आंशिक तुल्यता संबंध

गणित में, आंशिक तुल्यता संबंध (प्रायः संक्षिप्त रूप में पीईआर, पुराने साहित्य में प्रतिबंधित तुल्यता संबंध भी कहा जाता है)^[1] समघात द्विआधारी (बाइनरी) संबंध है जो सममित संबंध और सकर्मक संबंध है। यदि संबंध भी परावर्ती संबंध है, तो संबंध एक तुल्यता संबंध है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, संबंध $R$ समुच्चय पर $X$ एक आंशिक तुल्यता संबंध है यदि यह सभी $a,b,c\in X$ के लिए धारण करता है कि:

यदि $aRb$ , तब $bRa$ (समरूपता)
यदि $aRb$ और $bRc$ , तब $aRc$ (संक्रमणशीलता)

अन्य अधिक सहज परिभाषा यह है कि समुच्चय $X$ पर $R$ आंशिक तुल्यता संबंध है यदि $X$ का कुछ उपसमुच्चय $Y$ है जैसे कि $R\subseteq Y\times Y$ और $R$ , $Y$ पर तुल्यता संबंध है $Y=\{x\in X\mid x\,R\,x\}$ को लेकर दो परिभाषाओं को समतुल्य देखा जाता है।^[2]

गुण और अनुप्रयोग

समुच्चय $X$ पर आंशिक तुल्यता संबंध $R$ के लिए निम्नलिखित गुण धारण करते हैं:

$R$ उपसमुच्चय $Y=\{x\in X\mid x\,R\,x\}\subseteq X$ पर समतुल्य संबंध है।^{[note 1]}
द्वि-फलनात्मक: संबंध समुच्चय $\{(a,b)\mid fa=gb\}$ दो आंशिक फलनों के लिए $f,g:X\rightharpoonup Y$ और कुछ संकेतक समुच्चय $Y$ के लिए है
दाएं और बाएं यूक्लिडियन संबंध: $a,b,c\in X$ के लिए $aRb$ और $aRc$ का तात्पर्य $bRc$ है, और इसी तरह बाएँ यूक्लिडियन के लिए $bRa$ और $cRa$ का तात्पर्य $bRc$ है
अर्ध-प्रतिवर्ती संबंध: यदि $x,y\in X$ और $xRy$ , तब $xRx$ और $yRy$ है।^[3]^{[note 2]}

इनमें से कोई भी गुण यह बताने के लिए पर्याप्त नहीं है कि संबंध आंशिक समतुल्य संबंध है।^{[note 3]}

गैर-समुच्चय-सिद्धांत समुच्चय में

प्ररूप सिद्धांत में, रचनात्मक गणित और कंप्यूटर विज्ञान के लिए उनके अनुप्रयोग, उप-समुच्चय के एनालॉग्स का निर्माण प्रायः समस्याग्रस्त होता है^[4]-इन संदर्भों में आंशिक समतुल्य संबंध का अधिक सामान्य रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से सेटोइड्स, को परिभाषित करने के लिए, जिसे कभी-कभी आंशिक सेटोइड् कहा जाता है। एक प्ररूप और आंशिक समतुल्य संबंध से एक आंशिक सेटोइड् बनाना उत्कृष्ट समुच्चय-सैद्धांतिक गणित में उपसमुच्चय और भागफल बनाने के समान है।

सर्वांगसम संबंध की बीजगणितीय धारणा को भी आंशिक तुल्यता के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिससे उप-सर्वांगसमता की धारणा उत्पन्न होती है, अर्थात समरूपी संबंध जो सममित और सकर्मक है, लेकिन अनिवार्य रूप से प्रतिवर्ती नहीं है।^[5]

उदाहरण

आंशिक समतुल्य संबंध का एक सरल उदाहरण जो तुल्यता संबंध नहीं है, शून्य संबंध $R=\emptyset$ है, यदि $X$ शून्य नहीं है।

आंशिक फलनों के कर्नेल

यदि $f$ समुच्चय पर $A$ आंशिक फलन है, तो संबंध $\approx$ द्वारा परिभाषित किया गया है

x\approx y

यदि

f

को

x

पर परिभाषित किया गया है, और यदि

f

को

y

पर परिभाषित किया गया है, तब

f(x)=f(y)

आंशिक तुल्यता संबंध है, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से सममित और संक्रामक है।

यदि $f$ कुछ तत्वों पर अपरिभाषित है, तो $\approx$ तुल्यता संबंध नहीं है। यदि यह प्रतिवर्ती नहीं है क्योंकि यदि $f(x)$ परिभाषित नहीं किया गया है तो $x\not \approx x$ - वास्तव में, $x$ के लिए कोई $y\in A$ नहीं है जैसे कि $x\approx y$ है। यह तुरंत अनुसरण करता है कि का सबसे बड़ा उपसमुच्चय $A$ जिस पर $\approx$ एक तुल्यता संबंध ठीक वही उपसमुच्चय है जिस पर $f$ परिभाषित किया गया है।

तुल्यता संबंधों का सम्मान करने वाले फलन

मान लीजिए कि X और Y तुल्यता संबंध (या आंशिक समतुल्य संबंध) से युक्त समुच्चय $\approx _{X},\approx _{Y}$ हैं, $f,g:X\to Y$ के लिए परिभाषित करना $f\approx g$ का तात्पर्य है:

