तीव्रतम अवतरण की विधि

गणित में, तीव्रतम अवतरण की विधि या काठी-बिंदु की विधि इंटीग्रल का अनुमान लगाने के लिए लाप्लास की विधि का विस्तार है, जहां स्थिर बिंदु (सैडल बिंदु) के समीप से निकलने के लिए कठोर विमान में समोच्च इंटीग्रल को तीव्रतम अवतरण या स्थिर चरण की दिशा में विकृत किया जाता है। सैडल-पॉइंट सन्पासन का उपयोग कठोर विमान में इंटीग्रल्स के साथ किया जाता है, जबकि लाप्लास की विधि का उपयोग वास्तविक इंटीग्रल्स के साथ किया जाता है।

अनुमान लगाया जाने वाला इंटीग्रल प्रायः रूप का होता है

$\int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,dz,$

जहां C समोच्च है, और λ बड़ा है। तीव्रतम अवतरण की विधि का संस्करण एकीकरण C के समोच्च को नवीन पथ एकीकरण C' में विकृत कर देता है जिससे निम्नलिखित स्थितियाँ बनी रहें:

1. C′ व्युत्पन्न g′(z) के या अधिक शून्य से होकर निकलता है,
2. g(z) का काल्पनिक भाग C′ पर स्थिर है।

तीव्रतम अवतरण की विधि सर्वप्रथम किसके द्वारा प्रकाशित की गई थी? डेबी (1909), जिन्होंने बेसेल फलन का अनुमान लगाने के लिए इसका उपयोग किया और बताया कि यह हाइपरज्यामितीय फलन के विषय में रीमैन (1863) अप्रकाशित नोट में हुआ था। तीव्रतम अवतरण के समोच्च में न्यूनतम गुण होता है, देखें फेडोर्युक (2001) देखें। सीगल (1932) रीमैन के कुछ अन्य अप्रकाशित नोट्स का वर्णन किया, जहां उन्होंने रीमैन-सीगल सूत्र प्राप्त करने के लिए इस विधि का उपयोग किया था।

मूल विचार

तीव्रतम अवतरण की विधि प्रपत्र के कठोर इंटीग्रल का अनुमान लगाने की विधि है

$$I(\lambda )=\int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,\mathrm {d} z$$

बड़े के लिए $\lambda \rightarrow \infty$, जहाँ $f(z)$ और $g(z)$, $z$ के विश्लेषणात्मक कार्य हैं। क्योंकि इंटीग्रैंड विश्लेषणात्मक है, रूपरेखा $C$ नये स्वरूप $C'$में इंटीग्रल को परिवर्तित किए बिना विकृत किया जा सकता है। विशेष रूप से, कोई नई रूपरेखा की शोध करता है जिस पर काल्पनिक भाग हो $g(z)={\text{Re}}[g(z)]+i\,{\text{Im}}[g(z)]$ स्थिर है। तब

$$I(\lambda )=e^{i\lambda {\text{Im}}\{g(z)\}}\int _{C'}f(z)e^{\lambda {\text{Re}}\{g(z)\}}\,\mathrm {d} z,$$

और शेष इंटीग्रल का अनुमान लाप्लास की विधि जैसी अन्य विधियों से लगाया जा सकता है।

व्युत्पत्ति

विश्लेषणात्मक $g(z)$ होने के कारण इस विधि को तीव्रतम अवतरण की विधि कहा जाता है, स्थिर चरण समोच्च तीव्रतम अवरोही समोच्चों के समतुल्य हैं।

यदि $g(z)=X(z)+iY(z)$ का विश्लेषणात्मक कार्य$z=x+iy$ है, यह कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता है

$${\frac {\partial X}{\partial x}}={\frac {\partial Y}{\partial y}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial X}{\partial y}}=-{\frac {\partial Y}{\partial x}}.$$

