अस्थिर प्रवाह के लिए परिमित मात्रा विधि

अस्थिर प्रवाह को प्रवाह के रूप में चित्रित किया जाता है जिसमें द्रव के गुण समय पर निर्भर होते हैं। यह गवर्निंग समीकरणों में परिलक्षित होता है क्योंकि गुणों का समय व्युत्पन्न अनुपस्थित है। अस्थिर प्रवाह के लिए परिमित-आयतन विधि का अध्ययन करने के लिए कुछ शासी समीकरण हैं >

शासी समीकरण

अस्थिर प्रवाह में एक अदिश के परिवहन के लिए संरक्षण समीकरण का सामान्य रूप है

${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} \left(\rho \phi \upsilon \right)=\operatorname {div} \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)+S_{\phi }$

$\rho$ घनत्व है और $\phi$ सभी द्रव प्रवाह का रूढ़िवादी रूप है,
$\Gamma$ प्रसार गुणांक है और $S$ स्रोत पद है। $\operatorname {div} \left(\rho \phi \upsilon \right)$ के प्रवाह की शुद्ध दर है $\phi$ द्रव तत्व से बाहर(संवहन),
$\operatorname {div} \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)$ की वृद्धि दर है $\phi$ प्रसार के कारण,
$S_{\phi }$ की वृद्धि दर है $\phi$ सूत्रों के कारण।

${\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}$ की वृद्धि दर है $\phi$ द्रव तत्व (क्षणिक) का,

समीकरण का पहला पद प्रवाह की अस्थिरता को दर्शाता है और स्थिर प्रवाह के मामले में अनुपस्थित है। गवर्निंग समीकरण का परिमित आयतन एकीकरण नियंत्रण आयतन पर और परिमित समय चरण ∆t पर भी किया जाता है।

$\int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left({\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{A}\left(n.{\rho \phi u}\,\mathrm {d} A\right)\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{A}\left(n\cdot \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)\,\mathrm {d} A\right)\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}S_{\phi }\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t$ समीकरण के स्थिर अवस्था भाग का नियंत्रण आयतन एकीकरण स्थिर अवस्था शासी समीकरण के एकीकरण के समान है। हमें समीकरण के अस्थिर घटक के एकीकरण पर ध्यान देने की जरूरत है। एकीकरण तकनीक का अनुभव प्राप्त करने के लिए, हम एक आयामी अस्थिर ऊष्मा चालन समीकरण का उल्लेख करते हैं।

$\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial {\frac {k\partial T}{\partial x}}}{\partial x}}+S$

$\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}{\frac {\partial {\frac {k\partial T}{\partial x}}}{\partial x}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}S\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t$

$\int _{e}^{w}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V=\int _{t}^{t+\Delta t}\left[\left(kA{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{e}-\left(kA{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{w}\right]\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V\,\mathrm {d} t$ अब, संपूर्ण नियंत्रण मात्रा में प्रचलित होने वाले नोड पर तापमान की धारणा रखते हुए, समीकरण के बाईं ओर के रूप में लिखा जा सकता है

$\int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V=\rho c\left(T_{P}-{T_{P}}^{O}\right)\Delta V$ पहले क्रम के पिछड़े अंतर योजना का उपयोग करके, हम समीकरण के दाहिने हाथ को इस रूप में लिख सकते हैं

$\rho c\left(T_{P}-{T_{P}}^{0}\right)\Delta V=\int _{t}^{t+\Delta t}\left[\left(K_{e}A{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}A{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)\right]\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V\,\mathrm {d} t$ अब समीकरण के दाहिने हाथ की ओर का मूल्यांकन करने के लिए हम एक वेटिंग पैरामीटर का उपयोग करते हैं $\theta$ 0 और 1 के बीच, और हम का एकीकरण लिखते हैं $T_{P}$

$I_{T}=\int _{t}^{t+\Delta t}T_{P}\,\mathrm {d} t=\left[\theta T_{P}-\left(1-\theta \right){T_{P}}^{0}\right]\Delta t$ अब, अंतिम असतत समीकरण का सटीक रूप के मान पर निर्भर करता है $\Theta$. विचरण के रूप में $\Theta$ 0<है $\Theta$ <1, गणना करने के लिए उपयोग की जाने वाली योजना $T_{P}$ के मान पर निर्भर करता है $\Theta$

विभिन्न योजनाएं

1. स्पष्ट योजना में स्पष्ट योजना स्रोत शब्द के रूप में रैखिक है $b=S_{u}+{S_{P}}{T_{P}}^{0}$. हम स्थानापन्न करते हैं $\theta =0$ स्पष्ट विवेक प्राप्त करने के लिए अर्थात:

