आईईईई 754

फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित (आईईईई 754) के लिए आईईईई मानक विद्युत और इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर्स संस्थान (आईईईई) द्वारा 1985 में स्थापित फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के लिए एक तकनीकी मानक है। मानक फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित # IEEE 754 डिज़ाइन औचित्य विविध फ़्लोटिंग-पॉइंट कार्यान्वयनों में पाया गया जिसने उन्हें मज़बूती से और सॉफ़्टवेयर पोर्टेबिलिटी का उपयोग करना मुश्किल बना दिया। कई हार्डवेयर फ़्लोटिंग-पॉइंट इकाइयां आईईईई 754 मानक का उपयोग करती हैं।

मानक परिभाषित करता है:

• अंकगणितीय प्रारूप: बाइनरी कोड और दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट डेटा के सेट, जिसमें परिमित संख्याएँ (हस्ताक्षरित शून्य और असामान्य संख्या सहित), अनंत, और विशेष संख्या मान (NaNs) शामिल नहीं हैं।
• इंटरचेंज फॉर्मेट: एनकोडिंग (बिट स्ट्रिंग्स) जिनका उपयोग फ्लोटिंग-पॉइंट डेटा को एक कुशल और कॉम्पैक्ट रूप में एक्सचेंज करने के लिए किया जा सकता है
• गोलीकरण नियम: अंकगणित और रूपांतरण के दौरान संख्याओं को पूर्णांकित करते समय संतुष्ट होने के गुण
• संचालन: अंकगणितीय और अन्य संक्रियाएं (जैसे त्रिकोणमितीय कार्य) अंकगणितीय स्वरूपों पर
• अपवाद से निपटने: असाधारण स्थितियों के संकेत (जैसे शून्य से विभाजन, अतिप्रवाह, आदि)

आईईईई 754-2008 संशोधन|आईईईई 754-2008, अगस्त 2008 में प्रकाशित हुआ, इसमें लगभग सभी मूल आईईईई 754-1985 मानक, साथ ही आईईईई 854-1987|आईईईई 854-1987 रेडिक्स-इंडिपेंडेंट फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के लिए मानक शामिल हैं। वर्तमान संस्करण, IEEE 754-2019, जुलाई 2019 में प्रकाशित हुआ था। यह पिछले संस्करण का एक मामूली संशोधन है, जिसमें मुख्य रूप से स्पष्टीकरण, दोष सुधार और नए अनुशंसित संचालन शामिल हैं।

मानक विकास

फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के लिए पहला मानक, IEEE 754-1985, 1985 में प्रकाशित हुआ था। इसमें केवल बाइनरी फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित शामिल था।

एक नया संस्करण, आईईईई 754-2008 संशोधन | आईईईई 754-2008, सात साल की संशोधन प्रक्रिया के बाद, अगस्त 2008 में प्रकाशित हुआ था, जिसकी अध्यक्षता डैन ज़ुरास ने की थी और माइक काउलीशॉ द्वारा संपादित किया गया था। इसने आईईईई 754-1985 (बाइनरी फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित) और आईईईई 854-1987 | आईईईई 854-1987 स्टैंडर्ड फॉर रेडिक्स-इंडिपेंडेंट फ्लोटिंग-पॉइंट अरिथमेटिक दोनों को बदल दिया। मूल मानक में बाइनरी प्रारूप इस नए मानक में तीन नए मूल स्वरूपों, एक बाइनरी और दो दशमलव के साथ शामिल हैं। वर्तमान मानक के अनुरूप होने के लिए, एक कार्यान्वयन को मूल स्वरूपों में से कम से कम एक अंकगणितीय प्रारूप और एक इंटरचेंज प्रारूप दोनों के रूप में लागू करना चाहिए।