तब

$${\frac {\partial X}{\partial x}}{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial y}}{\frac {\partial Y}{\partial y}}=\nabla X\cdot \nabla Y=0,$$

इसलिए स्थिर चरण की आकृतियाँ भी तीव्रतम अवतरण की आकृतियाँ हैं।

साधारण अनुमान

मान लीजिए  f, S : Cⁿ → C और C ⊂ Cⁿ. यदि

$M=\sup _{x\in C}\Re (S(x))<\infty ,$

जहाँ $\Re (\cdot )$ वास्तविक भाग को दर्शाता है, और धनात्मक वास्तविक संख्या λ₀ सम्मिलित है ऐसा है कि

$\int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx<\infty ,$

तो निम्नलिखित अनुमान मान्य है:

$\left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|\leqslant {\text{const}}\cdot e^{\lambda M},\qquad \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\quad \lambda \geqslant \lambda _{0}.$

सरल अनुमान का प्रमाण:

${\begin{aligned}\left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|&\leqslant \int _{C}|f(x)|\left|e^{\lambda S(x)}\right|dx\\&\equiv \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|dx\\&\leqslant \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}\right|dx&&\left|e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|\leqslant 1\\&=\underbrace {e^{-\lambda _{0}M}\int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx} _{\text{const}}\cdot e^{\lambda M}.\end{aligned}}$

एकल गैर-क्षतिग्रस्त काठी बिंदु का विषय

मूल धारणाएँ और संकेतन

मान लीजिए x कठोर n-आयामी सदिश है, और

$S''_{xx}(x)\equiv \left({\frac {\partial ^{2}S(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i,\,j\leqslant n,$

किसी फलन S(x) के लिए हेस्सियन आव्यूह को निरूपित करें, यदि

${\boldsymbol {\varphi }}(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{k}(x))$

सदिश फलन है, तो इसके जैकोबियन आव्यूह और निर्धारक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है,

${\boldsymbol {\varphi }}_{x}'(x)\equiv \left({\frac {\partial \varphi _{i}(x)}{\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i\leqslant k,\quad 1\leqslant j\leqslant n.$

गैर पतित काठी बिंदु, z⁰ ∈ Cⁿ, होलोमोर्फिक फलन S(z) का महत्वपूर्ण बिंदु है (अर्थात, ∇S(z⁰) = 0) जहां फलन के हेसियन आव्यूह में गैर-लुप्त होने वाला निर्धारक (अर्थात, $\det S''_{zz}(z^{0})\neq 0$) है।

गैर-अपक्षयी सैडल बिंदु के विषय में इंटीग्रल के एसिम्प्टोटिक्स के निर्माण के लिए निम्नलिखित मुख्य उपकरण है:

कॉम्प्लेक्स मोर्स लेम्मा

वास्तविक-मूल्यवान फलन के लिए मोर्स लेम्मा होलोमोर्फिक फलन के लिए निम्नानुसार सामान्यीकृत करता है गैर-पतित काठी बिंदु के पास z⁰ होलोमोर्फिक फलन S(z) के गैर-पतित काठी बिंदु z⁰ के पास, ऐसे निर्देशांक होते हैं जिनके संदर्भ में S(z) − S(z⁰) सम्पूर्ण द्विघात है। इसे त्रुटिहीन बनाने के लिए S डोमेन W ⊂ Cⁿ के साथ होलोमोर्फिक फलन मान लीजिए, और W में z⁰ को S का गैर पतित काठी बिंदु मान लीजिए , अर्थात, ∇S(z⁰) = 0 और $\det S''_{zz}(z^{0})\neq 0$, फिर z⁰ के पड़ोस U ⊂ W और w = 0 के V ⊂ Cn और φ(0) के साथ विशेषण होलोमोर्फिक फ़ंक्शन सम्मिलित है, φ : V → U φ : V → U साथ φ(0) = z⁰ इस प्रकार है कि

$\forall w\in V:\qquad S({\boldsymbol {\varphi }}(w))=S(z^{0})+{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}w_{j}^{2},\quad \det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1,$

