2=Lee| first2=Peter L.| author-link2=Peter Lee (engineer)| publisher=[[Springer Business+Science Media|Springer-Verlag London]]|year=2007|doi=10.1007/978-1-84628-893-7|isbn=978-1-84628-892-0}}</ref> अपने महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों के कारण, डिसिपेटिव सिस्टम अभी भी सिस्टम और नियंत्रण में अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है।
+मोटे तौर पर कहें तो, अपव्ययता सिद्धांत रैखिक और गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए प्रतिक्रिया नियंत्रण कानूनों के डिजाइन के लिए उपयोगी है। डिसिपेटिव सिस्टम सिद्धांत पर वासिले एम. पोपोव|वी.एम. द्वारा चर्चा की गई है। पोपोव, जान कैमियल विलेम्स|जे.सी. विलेम्स, डी.जे. हिल, और पी. मोयलान। रैखिक अपरिवर्तनीय प्रणालियों के मामले में, इसे सकारात्मक वास्तविक स्थानांतरण फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है, और मौलिक उपकरण तथाकथित कल्मन-याकूबोविच-पोपोव लेम्मा है जो राज्य स्थान और सकारात्मक वास्तविक प्रणालियों की आवृत्ति डोमेन गुणों से संबंधित है.<ref>{{cite book|url=https://www.springer.com/978-1-84628-892-0|title=प्रक्रिया नियंत्रण - निष्क्रिय सिस्टम दृष्टिकोण| last1=Bao| first1=Jie| last2=Lee| first2=Peter L.| author-link2=Peter Lee (engineer)| publisher=[[Springer Business+Science Media|Springer-Verlag London]]|year=2007|doi=10.1007/978-1-84628-893-7|isbn=978-1-84628-892-0}}</ref> अपने महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों के कारण, डिसिपेटिव सिस्टम अभी भी सिस्टम और नियंत्रण में अनुसंधान का सक्रिय क्षेत्र है।
 == क्वांटम विघटनकारी प्रणालियाँ ==
 {{main|Quantum dissipation}}
-चूँकि [[क्वांटम यांत्रिकी]], और कोई भी शास्त्रीय गतिशील प्रणाली, [[हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] पर बहुत अधिक निर्भर करती है जिसके लिए समय की प्रतिवर्तीता होती है, ये सन्निकटन आंतरिक रूप से विघटनकारी प्रणालियों का वर्णन करने में सक्षम नहीं हैं। यह प्रस्तावित किया गया है कि सिद्धांत रूप में, कोई सिस्टम को कमजोर रूप से जोड़ सकता है - मान लीजिए, एक ऑसिलेटर - एक स्नान के लिए, यानी, एक ब्रॉड बैंड स्पेक्ट्रम के साथ थर्मल संतुलन में कई ऑसिलेटर्स की एक असेंबली, और स्नान पर ट्रेस (औसत)। इससे एक [[मास्टर समीकरण]] प्राप्त होता है जो लिंडब्लैड समीकरण नामक अधिक सामान्य सेटिंग का एक विशेष मामला है जो शास्त्रीय लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) के बराबर क्वांटम है। इस समीकरण का प्रसिद्ध रूप और इसका क्वांटम समकक्ष एक प्रतिवर्ती चर के रूप में समय लेता है जिस पर एकीकृत होना है, लेकिन विघटनकारी संरचनाओं की नींव समय के लिए एक [[एच-प्रमेय]] और रचनात्मक भूमिका लगाती है।
+चूँकि [[क्वांटम यांत्रिकी]], और कोई भी शास्त्रीय गतिशील प्रणाली, [[हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] पर बहुत अधिक निर्भर करती है जिसके लिए समय की प्रतिवर्तीता होती है, ये सन्निकटन आंतरिक रूप से विघटनकारी प्रणालियों का वर्णन करने में सक्षम नहीं हैं। यह प्रस्तावित किया गया है कि सिद्धांत रूप में, कोई सिस्टम को कमजोर रूप से जोड़ सकता है - मान लीजिए, ऑसिलेटर - स्नान के लिए, यानी, ब्रॉड बैंड स्पेक्ट्रम के साथ थर्मल संतुलन में कई ऑसिलेटर्स की असेंबली, और स्नान पर ट्रेस (औसत)। इससे [[मास्टर समीकरण]] प्राप्त होता है जो लिंडब्लैड समीकरण नामक अधिक सामान्य सेटिंग का विशेष मामला है जो शास्त्रीय लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) के बराबर क्वांटम है। इस समीकरण का प्रसिद्ध रूप और इसका क्वांटम समकक्ष प्रतिवर्ती चर के रूप में समय लेता है जिस पर एकीकृत होना है, लेकिन विघटनकारी संरचनाओं की नींव समय के लिए [[एच-प्रमेय]] और रचनात्मक भूमिका लगाती है।
 हाल के शोध में क्वांटम विस्तार देखा गया है<ref name="Valente">{{cite journal|last1=Valente|first1=Daniel|last2=Brito|first2=Frederico|last3=Werlang|first3=Thiago|title=क्वांटम अपव्यय अनुकूलन|journal=Communications Physics|date=19 January 2021|volume=4|issue=11|page=11 |doi=10.1038/s42005-020-00512-0 |arxiv=2111.08605 |bibcode=2021CmPhy...4...11V |doi-access=free}}</ref> [[जेरेमी इंग्लैंड]] के विघटनकारी अनुकूलन के सिद्धांत की<ref name="England"/>(जैसा कि ऊपर बताया गया है, जो प्रिगोगिन के विघटनकारी संरचनाओं के विचारों को दूर-से-संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी तक सामान्यीकृत करता है)।