अंतर्राष्ट्रीय मानक आईएसओ/आईईसी/आईईईई 60559:2011 (आईईईई 754-2008 के समान सामग्री के साथ) को आईएसओ/आईईईई पीएसडीओ समझौते के तहत अंतरराष्ट्रीय मानकीकरण संगठन/अंतर्राष्ट्रीय इलेक्ट्रोटेक्निकल कमीशन आईएसओ/आईईसी जेटीसी1/एससी 25 के माध्यम से अपनाने के लिए अनुमोदित किया गया है। और प्रकाशित। जुलाई 2019 में प्रकाशित वर्तमान संस्करण, IEEE 754-2019, IEEE 754-2008 से लिया गया है और सितंबर 2015 में शुरू हुई एक संशोधन प्रक्रिया के बाद, डेविड जी। होफ की अध्यक्षता में और माइक काउलीशॉ द्वारा संपादित किया गया है। इसमें मुख्य रूप से स्पष्टीकरण (उदा. TotalOrder) और दोष सुधार (उदा. minNum) शामिल हैं, लेकिन इसमें कुछ नए अनुशंसित संचालन (उदा. संवर्धित अतिरिक्त) भी शामिल हैं। अंतर्राष्ट्रीय मानक ISO/IEC 60559:2020 (IEEE 754-2019 के समान सामग्री के साथ) को ISO/IEC ISO/IEC JTC1/SC 25 के माध्यम से अपनाने के लिए अनुमोदित किया गया है और प्रकाशित किया गया है। मानक का अगला अनुमानित संशोधन 2028 में है।

प्रारूप

एक आईईईई 754 प्रारूप संख्यात्मक मूल्यों और प्रतीकों के प्रतिनिधित्व का एक सेट है। एक प्रारूप में यह भी शामिल हो सकता है कि सेट को कैसे एन्कोड किया गया है। एक फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है

• एक आधार (जिसे मूलांक भी कहा जाता है) b, जो IEEE 754 में या तो 2 (बाइनरी) या 10 (दशमलव) है;
• एक सटीक पी;
• सभी आईईईई 754 प्रारूपों के लिए एमिन = 1 - ईमैक्स के साथ एमिन से ईमैक्स तक एक एक्सपोनेंट रेंज।

एक प्रारूप में शामिल हैं

• परिमित संख्याएँ, जिन्हें तीन पूर्णांकों द्वारा वर्णित किया जा सकता है: s = एक चिह्न (शून्य या एक), c = एक महत्व (या गुणांक) जिसमें आधार b में लिखे जाने पर p अंकों से अधिक नहीं होता है (अर्थात, के माध्यम से श्रेणी में एक पूर्णांक 0 से बी^p − 1), और q = एक घातांक जैसे कि emin q + p − 1 emax। ऐसी परिमित संख्या का संख्यात्मक मान है (−1)^s × c × b^q. इसके अलावा, दो शून्य मान हैं, जिन्हें हस्ताक्षरित शून्य कहा जाता है: साइन बिट निर्दिष्ट करता है कि क्या शून्य +0 (सकारात्मक शून्य) या −0 (ऋणात्मक शून्य) है।
• दो अनंत: +∞ और −∞।
• दो प्रकार के NaN (नॉन-ए-नंबर): एक शांत NaN (qNaN) और एक सिग्नलिंग NaN (sNaN)।

उदाहरण के लिए, यदि b = 10, p = 7, और इमैक्स = 96, तो emin = -95, महत्व और 0 ≤ c को संतुष्ट करता है 9999999, और घातांक −101 q ≤ 90 को संतुष्ट करता है। नतीजतन, सबसे छोटी गैर-शून्य सकारात्मक संख्या जिसका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है वह है 1×10⁻¹⁰¹, और सबसे बड़ा 9999999×10 . है⁹⁰ (9.999999×10 .)⁹⁶), इसलिए संख्याओं की पूरी श्रृंखला −9.999999×10 . है⁹⁶ से 9.999999×10 . तक⁹⁶. संख्या -बी^{1−इमैक्स} और b^1−emax (यहां, −1×10⁻⁹⁵ और 1×10⁻⁹⁵) सबसे छोटी (परिमाण में) सामान्य संख्याएं हैं; इन सबसे छोटी संख्याओं के बीच की गैर-शून्य संख्याएँ असामान्य संख्याएँ कहलाती हैं।

