अनिश्चितता का प्रसार

For the propagation of uncertainty through time, see Chaos theory § Sensitivity to initial conditions.

सांख्यिकी में, अनिश्चितता का प्रसार (या त्रुटि का प्रसार) उनके आधार पर एक फ़ंक्शन (गणित) की अनिश्चितता पर चर (गणित) की अनिश्चितता (या त्रुटियों और आंकड़ों में अवशिष्ट, अधिक विशेष रूप से यादृच्छिक त्रुटियां) का प्रभाव है। जब चर प्रयोगात्मक माप के मान होते हैं तो उनमें अवलोकन त्रुटि होती है (उदाहरण के लिए, उपकरण सटीकता और परिशुद्धता) जो फ़ंक्शन में चर के संयोजन के कारण प्रचारित होती है।

अनिश्चितता 'यू' को कई तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है। इसे पूर्ण त्रुटि द्वारा परिभाषित किया जा सकता है Δx. अनिश्चितताओं को सापेक्ष त्रुटि से भी परिभाषित किया जा सकता है (Δx)/x, जिसे आमतौर पर प्रतिशत के रूप में लिखा जाता है। आमतौर पर, मात्रा पर अनिश्चितता मानक विचलन के संदर्भ में निर्धारित की जाती है, σ, जो विचरण का धनात्मक वर्गमूल है। किसी मात्रा का मान और उसकी त्रुटि तब एक अंतराल के रूप में व्यक्त की जाती है x ± u. हालांकि, अनिश्चितता को चिह्नित करने का सबसे सामान्य तरीका इसकी संभाव्यता वितरण को निर्दिष्ट करना है। यदि चर का संभाव्यता वितरण ज्ञात है या माना जा सकता है, तो सैद्धांतिक रूप से इसका कोई भी आंकड़ा प्राप्त करना संभव है। विशेष रूप से, उस क्षेत्र का वर्णन करने के लिए विश्वास सीमा प्राप्त करना संभव है जिसके भीतर चर का सही मान पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य वितरण से संबंधित एक-आयामी चर के लिए 68% विश्वास सीमा लगभग ± एक मानक विचलन है σ केंद्रीय मूल्य से x, जिसका अर्थ है कि क्षेत्र x ± σ लगभग 68% मामलों में सही मान को कवर करेगा।

यदि अनिश्चितताओं को सहसंबद्ध किया जाता है तो सहप्रसरण को ध्यान में रखा जाना चाहिए। सहसंबंध दो अलग-अलग स्रोतों से उत्पन्न हो सकता है। सबसे पहले, माप त्रुटियों को सहसंबद्ध किया जा सकता है। दूसरा, जब अंतर्निहित मूल्यों को आबादी में सहसंबंधित किया जाता है, तो समूह औसत में अनिश्चितताओं को सहसंबद्ध किया जाएगा। एक सामान्य संदर्भ में जहां एक गैर-रैखिक कार्य अनिश्चित मापदंडों (सहसंबद्ध या नहीं) को संशोधित करता है, अनिश्चितता फैलाने के लिए मानक उपकरण, और अनुमानित मात्रा संभाव्यता वितरण/आंकड़े, मोंटे कार्लो विधि परिवार से नमूना तकनीक हैं। बहुत महंगे डेटा या जटिल कार्यों के लिए, त्रुटि प्रसार की गणना बहुत महंगी हो सकती है ताकि एक सरोगेट मॉडल या समानांतर कंप्यूटिंग रणनीति आवश्यक हो सकता है।

कुछ विशेष मामलों में, अनिश्चितता प्रसार गणना सरलीकृत बीजगणितीय प्रक्रियाओं के माध्यम से की जा सकती है। इनमें से कुछ परिदृश्यों का वर्णन नीचे किया गया है।

रैखिक संयोजन

होने देना $\{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}$ एम कार्यों का एक सेट बनें, जो कि रैखिक संयोजन हैं $n$ चर $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ संयोजन गुणांक के साथ $A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)$:

$f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},$

या मैट्रिक्स नोटेशन में,

$\mathbf {f} =\mathbf {Ax} .$

साथ ही x = (x) का प्रसरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स दें₁, ..., एक्स_n) द्वारा दर्शाया जाएगा ${\boldsymbol {\Sigma }}^{x}$ और माध्य मान को इससे निरूपित करें $\mathbf {\mu }$:

