अर्ध isometry

गणित में, एक अर्ध-आइसोमेट्री दो मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच एक फ़ंक्शन (गणित) है जो इन रिक्त स्थान के बड़े पैमाने पर ज्यामिति का सम्मान करता है और उनके छोटे पैमाने के विवरण को अनदेखा करता है। दो मीट्रिक रिक्त स्थान अर्ध-सममितीय हैं यदि उनके बीच अर्ध-सममिति मौजूद है। अर्ध-सममितीय होने का गुण मीट्रिक रिक्त स्थान के वर्ग (सेट सिद्धांत) पर एक तुल्यता संबंध की तरह व्यवहार करता है।

अर्ध-आइसोमेट्री की अवधारणा ज्यामितीय समूह सिद्धांत में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, मिखाइल लियोनिदोविच ग्रोमोव के काम के बाद।^[1]

यह जाली (समूह) विमान के लिए अर्ध-सममितीय है।

परिभाषा

लगता है कि $f$ एक मीट्रिक स्थान से एक (आवश्यक रूप से निरंतर नहीं) कार्य है $(M_{1},d_{1})$ एक दूसरे मीट्रिक स्थान के लिए $(M_{2},d_{2})$ . तब $f$ से अर्ध-आइसोमेट्री कहा जाता है $(M_{1},d_{1})$ को $(M_{2},d_{2})$ अगर वहाँ स्थिरांक मौजूद हैं $A\geq 1$ , $B\geq 0$ , और $C\geq 0$ जैसे कि निम्नलिखित दो गुण दोनों धारण करते हैं:^[2]

हर दो अंक के लिए $x$ और $y$ में $M_{1}$ , उनकी छवियों के बीच की दूरी योज्य स्थिरांक तक है $B$ के एक कारक के भीतर $A$ उनकी मूल दूरी की। अधिक औपचारिक रूप से:
$\forall x,y\in M_{1}:{\frac {1}{A}}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.$
हर बिंदु $M_{2}$ निरंतर दूरी के भीतर है $C$ एक छवि बिंदु का। अधिक औपचारिक रूप से:
$\forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x))\leq C.$

दो मीट्रिक रिक्त स्थान $(M_{1},d_{1})$ और $(M_{2},d_{2})$ अर्ध-सममिति कहलाते हैं यदि कोई अर्ध-सममिति मौजूद है $f$ से $(M_{1},d_{1})$ को $(M_{2},d_{2})$ .

एक मानचित्र को अर्ध-आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग कहा जाता है यदि यह पहली शर्त को संतुष्ट करता है लेकिन जरूरी नहीं कि दूसरा (यानी यह मोटे तौर पर लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है लेकिन मोटे तौर पर अनुमान लगाने में विफल हो सकता है)। दूसरे शब्दों में, यदि मानचित्र के माध्यम से, $(M_{1},d_{1})$ की एक उपसमष्टि के लिए अर्ध-सममितीय है $(M_{2},d_{2})$ .

दो मीट्रिक रिक्त स्थान एम₁और एम₂'क्वैसी-आइसोमेट्रिक' कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है $M_{1}{\underset {q.i.}{\sim }}M_{2}$ , अगर वहाँ एक अर्ध-आइसोमेट्री मौजूद है $f:M_{1}\to M_{2}$ .

उदाहरण

यूक्लिडियन विमान और मैनहट्टन दूरी वाले विमान के बीच का नक्शा जो हर बिंदु को खुद को भेजता है एक अर्ध-आइसोमेट्री है: इसमें, दूरियों को अधिकतम के एक कारक से गुणा किया जाता है ${\sqrt {2}}$ . ध्यान दें कि कोई आइसोमेट्री नहीं हो सकती है, उदाहरण के लिए, अंक $(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)$ मैनहट्टन दूरी में एक दूसरे से समान दूरी के हैं, लेकिन यूक्लिडियन विमान में, ऐसे 4 बिंदु नहीं हैं जो एक दूसरे से समान दूरी के हों।