स्मृति में प्रतिनिधित्व और एन्कोडिंग

कुछ संख्याओं में कई संभावित घातीय प्रारूप प्रतिनिधित्व हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि b = 10, और p = 7, तो −12.345 को −12345×10 द्वारा दर्शाया जा सकता है⁻³, −123450×10⁻⁴, और -1234500×10^-5. हालांकि, अधिकांश संचालन के लिए, जैसे अंकगणितीय संचालन, परिणाम (मान) इनपुट के प्रतिनिधित्व पर निर्भर नहीं करता है।

दशमलव प्रारूपों के लिए, कोई भी प्रतिनिधित्व मान्य है, और इन अभ्यावेदन के सेट को कोहोर्ट कहा जाता है। जब किसी परिणाम में कई प्रतिनिधित्व हो सकते हैं, तो मानक निर्दिष्ट करता है कि कोहोर्ट का कौन सा सदस्य चुना गया है।

बाइनरी प्रारूपों के लिए, प्रतिनिधित्व को सबसे छोटा प्रतिनिधित्व करने योग्य एक्सपोनेंट चुनकर मूल्य को बिल्कुल प्रदर्शित करने की इजाजत दी जाती है। इसके अलावा, घातांक को सीधे प्रदर्शित नहीं किया जाता है, लेकिन एक घातांक पूर्वाग्रह जोड़ा जाता है ताकि सबसे छोटे प्रतिनिधित्व योग्य घातांक को 1 के रूप में दर्शाया जा सके, जिसमें 0 का उपयोग असामान्य संख्याओं के लिए किया जाता है। सामान्य श्रेणी में एक घातांक के साथ संख्याओं के लिए (घातांक क्षेत्र न तो सभी हैं और न ही सभी शून्य हैं), महत्व का अग्रणी बिट हमेशा 1 होगा। नतीजतन, मेमोरी एन्कोडिंग में स्पष्ट रूप से मौजूद होने के बजाय एक अग्रणी 1 को निहित किया जा सकता है, और मानक के तहत महत्व का स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व किया गया हिस्सा 0 और 1 के बीच होगा। इस नियम को अग्रणी बिट सम्मेलन, निहित बिट सम्मेलन, या छुपा बिट सम्मेलन कहा जाता है। यह नियम बाइनरी प्रारूप को अतिरिक्त सटीकता की अनुमति देता है। अग्रणी बिट कन्वेंशन का उपयोग असामान्य संख्याओं के लिए नहीं किया जा सकता है क्योंकि उनके पास सामान्य घातांक सीमा के बाहर एक घातांक होता है और सबसे छोटे प्रतिनिधित्व वाले घातांक द्वारा स्केल होता है जैसा कि सबसे छोटी सामान्य संख्याओं के लिए उपयोग किया जाता है।

कई एन्कोडिंग की संभावना के कारण (कम से कम प्रारूपों में इंटरचेंज प्रारूप कहा जाता है), एक NaN में अन्य जानकारी हो सकती है: एक साइन बिट (जिसका कोई अर्थ नहीं है, लेकिन कुछ संचालन द्वारा उपयोग किया जा सकता है) और एक पेलोड, जो निदान के लिए अभिप्रेत है NaN के स्रोत को इंगित करने वाली जानकारी (लेकिन पेलोड के अन्य उपयोग भी हो सकते हैं, जैसे NaN-बॉक्सिंग).