${\boldsymbol {\Sigma }}^{x}=E[\mathbf {(x-\mu )} \otimes \mathbf {(x-\mu )} ]={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{21}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{31}^{x}&{\Sigma }_{32}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.$

$\otimes$ बाहरी उत्पाद है।

फिर, विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स ${\boldsymbol {\Sigma }}^{f}$ एफ द्वारा दिया गया है

${\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=E[(\mathbf {f} -E[\mathbf {f} ])\otimes (\mathbf {f} -E[\mathbf {f} ])]=E[\mathbf {A(x-\mu )} \otimes \mathbf {A(x-\mu )} ]=\mathbf {A} E[\mathbf {(x-\mu )} \otimes \mathbf {(x-\mu )} ]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$

घटक संकेतन में, समीकरण

${\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.$

पढ़ता

$\Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl}.$

चर के एक सेट से दूसरे में त्रुटि के प्रसार के लिए यह सबसे सामान्य अभिव्यक्ति है। जब x पर त्रुटियाँ असहसंबद्ध होती हैं, तो सामान्य व्यंजक सरल हो जाता है

$\Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},$

कहाँ $\Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}$ एक्स वेक्टर के के-वें तत्व का भिन्नता है। ध्यान दें कि भले ही x पर त्रुटियां असंबद्ध हो सकती हैं, f पर त्रुटियां सामान्य रूप से सहसंबद्ध हैं; दूसरे शब्दों में, भले ही ${\boldsymbol {\Sigma }}^{x}$ एक विकर्ण मैट्रिक्स है, ${\boldsymbol {\Sigma }}^{f}$ सामान्य तौर पर एक पूर्ण मैट्रिक्स है।

स्केलर-वैल्यू फ़ंक्शन f के लिए सामान्य अभिव्यक्तियाँ थोड़ी सरल हैं (यहाँ 'a' एक पंक्ति वेक्टर है):

$f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,$

$\sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.$

प्रत्येक सहप्रसरण अवधि $\sigma _{ij}$ पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $\rho _{ij}$ द्वारा $\sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}$, ताकि f के विचरण के लिए एक वैकल्पिक व्यंजक है

$\sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.$

इस मामले में कि x में चर असंबद्ध हैं, यह और सरल करता है

$\sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.$

समरूप गुणांकों और प्रसरणों के साधारण मामले में, हम पाते हैं

$\sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .$

अंकगणितीय माध्य के लिए, $a=1/n$, परिणाम माध्य की मानक त्रुटि है:

$\sigma _{f}=\sigma /{\sqrt {n}}.$

गैर रेखीय संयोजन

See also: Taylor expansions for the moments of functions of random variables

जब f चर x के गैर-रैखिक संयोजन का एक सेट होता है, तो अंतराल की गणना करने के लिए एक अंतराल प्रसार किया जा सकता है जिसमें चर के लिए सभी सुसंगत मान होते हैं। एक संभाव्य दृष्टिकोण में, फलन f को आमतौर पर प्रथम-क्रम टेलर श्रृंखला विस्तार के सन्निकटन द्वारा रैखिक किया जाना चाहिए, हालांकि कुछ मामलों में, सटीक सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं जो विस्तार पर निर्भर नहीं करते हैं जैसा कि उत्पादों के सटीक विचरण के मामले में होता है। . टेलर विस्तार होगा:

$f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}$

कहाँ $\partial f_{k}/\partial x_{i}$ च के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है_ki-वें चर के संबंध में, सदिश x के सभी घटकों के माध्य मान पर मूल्यांकन किया गया। या मैट्रिक्स अंकन में,

$\mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,$

जहां जे जैकबियन मैट्रिक्स है। चूंकि एफ⁰ एक स्थिरांक है जो f पर त्रुटि में योगदान नहीं देता है। इसलिए, त्रुटि का प्रसार उपरोक्त रैखिक मामले का अनुसरण करता है, लेकिन रैखिक गुणांकों की जगह, ए_kiऔर ए_kjआंशिक डेरिवेटिव द्वारा, ${\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}$ और ${\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}$. मैट्रिक्स संकेतन में,

$\mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.$

यही है, फ़ंक्शन के जैकोबियन का उपयोग तर्क के भिन्नता-सहप्रसरण मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों को बदलने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि यह रैखिक मामले के लिए मैट्रिक्स अभिव्यक्ति के बराबर है $\mathrm {J=A}$.

