अर्ध-हार्मोनिक सन्निकटन

अर्ध-हार्मोनिक सन्निकटन ठोस-अवस्था भौतिकी का एक फोनन-आधारित मॉडल है जिसका उपयोग थर्मल विस्तार जैसे वॉल्यूम-निर्भर थर्मल प्रभावों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह इस धारणा पर आधारित है कि फ़ोनन जाली स्थिरांक के प्रत्येक मान को धारण करता है, जिसे एक समायोज्य पैरामीटर के रूप में देखा जाना चाहिए।

सिंहावलोकन

अर्ध-हार्मोनिक सन्निकटन जाली गतिशीलता के हार्मोनिक फोनन मॉडल पर विस्तारित होता है। हार्मोनिक फोनन मॉडल बताता है कि सभी अंतरपरमाणु बल विशुद्ध रूप से लयबद्ध दोलक हैं, लेकिन ऐसा मॉडल थर्मल विस्तार को समझाने के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि ऐसे मॉडल में परमाणुओं के बीच संतुलन दूरी तापमान से स्वतंत्र होती है।

इस प्रकार, अर्ध-हार्मोनिक मॉडल में, फ़ोनन दृष्टिकोण से, फ़ोनन आवृत्तियाँ अर्ध-हार्मोनिक सन्निकटन में मात्रा-निर्भर हो जाती हैं, जैसे कि प्रत्येक मात्रा के लिए, हार्मोनिक सन्निकटन होता है।

ऊष्मप्रवैगिकी

एक जाली के लिए, अर्ध-हार्मोनिक सन्निकटन में हेल्महोल्त्ज़ मुक्त ऊर्जा F है

$F(T,V)=E_{\rm {lat}}(V)+U_{\rm {vib}}(T,V)-TS(T,V)$ जहां ई_latस्थिर आंतरिक जालक ऊर्जा है, यू_vibजाली की आंतरिक कंपन ऊर्जा है, या फोनन प्रणाली की ऊर्जा है, टी पूर्ण तापमान है, वी मात्रा है और एस स्वतंत्रता की कंपन डिग्री के कारण एन्ट्रापी है। कंपन ऊर्जा बराबर होती है

$U_{\rm {vib}}(T,V)={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {1}{2}}\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)+{\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)}{\exp(\Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)/T)-1}}={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} ,i}[{\frac {1}{2}}+n_{\mathbf {k} ,i}(T,V)]\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)$ जहाँ N योग में पदों की संख्या है, ${\textstyle \Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)=\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)/k_{B}}$ वॉल्यूम वी पर आई-वें बैंड में तरंग वेक्टर के के साथ एक फोनन के लिए विशेषता तापमान के रूप में पेश किया गया है और ${\textstyle n_{\mathbf {k} ,i}(T,V)}$ तापमान T और आयतन V पर (k,i)-फ़ोनों की संख्या के लिए आशुलिपि है। जैसा कि पारंपरिक है, ${\textstyle \hbar }$ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक और k है_B बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है। यू में पहला कार्यकाल_vib फोनन प्रणाली की शून्य-बिंदु ऊर्जा है और शून्य-बिंदु थर्मल दबाव के रूप में थर्मल विस्तार में योगदान करती है।

हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा F द्वारा दी गई है

$F=E_{\rm {lat}}(V)+{\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {1}{2}}\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)+{\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} ,i}k_{B}T\ln \left[1-\exp(-\Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)/T)\right]$ और एन्ट्रॉपी पद बराबर है

$S=-\left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right)_{V}=-{\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} ,i}k_{B}\ln \left[1-\exp(-\Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)/T)\right]+{\frac {1}{NT}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {\hbar \omega _{\mathbf {k} ,i}(V)}{\exp(\Theta _{\mathbf {k} ,i}(V)/T)-1}}$,

जिससे F = U - TS आसानी से सत्यापित हो जाता है।

'k' के फलन के रूप में आवृत्ति ω फैलाव संबंध है। ध्यान दें कि V के स्थिर मान के लिए, ये समीकरण हार्मोनिक सन्निकटन से मेल खाते हैं।

लीजेंड्रे परिवर्तन को लागू करके, तापमान और दबाव के कार्य के रूप में सिस्टम की गिब्स मुक्त ऊर्जा जी प्राप्त करना संभव है।

$G(T,P)=\min _{V}\left[E_{\rm {lat}}(V)+U_{\rm {vib}}(V,T)-TS(T,V)+PV\right]$ जहां P दबाव है. G का न्यूनतम मान किसी दिए गए T और P के लिए संतुलन आयतन पर पाया जाता है।

व्युत्पन्न मात्राएँ

एक बार गिब्स मुक्त ऊर्जा ज्ञात हो जाने पर, कई थर्मोडायनामिक मात्राएं पहले या दूसरे क्रम के डेरिवेटिव के रूप में निर्धारित की जा सकती हैं। नीचे कुछ ऐसे हैं जिन्हें केवल हार्मोनिक सन्निकटन के माध्यम से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

संतुलन आयतन

V(P,T) को गिब्स मुक्त ऊर्जा को न्यूनतम करके दबाव और तापमान के एक कार्य के रूप में निर्धारित किया जाता है।

थर्मल विस्तार

वॉल्यूमेट्रिक थर्मल विस्तार α_V V(P,T) से प्राप्त किया जा सकता है

$\alpha _{V}={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}$

ग्रुनेसेन पैरामीटर

ग्रुनेसेन पैरामीटर γ को प्रत्येक फ़ोनन मोड के लिए इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\gamma _{i}=-{\frac {\partial \ln \omega _{i}}{\partial \ln V}}$ जहां मैं एक फोनन मोड इंगित करता हूं। कुल ग्रुनेसेन पैरामीटर सभी γ का योग है_iएस। यह सिस्टम की धार्मिकता का माप है और थर्मल विस्तार से निकटता से संबंधित है।

संदर्भ

• Dove, Martin T. (1993). Introduction to lattice dynamics, Cambridge university press. ISBN 0521392934.