मूल और इंटरचेंज प्रारूप

मानक पांच बुनियादी प्रारूपों को परिभाषित करता है जिन्हें उनके संख्यात्मक आधार और उनके इंटरचेंज एन्कोडिंग में उपयोग किए जाने वाले बिट्स की संख्या के लिए नामित किया गया है। तीन बाइनरी फ़्लोटिंग-पॉइंट मूल प्रारूप (32, 64 या 128 बिट्स के साथ एन्कोडेड) और दो दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट मूल प्रारूप (64 या 128 बिट्स के साथ एन्कोडेड) हैं। बाइनरी 32 और बाइनरी 64 प्रारूप क्रमशः आईईईई 754-1985 के सिंगल और डबल प्रारूप हैं। एक अनुरूप कार्यान्वयन को कम से कम एक बुनियादी प्रारूप को पूरी तरह से लागू करना चाहिए।

मानक #Interchange स्वरूपों को भी परिभाषित करता है, जो इन मूल स्वरूपों को सामान्य बनाते हैं। बाइनरी प्रारूपों के लिए, अग्रणी बिट सम्मेलन की आवश्यकता होती है। निम्न तालिका सबसे छोटे इंटरचेंज प्रारूपों (मूल वाले सहित) को सारांशित करती है।

Name	Common name	Base	Significand bits or digits	Decimal digits	Exponent bits	Decimal E max	Exponent bias	E min	E max	Notes
binary16	Half precision	2	11	3.31	5	4.51	24−1 = 15	−14	+15	not basic
binary32	Single precision	2	24	7.22	8	38.23	27−1 = 127	−126	+127
binary64	Double precision	2	53	15.95	11	307.95	210−1 = 1023	−1022	+1023
binary128	Quadruple precision	2	113	34.02	15	4931.77	214−1 = 16383	−16382	+16383
binary256	Octuple precision	2	237	71.34	19	78913.2	218−1 = 262143	−262142	+262143	not basic
decimal32		10	7	7	7.58	96	101	−95	+96	not basic
decimal64		10	16	16	9.58	384	398	−383	+384
decimal128		10	34	34	13.58	6144	6176	−6143	+6144

ध्यान दें कि ऊपर दी गई तालिका में, सूचीबद्ध न्यूनतम घातांक सामान्य संख्याओं के लिए हैं; विशेष असामान्य संख्या का प्रतिनिधित्व भी छोटी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है (सटीकता के कुछ नुकसान के साथ)। उदाहरण के लिए, बाइनरी 64 में प्रदर्शित की जा सकने वाली सबसे छोटी सकारात्मक संख्या 2 . है^-1074; -1074 के आंकड़े में योगदान में ई न्यूनतम मान -1022 और 53 महत्व और बिट्स में से एक को छोड़कर सभी शामिल हैं (2^{−1022 − (53 − 1)} = 2^-1074)।

दशमलव अंक अंक हैं × लॉग₁₀ आधार। यह दशमलव अंकों की संख्या में अनुमानित सटीकता देता है।

दशमलव ई अधिकतम Emax × log . है₁₀ आधार। यह अधिकतम दशमलव घातांक का अनुमानित मान देता है।

बाइनरी 32 (एकल) और बाइनरी 64 (डबल) प्रारूप आज उपयोग किए जाने वाले दो सबसे आम प्रारूप हैं। नीचे दिया गया आंकड़ा दोनों प्रारूपों के लिए मूल्यों की एक श्रृंखला पर पूर्ण सटीकता दिखाता है। इस आंकड़े का उपयोग किसी संख्या के अपेक्षित मूल्य और आवश्यक सटीकता को देखते हुए एक उपयुक्त प्रारूप का चयन करने के लिए किया जा सकता है।

10 . की सीमा में बाइनरी32 और बाइनरी64 की शुद्धता^-12 से 10 . तक¹²

एकल-सटीक फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप के लिए लेआउट का एक उदाहरण | 32-बिट फ़्लोटिंग पॉइंट है और डबल-सटीक फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप।