वो नक्शा $f:\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ (दोनों यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ) जो प्रत्येक भेजता है $n$ -पूर्णांकों का ट्यूपल स्वयं के लिए अर्ध-आइसोमेट्री है: दूरी बिल्कुल संरक्षित होती है, और प्रत्येक वास्तविक ट्यूपल दूरी के भीतर होता है ${\sqrt {n/4}}$ एक पूर्णांक टपल का। दूसरी दिशा में, असंतुलित कार्य जो वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक टपल को निकटतम पूर्णांक टपल तक गोल करता है, वह भी एक अर्ध-आइसोमेट्री है: प्रत्येक बिंदु को इस मानचित्र द्वारा दूरी के भीतर एक बिंदु पर ले जाया जाता है। ${\sqrt {n/4}}$ इसका, इसलिए राउंडिंग बिंदुओं के जोड़े के बीच की दूरी को अधिक से अधिक जोड़कर या घटाकर बदल देता है $2{\sqrt {n/4}}$ .

परिमित या परिबद्ध मीट्रिक रिक्त स्थान की प्रत्येक जोड़ी अर्ध-सममितीय है। इस मामले में, प्रत्येक कार्य एक स्थान से दूसरे स्थान पर एक अर्ध-आइसोमेट्री है।

तुल्यता संबंध

अगर $f:M_{1}\mapsto M_{2}$ एक क्वासी-आइसोमेट्री है, तो एक क्वासी-आइसोमेट्री मौजूद है $g:M_{2}\mapsto M_{1}$ . वास्तव में, $g(x)$ देकर परिभाषित किया जा सकता है $y$ की छवि में कोई भी बिंदु हो $f$ वह दूरी के भीतर है $C$ का $x$ , और दे रहा है $g(x)$ किसी भी बिंदु पर हो $f^{-1}(y)$ .

चूंकि पहचान समारोह एक अर्ध-सममिति है, और दो अर्ध-सममिति की कार्यात्मक संरचना एक अर्ध-सममिति है, यह इस प्रकार है कि अर्ध-सममितीय होने की संपत्ति मीट्रिक रिक्त स्थान के वर्ग पर एक तुल्यता संबंध की तरह व्यवहार करती है।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में प्रयोग करें

एक निश्चित रूप से उत्पन्न समूह (गणित) G के समूह S के एक परिमित जनरेटिंग सेट को देखते हुए, हम S और G के संबंधित केली ग्राफ बना सकते हैं। यदि हम प्रत्येक किनारे की लंबाई 1 होने की घोषणा करते हैं तो यह ग्राफ एक मीट्रिक स्थान बन जाता है। एक भिन्न परिमित जनरेटिंग सेट T का परिणाम भिन्न ग्राफ़ और भिन्न मीट्रिक स्थान में होता है, हालाँकि दो स्थान अर्ध-सममितीय होते हैं।^[3] यह क्वैसी-आइसोमेट्री क्लास इस प्रकार ग्रुप जी का एक इनवेरिएंट (गणित) है। मेट्रिक स्पेस की कोई भी संपत्ति जो केवल स्पेस के क्वासी-आइसोमेट्री क्लास पर निर्भर करती है, तुरंत ग्रुप्स का एक और इनवेरिएंट पैदा करती है, जो ग्रुप थ्योरी के फील्ड को ज्योमेट्रिक तरीकों से खोलती है।

अधिक आम तौर पर, 'Svarc-Milnor lemma' में कहा गया है कि यदि एक समूह G एक उचित जियोडेसिक स्पेस X पर कॉम्पैक्ट भागफल के साथ उचित रूप से बंद कार्रवाई करता है तो G, X के लिए अर्ध-सममितीय है (जिसका अर्थ है कि G के लिए कोई भी केली ग्राफ है)। यह एक दूसरे को अर्ध-सममितीय समूहों के नए उदाहरण देता है:

यदि G' G में एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का एक उपसमूह है तो G', G के लिए अर्ध-सममितीय है;
यदि जी और एच एक ही आयाम डी के दो कॉम्पैक्ट अतिशयोक्तिपूर्ण कई गुना के मूलभूत समूह हैं तो वे दोनों हाइपरबॉलिक स्पेस 'एच' के अर्ध-सममितीय हैं^d और इसलिए एक दूसरे के लिए; दूसरी ओर परिमित-आयतन के मौलिक समूहों के असीम रूप से कई अर्ध-सममिति वर्ग हैं।^[4]