सरलीकरण

सह-संबंधों की उपेक्षा या स्वतंत्र चर मानने से त्रुटि प्रसार की गणना करने के लिए इंजीनियरों और प्रायोगिक वैज्ञानिकों के बीच एक सामान्य सूत्र उत्पन्न होता है, विचरण सूत्र:

$s_{f}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}s_{x}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}s_{z}^{2}+\cdots }}$

कहाँ $s_{f}$ समारोह के मानक विचलन का प्रतिनिधित्व करता है $f$, $s_{x}$ के मानक विचलन का प्रतिनिधित्व करता है $x$, $s_{y}$ के मानक विचलन का प्रतिनिधित्व करता है $y$, इत्यादि।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह सूत्र ग्रेडिएंट की रैखिक विशेषताओं पर आधारित है $f$ और इसलिए यह के मानक विचलन के लिए एक अच्छा अनुमान है $f$ जब तक कि $s_{x},s_{y},s_{z},\ldots$ काफी छोटे हैं। विशेष रूप से, का रैखिक सन्निकटन $f$ के करीब होना है $f$ त्रिज्या के एक पड़ोस के अंदर $s_{x},s_{y},s_{z},\ldots$.

उदाहरण

कोई भी गैर-रैखिक अवकलनीय फलन, $f(a,b)$, दो चरों का, $a$ और $b$, के रूप में विस्तारित किया जा सकता है

$f\approx f^{0}+{\frac {\partial f}{\partial a}}a+{\frac {\partial f}{\partial b}}b$

अब, दोनों पक्षों में विचरण लेते हुए, और सूत्र का उपयोग करते हुए चर के एक रैखिक संयोजन के विचरण के लिए:

$Var(aX+bY)=a^{2}Var(X)+b^{2}Var(Y)+2ab*Cov(X,Y)$ इस तरह:

$\sigma _{f}^{2}\approx \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}\right|^{2}\sigma _{a}^{2}+\left|{\frac {\partial f}{\partial b}}\right|^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}}{\frac {\partial f}{\partial b}}\sigma _{ab}$

कहाँ $\sigma _{f}$ फ़ंक्शन का मानक विचलन है $f$, $\sigma _{a}$ का मानक विचलन है $a$, $\sigma _{b}$ का मानक विचलन है $b$ और $\sigma _{ab}=\sigma _{a}\sigma _{b}\rho _{ab}$ के बीच सहप्रसरण है $a$ और $b$.

विशेष मामले में कि $f=ab$, ${\frac {\partial f}{\partial a}}=b,{\frac {\partial f}{\partial b}}=a$. तब

$\sigma _{f}^{2}\approx b^{2}\sigma _{a}^{2}+a^{2}\sigma _{b}^{2}+2ab\,\sigma _{ab}$

या

$\left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)\rho _{ab}$

कहाँ $\rho _{ab}$ के बीच संबंध है $a$ और $b$.

जब चर $a$ और $b$ असंबंधित हैं, $\rho _{ab}=0$. तब

$\left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}.$

चेतावनी और चेतावनी

गैर-रैखिक कार्यों के लिए त्रुटि अनुमान एक संक्षिप्त श्रृंखला विस्तार का उपयोग करने के कारण अनुमानक के पूर्वाग्रह हैं। इस पूर्वाग्रह की सीमा कार्य की प्रकृति पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, लॉग (1+x) के लिए गणना की गई त्रुटि पर पूर्वाग्रह एक्स बढ़ने के साथ बढ़ता है, क्योंकि एक्स के विस्तार के बाद ही एक्स शून्य के करीब होने पर एक अच्छा अनुमान है।

अत्यधिक गैर-रैखिक कार्यों के लिए, अनिश्चितता प्रसार के लिए संभाव्य दृष्टिकोण की पांच श्रेणियां मौजूद हैं; विवरण के लिए देखें Uncertainty_quantification#Forward_propagation।

पारस्परिक और स्थानांतरित पारस्परिक

Main article: Reciprocal normal distribution

उलटा या पारस्परिक के विशेष मामले में $1/B$, कहाँ $B=N(0,1)$ एक मानक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है, जिसके परिणामस्वरूप वितरण एक पारस्परिक मानक सामान्य वितरण होता है, और कोई निश्चित भिन्नता नहीं होती है। हालाँकि, स्थानांतरित पारस्परिक कार्य के थोड़े अधिक सामान्य मामले में $1/(p-B)$ के लिए $B=N(\mu ,\sigma )$ एक सामान्य सामान्य वितरण के बाद, यदि ध्रुव के बीच का अंतर है, तो माध्य और विचरण आँकड़े एक प्रमुख मूल्य अर्थ में मौजूद हैं $p$ और मतलब $\mu$ वास्तविक मूल्यवान है।

