असतत मूल्यांकन

गणित में, असतत मूल्यांकन क्षेत्र (गणित) K पर पूर्णांक मूल्यांकन (बीजगणित) होता है। वह फलन (गणित) है।

$\nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$

कथनो को सम्पूर्ण करना:

$\nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)$

$\nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}$

$\nu (x)=\infty \iff x=0$

सभी के लिए $x,y\in K$.

ध्यान दें कि प्रायः नगण्य मूल्यांकन जो केवल मूल्यों पर होता है, $0,\infty$ स्पष्ट रूप से बहिष्कृत है।

गैर-नगण्य असतत मूल्यांकन वाले क्षेत्र को असतत मूल्यांकन क्षेत्र कहा जाता है।

असतत मूल्यांकन के वलय एवं क्षेत्रों पर मूल्यांकन

प्रत्येक क्षेत्र को $K$ असतत मूल्यांकन के साथ $\nu$ में उपवलय को युग्मित कर सकते हैं।

${\mathcal {O}}_{K}:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}$

$K$ का जो असतत मूल्यांकन वलय है। इसके विपरीत, मूल्यांकन $\nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$ असतत मूल्यांकन वलय पर भागफल क्षेत्र पर असतत मूल्यांकन के लिए $A$ को दृढ प्रविधि से बढ़ाया जा सकता है।

उदाहरण $K={\text{Quot}}(A)$; संबद्ध असतत मूल्यांकन वलय ${\mathcal {O}}_{K}$ $A$ है।

उदाहरण

• निश्चित अभाज्य संख्या के लिए $p$ एवं किसी भी तत्व के लिए $x\in \mathbb {Q}$ शून्य लेखन से भिन्न $x=p^{j}{\frac {a}{b}}$ , $j,a,b\in \mathbb {Z}$ है, क्यूंकि $p$ विभाजित नहीं करता $a,b$. तब $\nu (x)=j$ असतत मूल्यांकन है, $\mathbb {Q}$, जिसे पी-एडिक मूल्यांकन कहा जाता है।
• रीमैन सतह को देखते हुए $X$ क्षेत्र पर विचार कर सकते हैं I मेरोमॉर्फिक फलन की $K=M(X)$ $X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ निश्चित बिंदु के लिए $p\in X$ असतत मूल्यांकन को परिभाषित करते हैं, $K$ निम्नलिखितनुसार: $\nu (f)=j$ यदि केवल $j$ सबसे बड़ा पूर्णांक है, जैसे कि फलन $f(z)/(z-p)^{j}$ पर होलोमॉर्फिक फलन तक बढ़ाया जा सकता है, $p$ इसका अर्थ है: यदि $\nu (f)=j>0$ तब $f$ के निकट आदेश का आधार है, $j$ बिंदु पर $p$; यदि $\nu (f)=j<0$ तब $f$ के निकट आदेश का ध्रुव (समिष्ट विश्लेषण) $-j$ पर $p$ है, इसी प्रकार, प्रत्येक नियमित बिंदु के लिए बीजगणितीय वक्र के बीजगणितीय विविधता के फलन क्षेत्र पर असतत मूल्यांकन को भी परिभाषित करता है।

$p$ वक्र के असतत मूल्यांकन के वलय पर लेख में अधिक उदाहरण मिल सकते हैं।

संदर्भ

• Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht, eds. (1967), Algebraic Number Theory, Academic Press, Zbl 0153.07403
• Fesenko, Ivan B.; Vostokov, Sergei V. (2002), Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, vol. 121 (Second ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2, MR 1915966