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 ==विघटनकारी संरचना अवधारणा के विघटनकारी प्रणालियों पर अनुप्रयोग==
-ऊर्जा के निरंतर आदान-प्रदान में प्रणालियों के व्यवहार को समझने के लिए एक तंत्र के रूप में विघटनकारी संरचनाओं की रूपरेखा को विभिन्न विज्ञान क्षेत्रों और अनुप्रयोगों पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है, जैसे प्रकाशिकी में,<ref>{{cite journal |last1=Lugiato |first1=L. A. |last2=Prati |first2=F. |last3=Gorodetsky |first3=M. L. |last4=Kippenberg |first4=T. J. |title=From the Lugiato–Lefever equation to microresonator-based soliton Kerr frequency combs |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20180113 |doi=10.1098/rsta.2018.0113|pmid=30420551 |arxiv=1811.10685 |bibcode=2018RSPTA.37680113L |s2cid=53289963 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Andrade-Silva |first1=I. |last2=Bortolozzo |first2=U. |last3=Castillo-Pinto |first3=C. |last4=Clerc |first4=M. G. |last5=González-Cortés |first5=G. |last6=Residori |first6=S. |last7=Wilson |first7=M. |title=डाई-डॉप्ड नेमैटिक लिक्विड क्रिस्टल परत में फोटोआइसोमेराइजेशन द्वारा प्रेरित विघटनकारी संरचनाएं|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20170382 |doi=10.1098/rsta.2017.0382|pmid=30420545 |pmc=6232603 |bibcode=2018RSPTA.37670382A }}</ref> जनसंख्या की गतिशीलता और वृद्धि<ref>{{cite journal |last1=Zykov |first1=V. S. |title=उत्तेजक मीडिया में सर्पिल तरंग की शुरूआत|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20170379 |doi=10.1098/rsta.2017.0379|pmid=30420544 |pmc=6232601 |bibcode=2018RSPTA.37670379Z |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Tlidi |first1=M. |last2=Clerc |first2=M. G. |last3=Escaff |first3=D. |last4=Couteron |first4=P. |last5=Messaoudi |first5=M. |last6=Khaffou |first6=M. |last7=Makhoute |first7=A. |title=Observation and modelling of vegetation spirals and arcs in isotropic environmental conditions: dissipative structures in arid landscapes |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20180026 |doi=10.1098/rsta.2018.0026|pmid=30420548 |pmc=6232604 |bibcode=2018RSPTA.37680026T |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Gunji |first1=Yukio-Pegio |last2=Murakami |first2=Hisashi |last3=Tomaru |first3=Takenori |last4=Basios |first4=Vasileios |title=सैनिक केकड़ों के झुंड के व्यवहार में उलटा बायेसियन अनुमान|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20170370 |doi=10.1098/rsta.2017.0370|pmid=30420541 |pmc=6232598 |bibcode=2018RSPTA.37670370G }}</ref> और रसायन-यांत्रिक संरचनाएं।<ref>{{cite journal |last1=Bullara |first1=D. |last2=De Decker |first2=Y. |last3=Epstein |first3=I. R. |title=सोखने योग्य झरझरा मीडिया में सहज रसायन यांत्रिक दोलनों की संभावना पर|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20170374 |doi=10.1098/rsta.2017.0374|pmid=30420542 |pmc=6232597 |bibcode=2018RSPTA.37670374B }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Gandhi |first1=Punit |last2=Zelnik |first2=Yuval R. |last3=Knobloch |first3=Edgar |title=Spatially localized structures in the Gray–Scott model |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20170375 |doi=10.1098/rsta.2017.0375|pmid=30420543 |pmc=6232600 |bibcode=2018RSPTA.37670375G |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Kostet |first1=B. |last2=Tlidi |first2=M. |last3=Tabbert |first3=F. |last4=Frohoff-Hülsmann |first4=T. |last5=Gurevich |first5=S. V. |last6=Averlant |first6=E. |last7=Rojas |first7=R. |last8=Sonnino |first8=G. |last9=Panajotov |first9=K. |title=स्थिर स्थानीयकृत संरचनाएं और ब्रुसेलेटर मॉडल में विलंबित फीडबैक का प्रभाव|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20170385 |doi=10.1098/rsta.2017.0385|pmid=30420547 |arxiv=1810.05072 |bibcode=2018RSPTA.37670385K |s2cid=53289595 }}</ref>