अनुपात

Main article: Normal ratio distribution

अनुपात भी समस्याग्रस्त हैं; सामान्य सन्निकटन कुछ शर्तों के तहत मौजूद हैं।

उदाहरण सूत्र

यह तालिका वास्तविक चरों के सरल कार्यों के प्रसरण और मानक विचलन को दर्शाती है $A,B\!$, मानक विचलन के साथ $\sigma _{A},\sigma _{B},\,$ सहप्रसरण और सहसंबंध $\sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}\,$, और सहसंबंध $\rho _{AB}$. वास्तविक मूल्यवान गुणांक $a$ और $b$ बिल्कुल ज्ञात (नियतात्मक) माने जाते हैं, अर्थात, $\sigma _{a}=\sigma _{b}=0$.

स्तंभों में भिन्नता और मानक विचलन , A और B को अपेक्षा मानों के रूप में समझा जाना चाहिए (अर्थात वे मान जिनके चारों ओर हम अनिश्चितता का अनुमान लगा रहे हैं), और $f$ के अपेक्षित मूल्य पर परिकलित फ़ंक्शन के मान के रूप में समझा जाना चाहिए $A,B\!$.

Function	Variance	Standard Deviation
$f=aA\,$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}$	$\sigma _{f}=|a|\sigma _{A}$
$f=aA+bB\,$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}$
$f=aA-bB\,$	$\sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}$
$f=A-B,$	$\sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}}$
$f=AB\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}$
$f={\frac {A}{B}}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}$
$f=aA^{b}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right|=\left|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right|$
$f=a\ln(bA)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right|$
$f=a\log _{10}(bA)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right|$
$f=ae^{bA}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|\left(b\sigma _{A}\right)\right|$
$f=a^{bA}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|(b\ln(a)\sigma _{A})\right|$
$f=a\sin(bA)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\right]^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right|$
$f=a\cos \left(bA\right)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sin(bA)\sigma _{A}\right]^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right|$
$f=a\tan \left(bA\right)\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right]^{2}$	$\sigma _{f}\approx \left|ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right|$
$f=A^{B}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\right]$	$\sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}$
$f={\sqrt {aA^{2}\pm bB^{2}}}\,$	$\sigma _{f}^{2}\approx \left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}$	$\sigma _{f}\approx {\sqrt {\left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}}$

असंबद्ध चर के लिए ($\rho _{AB}=0$, $\sigma _{AB}=0$) अधिक जटिल फलनों के व्यंजकों को सरल फलनों के संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दोहराए गए गुणा, कोई संबंध नहीं मानते हुए, देता है

$f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.$

मामले के लिए $f=AB$ हमारे पास गुडमैन की अभिव्यक्ति भी हैसटीक विचरण के लिए: असंबद्ध मामले के लिए यह है

$V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(Y)^{2}V(X)+E((X-E(X))^{2}(Y-E(Y))^{2})$

और इसलिए हमारे पास है:

$\sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}$

मतभेदों पर सहसंबंध का प्रभाव

यदि A और B असंबंधित हैं, तो उनके अंतर A-B में उनमें से किसी की तुलना में अधिक भिन्नता होगी। एक बढ़ता हुआ सकारात्मक सहसंबंध ($\rho _{AB}\to 1$) समरूपता के साथ पूरी तरह से सहसंबद्ध चर के लिए शून्य भिन्नता में परिवर्तित होकर, अंतर के भिन्नता को कम कर देगा। दूसरी ओर, एक नकारात्मक सहसंबंध ($\rho _{AB}\to -1$) असंबद्ध मामले की तुलना में अंतर के प्रसरण को और बढ़ा देगा।

उदाहरण के लिए, स्व-घटाव f=A-A में शून्य प्रसरण है $\sigma _{f}^{2}=0$ केवल अगर चर पूरी तरह से स्वतःसंबंध है ($\rho _{A}=1$). यदि A असंबंधित है, $\rho _{A}=0$, तो आउटपुट भिन्नता इनपुट भिन्नता से दोगुनी है, $\sigma _{f}^{2}=2\sigma _{A}^{2}$. और यदि A पूरी तरह से परस्पर विरोधी है, $\rho _{A}=-1$, तब इनपुट विचरण आउटपुट में चौगुना हो जाता है, $\sigma _{f}^{2}=4\sigma _{A}^{2}$ (सूचना $1-\rho _{A}=2$ उपरोक्त तालिका में f = aA - aA के लिए)।

