अनुकूली चरण का आकार

गणित और संख्यात्मक विश्लेषण में, विधि की त्रुटियों को नियंत्रित करने और संख्यात्मक स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए सामान्य अंतर समीकरणों (संख्यात्मक एकीकरण के विशेष मामले सहित) के लिए संख्यात्मक तरीकों के लिए कुछ तरीकों में एक अनुकूली चरण आकार का उपयोग किया जाता है जैसे कि ए- स्थिरता. जब व्युत्पन्न के आकार में बड़ी भिन्नता हो तो अनुकूली चरण आकार का उपयोग करना विशेष महत्व रखता है। उदाहरण के लिए, जब पृथ्वी के बारे में एक उपग्रह की गति को एक मानक केपलर कक्षा के रूप में मॉडलिंग किया जाता है, तो यूलर विधि जैसी एक निश्चित समय-चरण विधि पर्याप्त हो सकती है। हालाँकि चीजें अधिक कठिन हैं यदि कोई पृथ्वी और चंद्रमा दोनों को ध्यान में रखते हुए एक अंतरिक्ष यान की गति का मॉडल बनाना चाहता है जैसा कि तीन-पिंड समस्या में है। वहां, ऐसे परिदृश्य सामने आते हैं जहां अंतरिक्ष यान पृथ्वी और चंद्रमा से बहुत दूर होने पर कोई बड़े समय के कदम उठा सकता है, लेकिन यदि अंतरिक्ष यान किसी ग्रह पिंड से टकराने के करीब पहुंच जाता है, तो छोटे समय के कदमों की आवश्यकता होती है। रोमबर्ग की विधि और रनगे-कुट्टा-फ़ेहलबर्ग विधि|रंज-कुट्टा-फ़ेहलबर्ग संख्यात्मक एकीकरण विधियों के उदाहरण हैं जो एक अनुकूली चरण आकार का उपयोग करते हैं।

उदाहरण

सरलता के लिए, निम्नलिखित उदाहरण सबसे सरल एकीकरण विधि, यूलर विधि का उपयोग करता है; व्यवहार में, उच्च-क्रम के तरीकों जैसे कि रनगे-कुट्टा तरीकों को उनके बेहतर अभिसरण और स्थिरता गुणों के कारण पसंद किया जाता है।

आरंभिक मूल्य समस्या पर विचार करें

$y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(a)=y_{a}$

जहां y और f सदिशों को निरूपित कर सकते हैं (जिस स्थिति में यह समीकरण कई चरों में युग्मित ODE की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है)।

हमें फ़ंक्शन f(t,y) और प्रारंभिक शर्तें (a, y) दी गई हैं_a), और हम t=b पर समाधान खोजने में रुचि रखते हैं। मान लीजिए y(b) b पर सटीक समाधान दर्शाता है, और मान लीजिए y_bउस समाधान को निरूपित करें जिसकी हम गणना करते हैं। हम लिखते हैं $y_{b}+\varepsilon =y(b)$, कहाँ $\varepsilon$ संख्यात्मक समाधान में त्रुटि है.

एक अनुक्रम के लिए (t_n) t के मानों का, t के साथ_n = a + nh, यूलर विधि y(t) के संगत मानों का सन्निकटन देती है_n) जैसा

$y_{n+1}^{(0)}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})$

इस सन्निकटन की स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि को परिभाषित किया गया है

$\tau _{n+1}^{(0)}=y(t_{n+1})-y_{n+1}^{(0)}$

और टेलर के प्रमेय द्वारा, यह दिखाया जा सकता है कि (बशर्ते एफ पर्याप्त रूप से चिकनी है) स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि चरण आकार के वर्ग के समानुपाती होती है:

$\tau _{n+1}^{(0)}=ch^{2}$

जहाँ c आनुपातिकता का कुछ स्थिरांक है।

हमने इस समाधान और इसकी त्रुटि को a से चिह्नित किया है $(0)$.