+ऊर्जा के निरंतर आदान-प्रदान में प्रणालियों के व्यवहार को समझने के लिए तंत्र के रूप में विघटनकारी संरचनाओं की रूपरेखा को विभिन्न विज्ञान क्षेत्रों और अनुप्रयोगों पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है, जैसे प्रकाशिकी में,<ref>{{cite journal |last1=Lugiato |first1=L. A. |last2=Prati |first2=F. |last3=Gorodetsky |first3=M. L. |last4=Kippenberg |first4=T. J. |title=From the Lugiato–Lefever equation to microresonator-based soliton Kerr frequency combs |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20180113 |doi=10.1098/rsta.2018.0113|pmid=30420551 |arxiv=1811.10685 |bibcode=2018RSPTA.37680113L |s2cid=53289963 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Andrade-Silva |first1=I. |last2=Bortolozzo |first2=U. |last3=Castillo-Pinto |first3=C. |last4=Clerc |first4=M. G. |last5=González-Cortés |first5=G. |last6=Residori |first6=S. |last7=Wilson |first7=M. |title=डाई-डॉप्ड नेमैटिक लिक्विड क्रिस्टल परत में फोटोआइसोमेराइजेशन द्वारा प्रेरित विघटनकारी संरचनाएं|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20170382 |doi=10.1098/rsta.2017.0382|pmid=30420545 |pmc=6232603 |bibcode=2018RSPTA.37670382A }}</ref> जनसंख्या की गतिशीलता और वृद्धि<ref>{{cite journal |last1=Zykov |first1=V. S. |title=उत्तेजक मीडिया में सर्पिल तरंग की शुरूआत|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20170379 |doi=10.1098/rsta.2017.0379|pmid=30420544 |pmc=6232601 |bibcode=2018RSPTA.37670379Z |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Tlidi |first1=M. |last2=Clerc |first2=M. G. |last3=Escaff |first3=D. |last4=Couteron |first4=P. |last5=Messaoudi |first5=M. |last6=Khaffou |first6=M. |last7=Makhoute |first7=A. |title=Observation and modelling of vegetation spirals and arcs in isotropic environmental conditions: dissipative structures in arid landscapes |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20180026 |doi=10.1098/rsta.2018.0026|pmid=30420548 |pmc=6232604 |bibcode=2018RSPTA.37680026T |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Gunji |first1=Yukio-Pegio |last2=Murakami |first2=Hisashi |last3=Tomaru |first3=Takenori |last4=Basios |first4=Vasileios |title=सैनिक केकड़ों के झुंड के व्यवहार में उलटा बायेसियन अनुमान|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20170370 |doi=10.1098/rsta.2017.0370|pmid=30420541 |pmc=6232598 |bibcode=2018RSPTA.37670370G }}</ref> और रसायन-यांत्रिक संरचनाएं।<ref>{{cite journal |last1=Bullara |first1=D. |last2=De Decker |first2=Y. |last3=Epstein |first3=I. R. |title=सोखने योग्य झरझरा मीडिया में सहज रसायन यांत्रिक दोलनों की संभावना पर|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20170374 |doi=10.1098/rsta.2017.0374|pmid=30420542 |pmc=6232597 |bibcode=2018RSPTA.37670374B }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Gandhi |first1=Punit |last2=Zelnik |first2=Yuval R. |last3=Knobloch |first3=Edgar |title=Spatially localized structures in the Gray–Scott model |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20170375 |doi=10.1098/rsta.2017.0375|pmid=30420543 |pmc=6232600 |bibcode=2018RSPTA.37670375G |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Kostet |first1=B. |last2=Tlidi |first2=M. |last3=Tabbert |first3=F. |last4=Frohoff-Hülsmann |first4=T. |last5=Gurevich |first5=S. V. |last6=Averlant |first6=E. |last7=Rojas |first7=R. |last8=Sonnino |first8=G. |last9=Panajotov |first9=K. |title=स्थिर स्थानीयकृत संरचनाएं और ब्रुसेलेटर मॉडल में विलंबित फीडबैक का प्रभाव|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences |date=28 December 2018 |volume=376 |issue=2135 |pages=20170385 |doi=10.1098/rsta.2017.0385|pmid=30420547 |arxiv=1810.05072 |bibcode=2018RSPTA.37670385K |s2cid=53289595 }}</ref>