कसीगोडेसिक्स और मोर्स लेम्मा

एक मीट्रिक अंतरिक्ष में एक अर्ध-जियोडेसिक $(X,d)$ का एक अर्ध-आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग है $\mathbb {R}$ में $X$ . अधिक सटीक एक नक्शा $\phi :\mathbb {R} \to X$ ऐसा है कि वहाँ मौजूद है $C,K>0$ ताकि

\forall s,t\in \mathbb {R} :C^{-1}|s-t|-K\leq d(\phi (t),\phi (s))\leq C|s-t|+K

ए कहा जाता है $(C,K)$ -quasi-geodesic। जाहिर तौर पर जियोडेसिक्स (आर्कलेंथ द्वारा पैरामीट्रिज्ड) अर्ध-जियोडेसिक्स हैं। तथ्य यह है कि कुछ स्थानों में बातचीत मोटे तौर पर सच है, यानी कि प्रत्येक अर्ध-जियोडेसिक एक वास्तविक जियोडेसिक की सीमित दूरी के भीतर रहता है, जिसे मोर्स हेडवर्ड कहा जाता है (अंतर टोपोलॉजी में मोर्स लेम्मा के साथ भ्रमित नहीं होना)। औपचारिक रूप से कथन है:

होने देना

\delta ,C,K>0

और

X

एक उचित δ-हाइपरबॉलिक स्पेस। वहां मौजूद

M

ऐसा कि किसी के लिए

(C,K)

-quasi-geodesic

\phi

एक जियोडेसिक मौजूद है

L

में

X

ऐसा है कि

d(\phi (t),L)\leq M

सभी के लिए

t\in \mathbb {R}

.

यह ज्यामितीय समूह सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। एक तत्काल आवेदन यह है कि उचित अतिशयोक्तिपूर्ण रिक्त स्थान के बीच कोई भी अर्ध-सममिति उनकी सीमाओं के बीच एक होमोमोर्फिज्म को प्रेरित करती है। यह परिणाम मोस्टो कठोरता प्रमेय के प्रमाण में पहला कदम है।

समूहों के अर्ध-आइसोमेट्री इनवेरिएंट के उदाहरण

समूह केली ग्राफ़ के गुणों के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं जो क्वासी-आइसोमेट्री के तहत अपरिवर्तनीय हैं:^[2]

अतिशयोक्ति

एक समूह को अतिपरवलयिक कहा जाता है यदि इसका एक केली ग्राफ कुछ δ के लिए δ-अतिपरवलयिक स्थान है। अतिपरवलयिकता की विभिन्न परिभाषाओं के बीच अनुवाद करते समय, δ का विशेष मूल्य बदल सकता है, लेकिन एक अतिशयोक्तिपूर्ण समूह के परिणामी विचार समतुल्य हो जाते हैं।

अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों में समूहों के लिए एक हल करने योग्य शब्द समस्या है। वे [[द्विस्वचालित समूह]] और स्वचालित समूह हैं।^[5] वास्तव में, वे स्वचालित समूह हैं, अर्थात्, समूह पर एक स्वचालित संरचना होती है, जहाँ स्वीकर्ता शब्द द्वारा स्वीकृत भाषा सभी भूगणितीय शब्दों का समूह होती है।

वृद्धि

एक समूह (गणित) की विकास दर एक समूह के सममित जनरेटिंग सेट के संबंध में समूह में गेंदों के आकार का वर्णन करती है। समूह में प्रत्येक तत्व को जनरेटर के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, और विकास दर उन तत्वों की संख्या की गणना करती है जिन्हें लंबाई 'एन' के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है।

बहुपद विकास के समूहों पर ग्रोमोव के प्रमेय के अनुसार | ग्रोमोव का प्रमेय, बहुपद वृद्धि का एक समूह वस्तुतः नगण्य है, अर्थात इसमें एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का एक निलपोटेंट समूह उपसमूह है। विशेष रूप से, बहुपद वृद्धि का क्रम $k_{0}$ एक प्राकृतिक संख्या होना चाहिए और वास्तव में $\#(n)\sim n^{k_{0}}$ .