C का मान हमें ज्ञात नहीं है। आइए अब y(t) का दूसरा सन्निकटन उत्पन्न करने के लिए एक अलग चरण आकार के साथ यूलर की विधि को फिर से लागू करें_n+1). हमें दूसरा समाधान मिलता है, जिसे हम a से लेबल करते हैं $(1)$. नए चरण के आकार को मूल चरण के आकार का आधा लें और यूलर की विधि के दो चरणों को लागू करें। यह दूसरा समाधान संभवतः अधिक सटीक है. चूँकि हमें यूलर की विधि को दो बार लागू करना है, स्थानीय त्रुटि (सबसे खराब स्थिति में) मूल त्रुटि से दोगुनी है।

$y_{n+{\frac {1}{2}}}=y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n},y_{n})$

$y_{n+1}^{(1)}=y_{n+{\frac {1}{2}}}+{\frac {h}{2}}f(t_{n+{\frac {1}{2}}},y_{n+{\frac {1}{2}}})$

$\tau _{n+1}^{(1)}=c\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}+c\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}=2c\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}ch^{2}={\frac {1}{2}}\tau _{n+1}^{(0)}$

$y_{n+1}^{(1)}+\tau _{n+1}^{(1)}=y(t+h)$

यहां, हम त्रुटि कारक मानते हैं $c$ अंतराल पर स्थिर रहता है $[t,t+h]$. वास्तव में इसके परिवर्तन की दर आनुपातिक है $y^{(3)}(t)$. समाधान घटाने पर त्रुटि अनुमान मिलता है:

$y_{n+1}^{(1)}-y_{n+1}^{(0)}=\tau _{n+1}^{(1)}$

यह स्थानीय त्रुटि अनुमान तीसरे क्रम का सटीक है।

स्थानीय त्रुटि अनुमान का उपयोग यह तय करने के लिए किया जा सकता है कि चरण का आकार कैसा होगा $h$ वांछित सटीकता प्राप्त करने के लिए संशोधित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि स्थानीय सहिष्णुता ${\text{tol}}$ अनुमति है, हम उसे इस प्रकार विकसित होने दे सकते हैं:

$h\rightarrow 0.9\times h\times \min \left(\max \left(\left({\frac {\text{tol}}{2\left|\tau _{n+1}^{(1)}\right|}}\right)^{1/2},0.3\right),2\right)$

$0.9$ h> अगले प्रयास में सफलता सुनिश्चित करने के लिए एक सुरक्षा कारक है। न्यूनतम और अधिकतम पिछले चरण के आकार में अत्यधिक परिवर्तनों को रोकने के लिए हैं। सिद्धांत रूप में, इससे लगभग की त्रुटि मिलनी चाहिए $0.9\times {\text{tol}}$ अगले प्रयास में. अगर $|\tau _{n+1}^{(1)}|<{\text{tol}}$, हम कदम को सफल मानते हैं, और समाधान को बेहतर बनाने के लिए त्रुटि अनुमान का उपयोग किया जाता है:

$y_{n+1}^{(2)}=y_{n+1}^{(1)}+\tau _{n+1}^{(1)}$

यह समाधान वास्तव में स्थानीय दायरे में तीसरे क्रम (वैश्विक दायरे में दूसरे क्रम) में सटीक है, लेकिन चूंकि इसके लिए कोई त्रुटि अनुमान नहीं है, इसलिए यह चरणों की संख्या को कम करने में मदद नहीं करता है। इस तकनीक को रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन कहा जाता है।

के प्रारंभिक चरण आकार के साथ शुरुआत $h=b-a$, यह सिद्धांत बिंदु से ODE के हमारे नियंत्रणीय एकीकरण की सुविधा प्रदान करता है $a$ को $b$, स्थानीय त्रुटि सहनशीलता को देखते हुए चरणों की इष्टतम संख्या का उपयोग करना। एक दोष यह है कि चरण का आकार निषेधात्मक रूप से छोटा हो सकता है, खासकर निम्न-क्रम यूलर विधि का उपयोग करते समय।