यहां ही μ_j आव्यूह $S_{zz}''(z^{0})$ के आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनसदिश्स हैं।

Proof of complex Morse lemma

The following proof is a straightforward generalization of the proof of the real Morse Lemma, which can be found in. We begin by demonstrating

Auxiliary statement. Let  f  : Cⁿ → C be holomorphic in a neighborhood of the origin and  f (0) = 0. Then in some neighborhood, there exist functions g_i : Cⁿ → C such that

$$f(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z),$$

where each g_i is holomorphic and

$$g_{i}(0)=\left.{\tfrac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.$$

From the identity

$f(z)=\int _{0}^{1}{\frac {d}{dt}}f\left(tz_{1},\cdots ,tz_{n}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}z_{i}\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt,$

we conclude that

$g_{i}(z)=\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt$

and

$g_{i}(0)=\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.$

Without loss of generality, we translate the origin to z⁰, such that z⁰ = 0 and S(0) = 0. Using the Auxiliary Statement, we have

$S(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z).$

Since the origin is a saddle point,

$\left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}=g_{i}(0)=0,$

we can also apply the Auxiliary Statement to the functions g_i(z) and obtain

$S(z)=\sum _{i,j=1}^{n}z_{i}z_{j}h_{ij}(z).$

(1)

Recall that an arbitrary matrix A can be represented as a sum of symmetric A^(s) and anti-symmetric A^(a) matrices,

$A_{ij}=A_{ij}^{(s)}+A_{ij}^{(a)},\qquad A_{ij}^{(s)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}+A_{ji}\right),\qquad A_{ij}^{(a)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}-A_{ji}\right).$

The contraction of any symmetric matrix B with an arbitrary matrix A is

$\sum _{i,j}B_{ij}A_{ij}=\sum _{i,j}B_{ij}A_{ij}^{(s)},$

(2)

i.e., the anti-symmetric component of A does not contribute because

$\sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=\sum _{i,j}B_{ji}C_{ji}=-\sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=0.$

Thus, h_ij(z) in equation (1) can be assumed to be symmetric with respect to the interchange of the indices i and j. Note that

$\left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right|_{z=0}=2h_{ij}(0);$

hence, det(h_ij(0)) ≠ 0 because the origin is a non-degenerate saddle point.

Let us show by induction that there are local coordinates u = (u₁, ... u_n), z = ψ(u), 0 = ψ(0), such that

$S({\boldsymbol {\psi }}(u))=\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}.$

(3)

First, assume that there exist local coordinates y = (y₁, ... y_n), z = φ(y), 0 = φ(0), such that

$S({\boldsymbol {\phi }}(y))=y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+\sum _{i,j=r}^{n}y_{i}y_{j}H_{ij}(y),$

(4)

where H_ij is symmetric due to equation (2). By a linear change of the variables (y_r, ... y_n), we can assure that H_rr(0) ≠ 0. From the chain rule, we have

${\frac {\partial ^{2}S({\boldsymbol {\phi }}(y))}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}=\sum _{l,k=1}^{n}\left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{k}\partial z_{l}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial \phi _{l}}{\partial y_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{k}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial ^{2}\phi _{k}}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}$

Therefore:

$S''_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))={\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)^{T}S''_{zz}(0){\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0),\qquad \det {\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)\neq 0;$

whence,

$0\neq \det S''_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))=2^{r-1}\det \left(2H_{ij}(0)\right).$

The matrix (H_ij(0)) can be recast in the Jordan normal form: (H_ij(0)) = LJL⁻¹, were L gives the desired non-singular linear transformation and the diagonal of J contains non-zero eigenvalues of (H_ij(0)). If H_ij(0) ≠ 0 then, due to continuity of H_ij(y), it must be also non-vanishing in some neighborhood of the origin. Having introduced ${\tilde {H}}_{ij}(y)=H_{ij}(y)/H_{rr}(y)$, we write