उदाहरण गणना

उलटा स्पर्शरेखा समारोह

त्रुटि के प्रचार के लिए आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग करने के उदाहरण के रूप में हम व्युत्क्रम स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के लिए अनिश्चितता प्रसार की गणना कर सकते हैं।

परिभाषित करना

$f(x)=\arctan(x),$

कहाँ $\Delta _{x}$ के हमारे माप पर पूर्ण अनिश्चितता है x. का व्युत्पन्न f(x) इसके संबंध में x है

${\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.$

इसलिए, हमारी प्रचारित अनिश्चितता है

$\Delta _{f}\approx {\frac {\Delta _{x}}{1+x^{2}}},$

कहाँ $\Delta _{f}$ पूर्ण प्रचारित अनिश्चितता है।

प्रतिरोध माप

एक व्यावहारिक अनुप्रयोग एक ऐसा प्रयोग है जिसमें कोई वर्तमान (बिजली) को मापता है, I, और वोल्टेज, V, प्रतिरोधक पर विद्युत प्रतिरोध निर्धारित करने के लिए, R, ओम के नियम का प्रयोग करके, R = V / I.

अनिश्चितताओं के साथ मापा चर को देखते हुए, I ± σ_I और V ± σ_V, और उनके संभावित सहसंबंध की उपेक्षा करते हुए, परिकलित मात्रा में अनिश्चितता, σ_R, है:

$\sigma _{R}\approx {\sqrt {\sigma _{V}^{2}\left({\frac {1}{I}}\right)^{2}+\sigma _{I}^{2}\left({\frac {-V}{I^{2}}}\right)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{V}}{V}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{I}}{I}}\right)^{2}}}.$

यह भी देखें

• परिशुद्धता और यथार्थता
• स्वचालित भेदभाव
• बायनेमे की पहचान
• डेल्टा विधि
• परिशुद्धता का कमजोर पड़ना (नेविगेशन)
• त्रुटियों और आँकड़ों में अवशेष
• प्रायोगिक अनिश्चितता विश्लेषण
• अंतराल परिमित तत्व
• माप अनिश्चितता
• संख्यात्मक स्थिरता
• संभावना सीमा विश्लेषण
• महत्व अंकगणित
• अनिश्चितता मात्रा का ठहराव
• यादृच्छिक-फ़ज़ी चर
• विचरण#प्रचार

अग्रिम पठन

• Bevington, Philip R.; Robinson, D. Keith (2002), Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
• Fornasini, Paolo (2008), The uncertainty in physical measurements: an introduction to data analysis in the physics laboratory, Springer, p. 161, ISBN 978-0-387-78649-0
• Meyer, Stuart L. (1975), Data Analysis for Scientists and Engineers, Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
• Peralta, M. (2012), Propagation Of Errors: How To Mathematically Predict Measurement Errors, CreateSpace
• Rouaud, M. (2013), Probability, Statistics and Estimation: Propagation of Uncertainties in Experimental Measurement (PDF) (short ed.)
• Taylor, J. R. (1997), An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements (2nd ed.), University Science Books
• Wang, C M; Iyer, Hari K (2005-09-07). "On higher-order corrections for propagating uncertainties". Metrologia. 42 (5): 406–410. doi:10.1088/0026-1394/42/5/011. ISSN 0026-1394.

बाहरी संबंध

• A detailed discussion of measurements and the propagation of uncertainty explaining the benefits of using error propagation formulas and Monte Carlo simulations instead of simple significance arithmetic
• GUM, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement
• EPFL An Introduction to Error Propagation, Derivation, Meaning and Examples of Cy = Fx Cx Fx'
• uncertainties package, a program/library for transparently performing calculations with uncertainties (and error correlations).
• soerp package, a Python program/library for transparently performing *second-order* calculations with uncertainties (and error correlations).
• Joint Committee for Guides in Metrology (2011). JCGM 102: Evaluation of Measurement Data - Supplement 2 to the "Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement" - Extension to Any Number of Output Quantities (PDF) (Technical report). JCGM. Retrieved 13 February 2013.
• Uncertainty Calculator Propagate uncertainty for any expression