अगर $\#(n)$ किसी भी एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है, G की 'सबएक्सपोनेंशियल ग्रोथ रेट' होती है। ऐसा कोई भी समूह अनुमन्य समूह है।

समाप्त

एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सिरे मोटे तौर पर स्पेस की "आदर्श सीमा" के जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी) हैं। यही है, प्रत्येक अंत अंतरिक्ष के भीतर अनंत तक जाने के लिए एक स्थैतिक रूप से अलग तरीके का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक छोर पर एक बिंदु जोड़ने से मूल स्थान का एक संघनन (गणित) प्राप्त होता है, जिसे अंतिम संघनन के रूप में जाना जाता है।

एक अंतिम रूप से उत्पन्न समूह के सिरों को इसी केली ग्राफ के सिरों के रूप में परिभाषित किया गया है; यह परिभाषा परिमित जनरेटिंग सेट की पसंद से स्वतंत्र है। प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न अनंत समूह में या तो 0,1, 2, या असीम रूप से कई छोर होते हैं, और समूहों के सिरों के बारे में स्टालिंग प्रमेय एक से अधिक छोर वाले समूहों के लिए एक अपघटन प्रदान करता है।

यदि दो जुड़े हुए स्थानीय रूप से परिमित ग्राफ़ अर्ध-सममितीय हैं, तो उनके सिरों की संख्या समान है।^[6] विशेष रूप से, दो अर्ध-सममितीय सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूहों में सिरों की संख्या समान होती है।

सुविधा

एक अनुकूल समूह एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समूह 'जी' है जो बाध्य कार्यों पर एक प्रकार का औसत संचालन करता है जो कि समूह तत्वों द्वारा अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीय (गणित) है। 1929 में जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा जर्मन भाषा के नाम मेसबार (अंग्रेजी में मापने योग्य) के तहत बनच- टार्स्की विरोधाभास। 1949 में Mahlon M. Day ने अंग्रेजी अनुवाद amenable की शुरुआत की, जाहिरा तौर पर एक श्लेष के रूप में।^[7] असतत समूह सिद्धांत में, जहाँ G के पास असतत टोपोलॉजी है, एक सरल परिभाषा का उपयोग किया जाता है। इस सेटिंग में, एक समूह अनुमन्य है यदि कोई कह सकता है कि किसी दिए गए उपसमुच्चय में G का कितना अनुपात होता है।

यदि किसी समूह में एक Følner अनुक्रम है तो यह स्वचालित रूप से अनुमन्य है।

स्पर्शोन्मुख शंकु

एक अल्ट्रालिमिट एक ज्यामितीय निर्माण है जो मीट्रिक रिक्त स्थान 'एक्स' के अनुक्रम को निर्दिष्ट करता है_nएक सीमित मीट्रिक स्थान। अल्ट्रालिमिट्स का एक महत्वपूर्ण वर्ग मीट्रिक रिक्त स्थान के तथाकथित स्पर्शोन्मुख शंकु हैं। चलो (एक्स, डी) एक मीट्रिक स्थान बनें, चलो ω एक गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर हो $\mathbb {N}$ और चलो पी_n∈ X आधार-बिंदुओं का एक क्रम हो। फिर अनुक्रम की ω–अल्ट्रालिमिट $(X,{\frac {d}{n}},p_{n})$ ω और के संबंध में X का स्पर्शोन्मुख शंकु कहा जाता है $(p_{n})_{n}\,$ और निरूपित किया जाता है $Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,$ . एक अक्सर आधार-बिंदु अनुक्रम को स्थिर होने के लिए लेता है, पी_n= पी कुछ पी ∈ एक्स के लिए; इस मामले में स्पर्शोन्मुख शंकु p ∈ X की पसंद पर निर्भर नहीं करता है और इसे द्वारा निरूपित किया जाता है $Cone_{\omega }(X,d)\,$ या केवल $Cone_{\omega }(X)\,$ .