${\begin{aligned}S({\boldsymbol {\varphi }}(y))=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[y_{r}^{2}+2y_{r}\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)+\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\right]\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}-\left(\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}\right]+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\end{aligned}}$

Motivated by the last expression, we introduce new coordinates z = η(x), 0 = η(0),

$x_{r}={\sqrt {H_{rr}(y)}}\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right),\qquad x_{j}=y_{j},\quad \forall j\neq r.$

The change of the variables y ↔ x is locally invertible since the corresponding Jacobian is non-zero,

$\left.{\frac {\partial x_{r}}{\partial y_{k}}}\right|_{y=0}={\sqrt {H_{rr}(0)}}\left[\delta _{r,\,k}+\sum _{j=r+1}^{n}\delta _{j,\,k}{\tilde {H}}_{jr}(0)\right].$

Therefore,

$S({\boldsymbol {\eta }}(x))={x}_{1}^{2}+\cdots +{x}_{r}^{2}+\sum _{i,j=r+1}^{n}{x}_{i}{x}_{j}W_{ij}(x).$

(5)

Comparing equations (4) and (5), we conclude that equation (3) is verified. Denoting the eigenvalues of $S''_{zz}(0)$ by μ_j, equation (3) can be rewritten as

$S({\boldsymbol {\varphi }}(w))={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}w_{j}^{2}.$

(6)

Therefore,

$S''_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))={\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)^{T}S''_{zz}(0){\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0),$

(7)

From equation (6), it follows that $\det S''_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\mu _{1}\cdots \mu _{n}$. The Jordan normal form of $S''_{zz}(0)$ reads $S''_{zz}(0)=PJ_{z}P^{-1}$, where J_z is an upper diagonal matrix containing the eigenvalues and det P ≠ 0; hence, $\det S''_{zz}(0)=\mu _{1}\cdots \mu _{n}$. We obtain from equation (7)

$\det S''_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\left[\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)\right]^{2}\det S''_{zz}(0)\Longrightarrow \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=\pm 1.$

If $\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=-1$, then interchanging two variables assures that $\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=+1$.

एकल गैर-पतित काठी बिंदु के विषय में स्पर्शोन्मुख विस्तार

मान लीजिए

1.  f (z) और S(z) खुले, परिबद्ध ,और जुड़ा हुआ समुच्चय Ωx ⊂ Cn में होलोमोर्फिक फ़ंक्शन हैं जैसे कि Ix = Ωx ∩ Rn जुड़ा हुआ है;;
2. $\Re (S(z))$ के x⁰ ∈ I_x सम्पूर्ण बिंदु के लिए एकल अधिकतम $\max _{z\in I_{x}}\Re (S(z))=\Re (S(x^{0}))$है;
3. x⁰ गैर-पतित काठी बिंदु (अर्थात, ∇S(x⁰) = 0 और $\det S''_{xx}(x^{0})\neq 0$) है,

फिर, निम्नलिखित स्पर्शोन्मुख धारण करता है

$I(\lambda )\equiv \int _{I_{x}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}e^{\lambda S(x^{0})}\left(f(x^{0})+O\left(\lambda ^{-1}\right)\right)\prod _{j=1}^{n}(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}},\qquad \lambda \to \infty ,$

(8)

जहाँ μ_j हेस्सियन आव्यूह $S''_{xx}(x^{0})$ और $(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}$के आइगेनवैल्यू ​​हैं जो तर्कों से परिभाषित किये गये हैं,

$\left|\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right|<{\tfrac {\pi }{4}}.$

(9)

यह कथन फेडोर्युक (1987) में प्रस्तुत अधिक सामान्य परिणामों का विशेष विषय है।

Derivation of equation (8)

An illustration to the derivation of equation (8)

