अवशिष्ट (संख्यात्मक विश्लेषण)

For other uses, see Residual.

संक्षेप में कहें तो परिणाम में एक अवशेष Error#Experimental_science है। सटीक होने के लिए, मान लीजिए कि हम x को ऐसे खोजना चाहते हैं

$f(x)=b.$

एक सन्निकटन x दिया गया है₀ x का, शेष है

$b-f(x_{0})$

अर्थात्, f(x) घटाने के बाद दाहिनी ओर क्या बचता है₀) (इस प्रकार, नाम अवशिष्ट : जो बचा है, शेष)। दूसरी ओर, त्रुटि यह है

$x-x_{0}$

यदि x का सटीक मान ज्ञात नहीं है, तो अवशिष्ट की गणना की जा सकती है, जबकि त्रुटि की नहीं।

फ़ंक्शन के सन्निकटन का अवशेष

समान शब्दावली का उपयोग अंतर समीकरण, अभिन्न समीकरण और कार्यात्मक समीकरणों से निपटने के लिए किया जाता है। सन्निकटन के लिए $f_{\text{a}}$ समाधान का $f$ समीकरण का

$T(f)(x)=g(x)\,,$

अवशिष्ट या तो कार्य हो सकता है

$~g(x)~-~T(f_{\text{a}})(x)$,

या कह सकते हैं कि इस अंतर का मानक अधिकतम है

$\max _{x\in {\mathcal {X}}}|g(x)-T(f_{\text{a}})(x)|$

डोमेन पर ${\mathcal {X}}$, जहां समारोह $f_{\text{a}}$ लगभग समाधान की आशा की जाती है $f$,

या अंतर के किसी फ़ंक्शन का कुछ अभिन्न अंग, उदाहरण के लिए:

$\int _{\mathcal {X}}|g(x)-T(f_{\text{a}})(x)|^{2}~\mathrm {d} x.$

कई मामलों में, अवशिष्ट की लघुता का मतलब है कि अनुमान समाधान के करीब है, यानी,

$\left|{\frac {f_{\text{a}}(x)-f(x)}{f(x)}}\right|\ll 1.$

इन मामलों में, प्रारंभिक समीकरण को सुव्यवस्थित माना जाता है; और अवशिष्ट को सटीक समाधान से सन्निकटन के विचलन के माप के रूप में माना जा सकता है।

अवशेषों का उपयोग

जब कोई सटीक समाधान नहीं जानता है, तो वह छोटे अवशेषों के साथ अनुमान की तलाश कर सकता है।

अवशिष्ट गणित के कई क्षेत्रों में दिखाई देते हैं, जिनमें सामान्यीकृत न्यूनतम अवशिष्ट विधि जैसे पुनरावृत्त सॉल्वर भी शामिल हैं, जो अवशिष्ट को व्यवस्थित रूप से कम करके समीकरणों का समाधान ढूंढते हैं।