स्पर्शोन्मुख शंकु की धारणा ज्यामितीय समूह सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है क्योंकि स्पर्शोन्मुख शंकु (या, अधिक सटीक रूप से, उनके होमियोमोर्फिज्म और लिप्सचिट्ज़ निरंतरता | द्वि-लिप्सचिट्ज़ प्रकार) सामान्य रूप से और सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूहों में मीट्रिक रिक्त स्थान के अर्ध-आइसोमेट्री इनवेरिएंट प्रदान करते हैं। विशिष्ट।^[8] स्पर्शोन्मुख शंकु भी अपेक्षाकृत अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों और उनके सामान्यीकरण के अध्ययन में एक उपयोगी उपकरण बन जाते हैं।^[9]

यह भी देखें

आइसोमेट्री
मोटी संरचना

संदर्भ

↑ Bridson, Martin R. (2008), "Geometric and combinatorial group theory", in Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (eds.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, pp. 431–448, ISBN 978-0-691-11880-2
↑ ^2.0 ^2.1 P. de la Harpe, Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6
↑ R. B. Sher and R. J. Daverman (2002), Handbook of Geometric Topology, North-Holland. ISBN 0-444-82432-4.
↑ Schwartz, Richard (1995). "रैंक वन लैटिस का क्वैसी-आइसोमेट्री वर्गीकरण". I.H.É.S. Publications Mathématiques. 82: 133–168. doi:10.1007/BF02698639. S2CID 67824718.
↑ Charney, Ruth (1992), "Artin groups of finite type are biautomatic", Mathematische Annalen, 292: 671–683, doi:10.1007/BF01444642, S2CID 120654588
↑ Stephen G.Brick (1993). "अर्ध-आइसोमेट्री और समूहों के अंत". Journal of Pure and Applied Algebra. 86 (1): 23–33. doi:10.1016/0022-4049(93)90150-R.
↑ Day's first published use of the word is in his abstract for an AMS summer meeting in 1949, Means on semigroups and groups, Bull. A.M.S. 55 (1949) 1054–1055. Many text books on amenability, such as Volker Runde's, suggest that Day chose the word as a pun.
↑ John Roe. Lectures on Coarse Geometry. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2
↑ Cornelia Druţu and Mark Sapir (with an Appendix by Denis Osin and Mark Sapir), Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups. Topology, Volume 44 (2005), no. 5, pp. 959–1058.

[1] Bridson, Martin R. (2008), "Geometric and combinatorial group theory", in Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (eds.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, pp. 431–448, ISBN 978-0-691-11880-2

[Topics-2] 2.0 ^2.1 P. de la Harpe, Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6

[3] R. B. Sher and R. J. Daverman (2002), Handbook of Geometric Topology, North-Holland. ISBN 0-444-82432-4.

[4] Schwartz, Richard (1995). "रैंक वन लैटिस का क्वैसी-आइसोमेट्री वर्गीकरण". I.H.É.S. Publications Mathématiques. 82: 133–168. doi:10.1007/BF02698639. S2CID 67824718.

[charney-5] Charney, Ruth (1992), "Artin groups of finite type are biautomatic", Mathematische Annalen, 292: 671–683, doi:10.1007/BF01444642, S2CID 120654588

[6] Stephen G.Brick (1993). "अर्ध-आइसोमेट्री और समूहों के अंत". Journal of Pure and Applied Algebra. 86 (1): 23–33. doi:10.1016/0022-4049(93)90150-R.

[7] Day's first published use of the word is in his abstract for an AMS summer meeting in 1949, Means on semigroups and groups, Bull. A.M.S. 55 (1949) 1054–1055. Many text books on amenability, such as Volker Runde's, suggest that Day chose the word as a pun.

[Roe-8] John Roe. Lectures on Coarse Geometry. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2

[9] Cornelia Druţu and Mark Sapir (with an Appendix by Denis Osin and Mark Sapir), Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups. Topology, Volume 44 (2005), no. 5, pp. 959–1058.

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