First, we deform the contour I_x into a new contour $I'_{x}\subset \Omega _{x}$ passing through the saddle point x⁰ and sharing the boundary with I_x. This deformation does not change the value of the integral I(λ). We employ the Complex Morse Lemma to change the variables of integration. According to the lemma, the function φ(w) maps a neighborhood x⁰ ∈ U ⊂ Ω_x onto a neighborhood Ω_w containing the origin. The integral I(λ) can be split into two: I(λ) = I₀(λ) + I₁(λ), where I₀(λ) is the integral over $U\cap I'_{x}$, while I₁(λ) is over $I'_{x}\setminus (U\cap I'_{x})$ (i.e., the remaining part of the contour I′_x). Since the latter region does not contain the saddle point x⁰, the value of I₁(λ) is exponentially smaller than I₀(λ) as λ → ∞; thus, I₁(λ) is ignored. Introducing the contour I_w such that $U\cap I'_{x}={\boldsymbol {\varphi }}(I_{w})$, we have

$I_{0}(\lambda )=e^{\lambda S(x^{0})}\int _{I_{w}}f[{\boldsymbol {\varphi }}(w)]\exp \left(\lambda \sum _{j=1}^{n}{\tfrac {\mu _{j}}{2}}w_{j}^{2}\right)\left|\det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(w)\right|dw.$

(10)

Recalling that x⁰ = φ(0) as well as $\det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1$, we expand the pre-exponential function $f[{\boldsymbol {\varphi }}(w)]$ into a Taylor series and keep just the leading zero-order term

$I_{0}(\lambda )\approx f(x^{0})e^{\lambda S(x^{0})}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\exp \left(\lambda \sum _{j=1}^{n}{\tfrac {\mu _{j}}{2}}w_{j}^{2}\right)dw=f(x^{0})e^{\lambda S(x^{0})}\prod _{j=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {1}{2}}\lambda \mu _{j}y^{2}}dy.$

(11)

Here, we have substituted the integration region I_w by Rⁿ because both contain the origin, which is a saddle point, hence they are equal up to an exponentially small term. The integrals in the r.h.s. of equation (11) can be expressed as

${\mathcal {I}}_{j}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {1}{2}}\lambda \mu _{j}y^{2}}dy=2\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}\lambda \left({\sqrt {-\mu _{j}}}y\right)^{2}}dy=2\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}\lambda \left|{\sqrt {-\mu _{j}}}\right|^{2}y^{2}\exp \left(2i\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right)}dy.$

(12)

From this representation, we conclude that condition (9) must be satisfied in order for the r.h.s. and l.h.s. of equation (12) to coincide. According to assumption 2, $\Re \left(S_{xx}''(x^{0})\right)$ is a negatively defined quadratic form (viz., $\Re (\mu _{j})<0$) implying the existence of the integral ${\mathcal {I}}_{j}$, which is readily calculated

${\mathcal {I}}_{j}={\frac {2}{{\sqrt {-\mu _{j}}}{\sqrt {\lambda }}}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}d\xi ={\sqrt {\frac {2\pi }{\lambda }}}(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}.$

समीकरण (8) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

$I(\lambda )=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}e^{\lambda S(x^{0})}\left(\det(-S_{xx}''(x^{0}))\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(f(x^{0})+O\left(\lambda ^{-1}\right)\right),$

(13)

की शाखा कहां है

${\sqrt {\det \left(-S_{xx}''(x^{0})\right)}}$

निम्नानुसार चयन किया गया है

${\begin{aligned}\left(\det \left(-S_{xx}''(x^{0})\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=\exp \left(-i{\text{ Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)\right)\prod _{j=1}^{n}\left|\mu _{j}\right|^{-{\frac {1}{2}}},\\{\text{Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)&={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\arg(-\mu _{j}),&&|\arg(-\mu _{j})|<{\tfrac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

महत्वपूर्ण विषयों पर विचार करें:

