अपील क्रम

गणित में, एक एपेल अनुक्रम, जिसका नाम पॉल एमिल एपेल के नाम पर रखा गया है, कोई भी बहुपद अनुक्रम है $\{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }$ पहचान को संतुष्ट करना

${\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),$

और किसमें $p_{0}(x)$ एक गैर-शून्य स्थिरांक है.

तुच्छ उदाहरण के अलावा सबसे उल्लेखनीय अपील अनुक्रमों में से $\{x^{n}\}$ हर्माइट बहुपद, बर्नौली बहुपद और यूलर बहुपद हैं। प्रत्येक अप्पेल अनुक्रम एक शेफ़र अनुक्रम है, लेकिन अधिकांश शेफ़र अनुक्रम अप्पेल अनुक्रम नहीं हैं। अपीलीय अनुक्रमों में मोमेंट (गणित) की प्रणालियों के रूप में संभाव्यता सिद्धांत की व्याख्या होती है।

अपेल अनुक्रमों के समतुल्य लक्षण वर्णन

बहुपद अनुक्रमों पर निम्नलिखित स्थितियाँ आसानी से समतुल्य देखी जा सकती हैं:

• के लिए $n=1,2,3,\ldots$,

${\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)$

और $p_{0}(x)$ एक गैर-शून्य स्थिरांक है;

• कुछ क्रम के लिए ${\textstyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ अदिश राशि के साथ $c_{0}\neq 0$,

$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{n-k};$

• अदिशों के समान क्रम के लिए,

$p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},$

कहाँ

$D={\frac {d}{dx}};$

• के लिए $n=0,1,2,\ldots$,

$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{n-k}.$

पुनरावर्तन सूत्र

कल्पना करना

$p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},$

जहां रैखिक ऑपरेटर को परिभाषित करने के लिए अंतिम समानता ली जाती है $S$ में बहुपदों के स्थान पर $x$. होने देना

$T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}$

व्युत्क्रम संकारक बनें, गुणांक $a_{k}$ एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के सामान्य व्युत्क्रम होने के नाते, ताकि

$Tp_{n}(x)=x^{n}.\,$

अम्ब्रल कैलकुलस की परंपराओं में, कोई अक्सर इस औपचारिक शक्ति श्रृंखला का इलाज करता है $T$ अपील अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के रूप में $p_{n}$. कोई परिभाषित कर सकता है

$\log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)$

की सामान्य शक्ति श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके $\log(x)$ और औपचारिक शक्ति श्रृंखला की संरचना की सामान्य परिभाषा। तो हमारे पास हैं

$p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,$

(विभेदक ऑपरेटर में पावर श्रृंखला का यह औपचारिक भेदभाव $D$ पिंचर्ले व्युत्पन्न का एक उदाहरण है।)

हर्माइट बहुपद के मामले में, यह उस अनुक्रम के लिए पारंपरिक पुनरावर्तन सूत्र को कम कर देता है।

शेफ़र बहुपद का उपसमूह

सभी एपेल अनुक्रमों का सेट बहुपद अनुक्रमों की छत्र रचना के संचालन के तहत बंद है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। कल्पना करना $\{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}$ और $\{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}$ द्वारा दिए गए बहुपद अनुक्रम हैं

$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ and }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.$

फिर छत्र रचना $p\circ q$ बहुपद अनुक्रम है जिसका $n$वां पद है

$(p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }$

(सबस्क्रिप्ट $n$ प्रकट होता है $p_{n}$, चूँकि यह है $n$उस अनुक्रम का वां पद, लेकिन अंदर नहीं $q$, क्योंकि यह अनुक्रम को इसके किसी एक पद के बजाय समग्र रूप से संदर्भित करता है)।

इस ऑपरेशन के तहत, सभी शेफ़र अनुक्रमों का सेट एक गैर-एबेलियन समूह है, लेकिन सभी एपेल अनुक्रमों का सेट एक एबेलियन समूह उपसमूह है। यह एबेलियन है, इसे इस तथ्य पर विचार करके देखा जा सकता है कि प्रत्येक एपेल अनुक्रम फॉर्म का है

$p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},$

और एपेल अनुक्रमों की छत्र संरचना ऑपरेटर में इन औपचारिक शक्ति श्रृंखलाओं के गुणन से मेल खाती है $D$.

विभिन्न सम्मलेन

कुछ लेखकों द्वारा अपनाया गया एक अन्य सम्मेलन (देखें चिहारा) पहचान का उपयोग करके इस अवधारणा को एक अलग तरीके से परिभाषित करता है, जो एपेल की मूल परिभाषा के साथ विरोधाभासी है।

${d \over dx}p_{n}(x)=p_{n-1}(x)$

बजाय।

हाइपरजियोमेट्रिक एपेल बहुपद

एपेल बहुपदों का विशाल वर्ग सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के संदर्भ में प्राप्त किया जा सकता है।

होने देना $\Delta (k,-n)$ की सरणी को निरूपित करें $k$ अनुपात

$-{\frac {n}{k}},-{\frac {n-1}{k}},\ldots ,-{\frac {n-k+1}{k}},\quad n\in {\mathbb {N} }_{0},k\in \mathbb {N} .$

बहुपद पर विचार करें

$A_{n,p,q}^{(k)}(m,x)=x^{n}{}_{k+p}F_{q}\left({a_{1}},{a_{2}},\ldots ,{a_{p}},\Delta (k,-n);{b_{1}},{b_{2}},\ldots ,{b_{q}};{\frac {m}{x^{k}}}\right),\quad n,m\in \mathbb {N} _{0},k\in \mathbb {N}$

कहाँ ${}_{k+p}F_{q}$ सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन है।

प्रमेय. बहुपद परिवार $\{A_{n,p,q}^{(k)}(m,x)\}$ किसी भी प्राकृतिक पैरामीटर के लिए अपील अनुक्रम है $p,q,m,k$.

उदाहरण के लिए, यदि $p=0,q=0,$ $k=m,$ $m=(-1)^{k}h{k^{k}}$ फिर बहुपद $A_{n,p,q}^{(k)}(m,x)$ गोल्ड-हॉपर बहुपद बनें $g_{n}^{m}(x,h)$ और अगर $p=0,q=0,m=-2,k=2$ वे हर्मिट बहुपद बन जाते हैं $H_{n}(x)$.

यह भी देखें

• शेफ़र क्रम
• अम्ब्रल कैलकुलस
• सामान्यीकृत अपीलीय बहुपद
• बाती उत्पाद

संदर्भ

• Appell, Paul (1880). "Sur une classe de polynômes". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 2e Série. 9: 119–144.
• Roman, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978). "The Umbral Calculus". Advances in Mathematics. 27 (2): 95–188. doi:10.1016/0001-8708(78)90087-7..
• Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973). "Finite Operator Calculus". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 42 (3): 685–760. doi:10.1016/0022-247X(73)90172-8. Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975.
• Steven Roman. The Umbral Calculus. Dover Publications.
• Theodore Seio Chihara (1978). An Introduction to Orthogonal Polynomials. Gordon and Breach, New York. ISBN 978-0-677-04150-6.
• Bedratyuk, L.; Luno, N. (2020). "Some Properties of Generalized Hypergeometric Appell Polynomials". Carpathian Math. Publ. 12 (1): 129–137.

बाहरी संबंध

• "Appell polynomials", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Appell Sequence at MathWorld