अतार्किक घुमाव

थीटा=0.2882748715208621 और x=0.078943143 के साथ अपरिमेय घूर्णन द्वारा उत्पन्न स्टर्मियन अनुक्रम

गतिशील प्रणालियों के गणितीय सिद्धांत में, एक अपरिमेय घूर्णन एक फलन है (गणित)

$T_{\theta }:[0,1]\rightarrow [0,1],\quad T_{\theta }(x)\triangleq x+\theta \mod 1,$

कहाँ θ एक अपरिमेय संख्या है. एक वृत्त की पहचान के तहत R/Z, या अंतराल के साथ [0, 1] सीमा बिंदुओं को एक साथ चिपकाने से, यह मानचित्र एक अनुपात द्वारा एक वृत्त का घूर्णन बन जाता है θ पूर्ण क्रांति का (अर्थात, का एक कोण 2πθ रेडियंस). तब से θ तर्कहीन है, वृत्त समूह और मानचित्र में घूर्णन का अनंत क्रम (समूह सिद्धांत) है T_θ की कोई आवधिक कक्षा नहीं है।

वैकल्पिक रूप से, हम मानचित्र को प्रस्तुत करके एक अपरिमेय घुमाव के लिए गुणक संकेतन का उपयोग कर सकते हैं

$T_{\theta }:S^{1}\to S^{1},\quad \quad \quad T_{\theta }(x)=xe^{2\pi i\theta }$

योगात्मक और गुणक संकेतन के बीच का संबंध समूह समरूपता है

$\varphi :([0,1],+)\to (S^{1},\cdot )\quad \varphi (x)=xe^{2\pi i\theta }$.

ऐसा दिखाया जा सकता है φ एक आइसोमेट्री है।

वृत्त घुमावों में एक मजबूत अंतर है जो कि इस पर निर्भर करता है θ तर्कसंगत या तर्कहीन है. तर्कसंगत घुमाव गतिशील प्रणालियों के कम दिलचस्प उदाहरण हैं क्योंकि यदि $\theta ={\frac {a}{b}}$ और $\gcd(a,b)=1$, तब $T_{\theta }^{b}(x)=x$ कब $x\in [0,1]$. वो भी दिखाया जा सकता है

$T_{\theta }^{i}(x)\neq x$ कब $1\leq i<b$.

महत्व

तर्कहीन घुमाव गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत में एक मौलिक उदाहरण बनाते हैं। रोटेशन संख्या पर डेनजॉय के प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक अभिविन्यास-संरक्षण C²-एक अपरिमेय घूर्णन संख्या के साथ वृत्त की भिन्नता θ स्थलाकृतिक रूप से संयुग्मित है T_θ. एक अपरिमेय घुमाव एक माप-संरक्षण परिवर्तन है | माप-संरक्षण एर्गोडिक परिवर्तन है, लेकिन यह मिश्रण (भौतिकी) नहीं है। कोण के साथ एक टोरस्र्स पर फोलिएशन#लीनियर_और_क्रोनेकर_फोलिएशन से जुड़े गतिशील सिस्टम के लिए पोंकारे मानचित्र θ> द्वारा अपरिमेय घूर्णन है θ. अपरिमेय घूर्णन से जुड़े सी*-बीजगणित, जिसे गैर-अनुवांशिक टोरस के रूप में जाना जाता है, का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है।

गुण

• अगर θ अपरिमेय है, तो किसी तत्व की कक्षा [0, 1] रोटेशन के तहत T_θ सघन सेट है [0, 1]. इसलिए, अपरिमेय घुमाव स्थलाकृतिक रूप से परिवर्तनशील होते हैं।
• तर्कहीन (और तर्कसंगत) घुमाव स्थलीय रूप से मिश्रण नहीं कर रहे हैं।
• अपरिमेय घुमाव विशिष्ट रूप से ergodicity हैं, लेबेस्ग माप अद्वितीय अपरिवर्तनीय संभाव्यता माप के रूप में कार्य करता है।
• कल्पना करना [a, b] ⊂ [0, 1]. तब से T_θ एर्गोडिक है,
  ${\text{lim}}_{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}\chi _{[a,b)}(T_{\theta }^{n}(t))=b-a$.

सामान्यीकरण

• वृत्त घुमाव अनुवाद (समूह सिद्धांत) के उदाहरण हैं।
• समरूपता को संरक्षित करने वाले एक सामान्य अभिविन्यास के लिए f का S¹ अपने आप में हम होमोमोर्फिज्म कहते हैं $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ की एक लिफ्ट f अगर $\pi \circ F=f\circ \pi$ कहाँ $\pi (t)=t{\bmod {1}}$.* वृत्त घूर्णन को एक वृत्त को दो भागों में विभाजित करने के रूप में सोचा जा सकता है, जो बाद में एक दूसरे के साथ आदान-प्रदान होते हैं। दो से अधिक भागों में एक उपविभाजन, जिसे फिर एक-दूसरे के साथ क्रमबद्ध किया जाता है, को अंतराल विनिमय परिवर्तन कहा जाता है।
• संहत समूहों के कठोर घूर्णन प्रभावी ढंग से वृत्त घूर्णन की तरह व्यवहार करते हैं; अपरिवर्तनीय माप हार माप है।

अनुप्रयोग

• वृत्त के घूर्णन पर तिरछा उत्पाद: 1969 मेंविलियम ए. वीच ने न्यूनतम (गणित) और विशिष्ट रूप से एर्गोडिक डायनेमिक सिस्टम के उदाहरण इस प्रकार बनाए: यूनिट सर्कल की दो प्रतियां लें और खंड को चिह्नित करें J लंबाई का 2πα प्रत्येक पर वामावर्त दिशा में 0 पर समापन बिंदु के साथ। अब लीजिए θ तर्कहीन और निम्नलिखित गतिशील प्रणाली पर विचार करें। एक बिंदु से शुरू करें p, पहले सर्कल में कहें। द्वारा वामावर्त घुमाएँ 2πθ पहली बार कक्षा में उतरने तक J; फिर दूसरे सर्कल में संबंधित बिंदु पर जाएं, घुमाएं 2πθ पहली बार बिंदु उतरने तक J; पहले चक्र पर वापस जाएँ इत्यादि। वीच ने दिखाया कि अगर θ अपरिमेय है, तो अपरिमेय का अस्तित्व है α जिसके लिए यह प्रणाली न्यूनतम है और लेब्सेग माप विशिष्ट रूप से एर्गोडिक नहीं है।

यह भी देखें

• बर्नौली मानचित्र
• मॉड्यूलर अंकगणित
• सीगल डिस्क
• टोप्लिट्ज़ बीजगणित
• चरण लॉकिंग (सर्कल मैप)

अग्रिम पठन

• C. E. Silva, Invitation to ergodic theory, Student Mathematical Library, vol 42, American Mathematical Society, 2008 ISBN 978-0-8218-4420-5