• यदि S(x), Rⁿ (अर्थात, बहुआयामी लाप्लास विधि) में वास्तविक x और x⁰ के लिए वास्तविक मूल्यवान है, फिर
  $${\text{Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)=0.$$
• यदि S(x) x के लिए वास्तव में पूर्णतया काल्पनिक है (अर्थात, $\Re (S(x))=0$ सभी के लिए x में Rⁿ) और x⁰ में Rⁿ (अर्थात, बहुआयामी स्थिर चरण विधि), तब
  $${\text{Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)={\frac {\pi }{4}}{\text{sign }}S_{xx}''(x_{0}),$$
  जहाँ ${\text{sign }}S_{xx}''(x_{0})$ सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम को दर्शाता है प्रमेय का कथन $S_{xx}''(x_{0})$, जो ऋणात्मक आइगेनवैल्यू ​​​​की संख्या घटाकर धनात्मक आइगेनवैल्यू की संख्या के समान है। यह उल्लेखनीय है कि क्वांटम यांत्रिकी (साथ ही प्रकाशिकी में) में बहुआयामी WKB सन्पासन के लिए स्थिर चरण विधि के अनुप्रयोगों में, Ind मास्लोव सूचकांक से संबंधित है, उदाहरण के लिए, चाइचियन & डेमीचेव (2001) और शुलमैन (2005) है।

एकाधिक गैर-क्षतिग्रस्त काठी बिंदुओं का विषय

यदि फलन S(x) में कई भिन्न-भिन्न गैर-पतित काठी बिंदु हैं, अर्थात,

$\nabla S\left(x^{(k)}\right)=0,\quad \det S''_{xx}\left(x^{(k)}\right)\neq 0,\quad x^{(k)}\in \Omega _{x}^{(k)},$

जहाँ

$\left\{\Omega _{x}^{(k)}\right\}_{k=1}^{K}$

Ω_x का खुला आवरण है, तो एकता के विभाजन को नियोजित करके इंटीग्रल एसिम्प्टोटिक की गणना को एकल सैडल बिंदु के विषय में कम कर दिया जाता है। एकता का विभाजन हमें निरंतर फलन ρ_k(x) : Ω_x → [0, 1], 1 ≤ k ≤ K, का समुच्चय बनाने की अनुमति देता है जो इस प्रकार है,

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{K}\rho _{k}(x)&=1,&&\forall x\in \Omega _{x},\\\rho _{k}(x)&=0&&\forall x\in \Omega _{x}\setminus \Omega _{x}^{(k)}.\end{aligned}}$

जहाँ से,

$\int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\equiv \sum _{k=1}^{K}\int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}\rho _{k}(x)f(x)e^{\lambda S(x)}dx.$

इसलिए जैसे λ → ∞ हमारे पास है:

$\sum _{k=1}^{K}\int _{{\text{a neighborhood of }}x^{(k)}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}\sum _{k=1}^{K}e^{\lambda S\left(x^{(k)}\right)}\left(\det \left(-S_{xx}''\left(x^{(k)}\right)\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}f\left(x^{(k)}\right),$

जहां अंतिम चरण में समीकरण (13) और पूर्व-घातीय फलन का उपयोग किया गया था  f (x) कम से कम निरंतर होना चाहिए।

अन्य विषय

जब ∇S(z⁰) = 0 और $\det S''_{zz}(z^{0})=0$, बिंदु z⁰ ∈ Cⁿ को किसी फलन S(z) का डीजेनरेट सैडल पॉइंट कहा जाता है।

स्पर्शोन्मुख की गणना

$\int f(x)e^{\lambda S(x)}dx,$

जब λ → ∞,  f (x) सतत है, और S(z) में पतित काठी बिंदु है, यह बहुत ही समृद्ध समस्या है, जिसका समाधान अधिकतम सीमा तक आपदा सिद्धांत पर निर्भर करता है। यहां, आपदा सिद्धांत मोर्स लेम्मा की विधि को, S(z) विहित अभ्यावेदन की भीड़ में से में एक में परिवर्तित करने के लिए प्रतिस्थापित करता है जो केवल गैर-पतित विषय में मान्य है। अधिक जानकारी के लिए देखें, उदाहरण, पोस्टन & स्टीवर्ट (1978) और फेडोर्युक (1987)।