उच्च क्रम की विधियों के लिए समान विधियाँ विकसित की जा सकती हैं, जैसे कि चौथे क्रम की रनगे-कुट्टा विधि। साथ ही, स्थानीय त्रुटि को वैश्विक दायरे में स्केल करके वैश्विक त्रुटि सहिष्णुता प्राप्त की जा सकती है।

एम्बेडेड त्रुटि अनुमान

तथाकथित 'एम्बेडेड' त्रुटि अनुमान का उपयोग करने वाली अनुकूली चरण आकार विधियों में बोगैकी-शैम्पिन विधि शामिल है| विधि|डोरमैंड-प्रिंस विधियाँ। इन तरीकों को कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक कुशल माना जाता है, लेकिन उनके त्रुटि अनुमान में कम सटीकता होती है।

एम्बेडेड विधि के विचारों को स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित योजना पर विचार करें जो अद्यतन होती है $y_{n}$:

$y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\psi (t_{n},y_{n},h_{n})$

$t_{n+1}=t_{n}+h_{n}$

अगले कदम $h_{n}$ पिछली जानकारी से अनुमान लगाया गया है $h_{n}=g(t_{n},y_{n},h_{n-1})$.

एम्बेडेड आरके विधि के लिए, की गणना $\psi$ निम्न क्रम वाली आरके विधि शामिल है ${\tilde {\psi }}$. त्रुटि तो बस इस प्रकार लिखा जा सकता है

${\textrm {err}}_{n}(h)={\tilde {y}}_{n+1}-y_{n+1}=h({\tilde {\psi }}(t_{n},y_{n},h_{n})-\psi (t_{n},y_{n},h_{n}))$

${\textrm {err}}_{n}$ असामान्यीकृत त्रुटि है. इसे सामान्य बनाने के लिए, हम इसकी तुलना उपयोगकर्ता-परिभाषित सहिष्णुता से करते हैं, जो पूर्ण सहिष्णुता और सापेक्ष सहिष्णुता शामिल हैं:

${\textrm {tol}}_{n}={\textrm {Atol}}+{\textrm {Rtol}}\cdot \max(|y_{n}|,|y_{n-1}|)$

$E_{n}={\textrm {norm}}({\textrm {err}}_{n}/{\textrm {tol}}_{n})$

फिर हम सामान्यीकृत त्रुटि की तुलना करते हैं $E_{n}$ पूर्वानुमान प्राप्त करने के लिए 1 के विरुद्ध $h_{n}$:

$h_{n}=h_{n-1}(1/E_{n})^{1/(q+1)}$

पैरामीटर q आरके विधि के अनुरूप क्रम है ${\tilde {\psi }}$, जिसका निम्न क्रम है। उपरोक्त पूर्वानुमान सूत्र इस अर्थ में प्रशंसनीय है कि यदि अनुमानित स्थानीय त्रुटि इससे छोटी है तो यह चरण को बड़ा कर देता है सहनशीलता और यह अन्यथा कदम को छोटा कर देता है।

ऊपर दिया गया विवरण स्पष्ट आरके सॉल्वरों के लिए चरण आकार नियंत्रण में उपयोग की जाने वाली एक सरलीकृत प्रक्रिया है। एक अधिक विस्तृत उपचार हेयरर की पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है। कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में ODE सॉल्वर इस प्रक्रिया को अनुकूली चरण आकार नियंत्रण के लिए डिफ़ॉल्ट रणनीति के रूप में उपयोग करता है, जो सिस्टम को अधिक स्थिर बनाने के लिए अन्य इंजीनियरिंग पैरामीटर जोड़ता है।

यह भी देखें

• अनुकूली चतुर्भुज
• अनुकूली संख्यात्मक विभेदन

अग्रिम पठन

• William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Numerical Recipes in C, Second Edition, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, 1992. ISBN 0-521-43108-5
• Kendall E. Atkinson, Numerical Analysis, Second Edition, John Wiley & Sons, 1989. ISBN 0-471-62489-6