$a_{P}T_{P}=a_{w}{T_{w}}^{0}+a_{e}{T_{e}}^{0}+\left[{a_{P}}^{0}-\left(a_{w}+a_{e}-S_{P}\right)\right]{T_{P}}^{0}+S_{u}$ कहां $a_{P}={a_{P}}^{0}$. एक बात ध्यान देने योग्य है कि दाहिने पक्ष में पुराने समय के कदम पर मान होते हैं और इसलिए समय में आगे मिलान करके बाईं ओर की गणना की जा सकती है। यह योजना पिछड़े अंतर पर आधारित है और इसकी टेलर श्रृंखला ट्रंकेशन त्रुटि समय के संबंध में पहला क्रम है। सभी गुणांक सकारात्मक होने चाहिए। निरंतर के और समान ग्रिड रिक्ति के लिए, $\delta x_{PE}=\delta x_{WP}=\Delta x$ इस शर्त के रूप में लिखा जा सकता है

$\rho c{\frac {\Delta x}{\Delta t}}>{\frac {2K}{\Delta x}}$ यह असमानता अधिकतम समय कदम पर एक कठोर स्थिति निर्धारित करती है जिसका उपयोग किया जा सकता है और योजना पर एक गंभीर सीमा का प्रतिनिधित्व करता है। स्थानिक सटीकता में सुधार करना बहुत महंगा हो जाता है क्योंकि वर्ग के रूप में अधिकतम संभव समय कदम को कम करने की आवश्यकता होती है $\Delta x$ 2. क्रैंक-निकोलसन योजना: क्रैंक-निकोलसन विधि सेटिंग से परिणामित होती है $\theta ={\frac {1}{2}}$. असतत अस्थिर ऊष्मा चालन समीकरण बन जाता है

$a_{P}T_{P}=a_{E}\left[{\frac {T_{E}+{T_{E}}^{0}}{2}}\right]+a_{W}\left[{\frac {T_{W}+{T_{W}}^{0}}{2}}\right]+\left[{a_{P}}^{0}-{\frac {a_{E}}{2}}-{\frac {a_{W}}{2}}\right]{T_{P}}^{0}+b$ कहां $a_{P}={\frac {a_{W}+a_{E}}{2}}+{a_{P}}^{0}-{\frac {S_{P}}{2}}$ चूंकि नए समय स्तर पर टी के एक से अधिक अज्ञात मूल्य समीकरण में मौजूद हैं, यह विधि अंतर्निहित है और सभी नोड बिंदुओं के लिए एक साथ समीकरणों को प्रत्येक समय कदम पर हल करने की आवश्यकता है। हालांकि योजनाओं के साथ ${\frac {1}{2}}<\theta <1$ क्रैंक-निकोलसन योजना सहित, समय कदम के सभी मूल्यों के लिए बिना शर्त स्थिर हैं यह सुनिश्चित करना अधिक महत्वपूर्ण है कि सभी गुणांक शारीरिक रूप से यथार्थवादी और बाध्य परिणामों के लिए सकारात्मक हैं। यह मामला है अगर का गुणांक ${T_{P}}^{0}$ निम्नलिखित शर्त को संतुष्ट करता है

${a_{P}}^{0}=\left[{\frac {a_{E}+a_{W}}{2}}\right]$ जिससे होता है

$\Delta t<\rho c{\frac {\Delta x^{2}}{K}}$ क्रैंक-निकोलसन केंद्रीय भिन्नता पर आधारित है और इसलिए समय में दूसरा क्रम सटीक है। संगणना की समग्र सटीकता भी स्थानिक अंतर अभ्यास पर निर्भर करती है, इसलिए क्रैंक-निकोलसन योजना का उपयोग आम तौर पर स्थानिक केंद्रीय अंतर के संयोजन के साथ किया जाता है।

3. पूरी तरह से निहित योजना जब Ѳ का मान 1 पर सेट होता है तो हमें पूरी तरह से अंतर्निहित योजना मिलती है। विवेकाधीन समीकरण है:

$a_{P}T_{P}=a_{W}T_{W}+a_{E}T_{E}+{a_{P}}^{0}{T_{P}}^{0}+S_{u}$

$a_{P}={a_{P}}^{0}+a_{W}+a_{E}-S_{P}$ समीकरण के दोनों पक्षों में नए समय के चरण में तापमान होता है, और बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को प्रत्येक समय स्तर पर हल किया जाना चाहिए। टाइम मार्चिंग प्रक्रिया तापमान के दिए गए प्रारंभिक क्षेत्र से शुरू होती है $T^{0}$. समय चरण का चयन करने के बाद समीकरणों की प्रणाली हल हो जाती है $\Delta t$. अगला समाधान $T$ को सौंपा गया है $T^{0}$ और समाधान को आगे के समय कदम से आगे बढ़ाने के लिए प्रक्रिया को दोहराया जाता है। यह देखा जा सकता है कि सभी गुणांक सकारात्मक हैं, जो किसी भी आकार के समय कदम के लिए निहित योजना को बिना शर्त स्थिर बनाता है। चूंकि योजना की सटीकता समय में केवल प्रथम-क्रम है, परिणामों की सटीकता सुनिश्चित करने के लिए छोटे समय के चरणों की आवश्यकता होती है। इसकी मजबूती और बिना शर्त स्थिरता के कारण सामान्य उद्देश्य क्षणिक गणनाओं के लिए अंतर्निहित विधि की सिफारिश की जाती है

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