विकृत काठी बिंदुओं वाले इंटीग्रल स्वाभाविक रूप से कास्टिक (प्रकाशिकी) और क्वांटम यांत्रिकी में बहुआयामी डब्ल्यूकेबी सन्पासन सहित कई अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं।

अन्य विषय जैसे  f (x) और S(x) असंतत हैं या जब S(x) का चरम एकीकरण क्षेत्र की सीमा पर स्थित है,तो विशेष देखभाल की आवश्यकता है (देखें, उदाहरण के लिए, फेडोर्युक (1987) और वोंग (1989))।

विस्तार और सामान्यीकरण

सबसे तीव्र अवतरण विधि का विस्तार तथाकथित अरेखीय स्थिर चरण/सबसे तीव्र अवतरण विधि है। यहां, इंटीग्रल के अतिरिक्त, किसी को रीमैन-हिल्बर्ट फ़ैक्टराइज़ेशन समस्याओं के स्पर्शोन्मुख समाधानों का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है।

कठोर क्षेत्र में समोच्च C को देखते हुए, उस समोच्च पर परिभाषित फलन f और विशेष बिंदु, मान लीजिए अनंत, समोच्च C से दूर फलन f C में निर्धारित छलांग के साथ, और अनंत पर दिए गए सामान्यीकरण के साथ होलोमोर्फिक की शोध करता है। यदि f और इसलिए M अदिश के अतिरिक्त आव्यूह हैं तो यह ऐसी समस्या है जो सामान्य रूप से स्पष्ट समाधान स्वीकार नहीं करती है।

तब रैखिक स्थिर चरण/तीव्रतम अवतरण विधि की के विषय पर स्पर्शोन्मुख मूल्यांकन संभव है। विचार यह है कि दी गई रीमैन-हिल्बर्ट समस्या के समाधान को असम्बद्ध रूप से कम करके सरल, स्पष्ट रूप से हल करने योग्य, रीमैन-हिल्बर्ट समस्या बना दिया जाए। कॉची के प्रमेय का उपयोग जम्प समोच्च की विकृतियों को उचित बताने के लिए किया जाता है।

रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर इट्स के पूर्व कार्य के आधार पर, 1993 में डेफ्ट और झोउ द्वारा नॉनलाइनियर स्थिर चरण का प्रारम्भ किया गया था। लैक्स, लीवरमोर, डेफ्ट, वेनाकिड्स और झोउ के पूर्व कार्य के आधार पर, 2003 में कार्यविसिस, के. मैकलॉघलिन और पी. मिलर द्वारा नॉनलाइनियर स्टीपेस्ट डीसेंट विधि प्रस्तुत की गई थी। जैसा कि रैखिक विषय में होता है, सबसे तीव्र अवरोही आकृतियाँ न्यूनतम-अधिकतम समस्या का समाधान करती हैं। अरैखिक विषय में वे S-वक्र बन जाते हैं (80 के दशक में स्टाल, गोन्चर और राखमनोव द्वारा भिन्न संदर्भ में परिभाषित)।

नॉनलाइनियर स्थिर चरण/तीव्रतम अवतरण विधि में सॉलिटन समीकरणों और एकीकृत प्रारूप, यादृच्छिक आव्यूह और साहचर्य के सिद्धांत के अनुप्रयोग हैं।

अन्य विस्तार काठी बिंदुओं और एकसमान स्पर्शोन्मुख विस्तारों को संयोजित करने के लिए चेस्टर-फ़्रीडमैन-उर्सेल की विधि है।

यह भी देखें

• पियर्सी इंटीग्रल
• स्थिर चरण सन्पासन
• लाप्लास की विधि

संदर्भ

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