\forall x_{0}\;x_{1},\quad x_{0}\approx _{X}x_{1}\Rightarrow f(x_{0})\approx _{Y}g(x_{1})

तब $f\approx f$ का अर्थ है कि f भागफल के एक अच्छी तरह से परिभाषित फलन $X/{\approx _{X}}\;\to \;Y/{\approx _{Y}}$ को प्रेरित करता है। इस प्रकार, आंशिक समतुल्य संबंध $\approx$ भागफल पर परिभाषितता के विचार और भागफल पर समान फलन को प्रेरित करने वाले दो फलनों को प्रग्रहण करता है।

विद्युत और इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर संस्थान चल बिंदु मानों की समानता

विद्युत और इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर संस्थान (आईईईई) 754:2008 चल बिंदु मानक चल बिंदु मानों के लिए "ईक्यू" संबंध को परिभाषित करता है। यह निर्धारक सममित और सकर्मक है, लेकिन एनएएन (संख्या नहीं) मानों की उपस्थिति के कारण प्रतिवर्त नहीं है जो स्वयं के लिए ईक्यू नहीं हैं।

↑ By construction, $R$ is reflexive on $Y$ and therefore an equivalence relation on $Y$ .
↑ This follows since if $xRy$ , then $yRx$ by symmetry, so $xRx$ and $yRy$ by transitivity. It is also a consequence of the Euclidean properties.
↑ For the equivalence relation, consider the set $E=\{a,b,c,d\}$ and the relation $R=\{a,b,c\}^{2}\cup \{(d,a)\}$ . $R$ is an equivalence relation on $\{a,b,c\}$ but not a PER on $E$ since it is neither symmetric ( $dRa$ , but not $aRd$ ) nor transitive ( $dRa$ and $aRb$ , but not $dRb$ ). For Euclideanness, xRy on natural numbers, defined by 0 ≤ x ≤ y+1 ≤ 2, is right Euclidean, but neither symmetric (since e.g. 2R1, but not 1R2) nor transitive (since e.g. 2R1 and 1R0, but not 2R0).

संदर्भ

↑ Scott, Dana (September 1976). "जाली के रूप में डेटा प्रकार". SIAM Journal on Computing. 5 (3): 560. doi:10.1137/0205037.
↑ Mitchell, John C. (1996). प्रोग्रामिंग भाषाओं के लिए नींव. Cambridge, Mass.: MIT Press. pp. 364–365. ISBN 0585037892.
↑ Encyclopaedia Britannica (EB); although EB's notion of quasi-reflexivity is Wikipedia's notion of left quasi-reflexivity, they coincide for symmetric relations.
↑ Salveson, A.; Smith, J.M. (1988). "The strength of the subset type in Martin-Lof's type theory". [1988] Proceedings. Third Annual Information Symposium on Logic in Computer Science. pp. 384–391. doi:10.1109/LICS.1988.5135. ISBN 0-8186-0853-6. S2CID 15822016.
↑ J. Lambek (1996). "The Butterfly and the Serpent". In Aldo Ursini; Paulo Agliano (eds.). तर्क और बीजगणित. CRC Press. pp. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.

[3] By construction, $R$ is reflexive on $Y$ and therefore an equivalence relation on $Y$ .

[5] This follows since if $xRy$ , then $yRx$ by symmetry, so $xRx$ and $yRy$ by transitivity. It is also a consequence of the Euclidean properties.

[6] For the equivalence relation, consider the set $E=\{a,b,c,d\}$ and the relation $R=\{a,b,c\}^{2}\cup \{(d,a)\}$ . $R$ is an equivalence relation on $\{a,b,c\}$ but not a PER on $E$ since it is neither symmetric ( $dRa$ , but not $aRd$ ) nor transitive ( $dRa$ and $aRb$ , but not $dRb$ ). For Euclideanness, xRy on natural numbers, defined by 0 ≤ x ≤ y+1 ≤ 2, is right Euclidean, but neither symmetric (since e.g. 2R1, but not 1R2) nor transitive (since e.g. 2R1 and 1R0, but not 2R0).

[1] Scott, Dana (September 1976). "जाली के रूप में डेटा प्रकार". SIAM Journal on Computing. 5 (3): 560. doi:10.1137/0205037.

[2] Mitchell, John C. (1996). प्रोग्रामिंग भाषाओं के लिए नींव. Cambridge, Mass.: MIT Press. pp. 364–365. ISBN 0585037892.

[4] Encyclopaedia Britannica (EB); although EB's notion of quasi-reflexivity is Wikipedia's notion of left quasi-reflexivity, they coincide for symmetric relations.

[7] Salveson, A.; Smith, J.M. (1988). "The strength of the subset type in Martin-Lof's type theory". [1988] Proceedings. Third Annual Information Symposium on Logic in Computer Science. pp. 384–391. doi:10.1109/LICS.1988.5135. ISBN 0-8186-0853-6. S2CID 15822016.

[8] J. Lambek (1996). "The Butterfly and the Serpent". In Aldo Ursini; Paulo Agliano (eds.). तर्क और बीजगणित. CRC Press. pp. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.

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आंशिक तुल्यता संबंध

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