अंतर समीकरणों की प्रणाली

गणित में अवकल समीकरणों का निकाय अवकल समीकरणों का परिमित समुच्चय होता है। ऐसी प्रणाली या तो रैखिक अवकल समीकरण या अरैखिक अवकल समीकरण|अरैखिक हो सकती है। साथ ही, ऐसी प्रणाली या तो साधारण अंतर समीकरणों की प्रणाली या आंशिक अंतर समीकरणों की प्रणाली हो सकती है।

अंतर समीकरणों की रैखिक प्रणाली

Main article: Linear differential equation

समीकरणों की किसी भी प्रणाली की तरह, रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली को अधिनिर्धारित प्रणाली कहा जाता है यदि अज्ञात से अधिक समीकरण हैं।

एक अतिनिर्धारित प्रणाली के समाधान के लिए, उसे अनुकूलता शर्तों को पूरा करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, सिस्टम पर विचार करें:

${\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=f_{i},1\leq i\leq m.$

फिर सिस्टम के समाधान के लिए आवश्यक शर्तें हैं:

${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}=0,1\leq i,k\leq m.$

इन्हें भी देखें: कॉची समस्या और एरेनपेरिस फंडामेंटल प्रिंसिपल।

अंतर समीकरणों की गैर-रैखिक प्रणाली

Main article: Nonlinear differential equation

अवकल समीकरणों की अरैखिक प्रणाली का शायद सबसे प्रसिद्ध उदाहरण नेवियर-स्टोक्स समीकरण है। रैखिक मामले के विपरीत, एक गैर-रैखिक प्रणाली के समाधान का अस्तित्व एक कठिन समस्या है (cf. नेवियर-स्टोक्स अस्तित्व और चिकनाई।)

यह भी देखें: एच-सिद्धांत।

विभेदक प्रणाली

डिफरेंशियल सिस्टम ज्यामितीय विचारों जैसे डिफरेंशियल फॉर्म और वेक्टर फील्ड्स का उपयोग करके आंशिक डिफरेंशियल इक्वेशन की एक प्रणाली का अध्ययन करने का एक साधन है।

उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों की एक अतिनिर्धारित प्रणाली की अनुकूलता शर्तों को अंतर रूपों के संदर्भ में संक्षिप्त रूप से कहा जा सकता है (यानी, सटीक होने के लिए एक फॉर्म को बंद करने की आवश्यकता है)। अधिक जानकारी के लिए डिफरेंशियल सिस्टम्स के लिए इंटीग्रेबिलिटी कंडीशंस देखें।

इन्हें भी देखें: :श्रेणी:डिफरेंशियल सिस्टम्स।

यह भी देखें

• अभिन्न ज्यामिति
• कार्टन-कुरान दीर्घीकरण प्रमेय

संदर्भ

• L. Ehrenpreis, The Universality of the Radon Transform, Oxford Univ. Press, 2003.
• Gromov, M. (1986), Partial differential relations, Springer, ISBN 3-540-12177-3
• M. Kuranishi, "Lectures on involutive systems of partial differential equations" , Publ. Soc. Mat. São Paulo (1967)
• Pierre Schapira, Microdifferential systems in the complex domain, Grundlehren der Math- ematischen Wissenschaften, vol. 269, Springer-Verlag, 1985.

अग्रिम पठन

• https://mathoverflow.net/questions/273235/a-very-basic-question-about-projections-in-formal-pde-theory
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Involutional_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Complete_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Partial_differential_equations_on_a_manifold