विस्तारित और विस्तारित सटीक प्रारूप

मानक वैकल्पिक विस्तारित सटीक और विस्तार योग्य सटीक प्रारूप निर्दिष्ट करता है, जो मूल स्वरूपों की तुलना में अधिक सटीकता प्रदान करते हैं। एक विस्तारित सटीक प्रारूप अधिक सटीक और अधिक घातांक श्रेणी का उपयोग करके एक मूल प्रारूप का विस्तार करता है। एक विस्तार योग्य सटीक प्रारूप उपयोगकर्ता को सटीक और घातांक श्रेणी निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है। एक कार्यान्वयन ऐसे प्रारूपों के लिए जो भी आंतरिक प्रतिनिधित्व चुनता है उसका उपयोग कर सकता है; जिन सभी को परिभाषित करने की आवश्यकता है, वे इसके पैरामीटर (बी, पी, और इमैक्स) हैं। ये पैरामीटर विशिष्ट रूप से परिमित संख्याओं (दिए गए मूलांक के लिए चिह्न, महत्व और घातांक के संयोजन) के सेट का वर्णन करते हैं जो यह प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।

मानक अनुशंसा करता है कि भाषा मानक प्रत्येक समर्थित आधार b के लिए p और emax निर्दिष्ट करने की एक विधि प्रदान करते हैं। मानक अनुशंसा करता है कि भाषा मानक और कार्यान्वयन एक विस्तारित प्रारूप का समर्थन करते हैं जिसमें प्रत्येक मूलांक b के लिए समर्थित सबसे बड़े मूल प्रारूप की तुलना में अधिक सटीकता होती है। दो बुनियादी प्रारूपों के बीच एक सटीक के साथ एक विस्तारित प्रारूप के लिए घातांक सीमा अगले व्यापक मूल प्रारूप के समान ही महान होनी चाहिए। तो उदाहरण के लिए 64-बिट विस्तारित सटीक बाइनरी संख्या में कम से कम 16383 का 'इमैक्स' होना चाहिए। x87 विस्तारित परिशुद्धता # x86 विस्तारित सटीक प्रारूप | 80-बिट विस्तारित प्रारूप इस आवश्यकता को पूरा करता है।

इंटरचेंज प्रारूप

इंटरचेंज प्रारूप किसी दिए गए प्रारूप के लिए निश्चित लंबाई की बिट स्ट्रिंग का उपयोग करके फ़्लोटिंग-पॉइंट डेटा के आदान-प्रदान के लिए अभिप्रेत हैं।

बाइनरी

बाइनरी फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों के आदान-प्रदान के लिए, लंबाई 16 बिट्स, 32 बिट्स, 64 बिट्स, और 32 बिट्स 128 के किसी भी गुणक के इंटरचेंज प्रारूप परिभाषित किया गया हैं। 16-बिट प्रारूप छोटी संख्याओं के आदान-प्रदान या भंडारण के लिए अभिप्रेत है (उदाहरण के लिए, ग्राफिक्स के लिए)।

इन बाइनरी इंटरचेंज प्रारूपों के लिए एन्कोडिंग योजना आईईईई 754-1985 के समान है: एक साइन बिट, उसके बाद डब्ल्यू एक्सपोनेंट बिट्स जो एक्सपोनेंट पूर्वाग्रह द्वारा एक्सपोनेंट ऑफ़सेट का वर्णन करते हैं, और पी -1 बिट्स जो महत्व का वर्णन करते हैं। k-बिट प्रारूप के लिए घातांक फ़ील्ड की चौड़ाई की गणना w = राउंड(4 log . के रूप में की जाती है)₂(के)) - 13. मौजूदा 64- और 128-बिट प्रारूप इस नियम का पालन करते हैं, लेकिन 16- और 32-बिट प्रारूपों में इस सूत्र (क्रमशः 3 और 7) की तुलना में अधिक घातांक बिट्स (क्रमशः 5 और 8) हैं। .

आईईईई 754-1985 के साथ के रूप में, पक्षपाती-घातांक फ़ील्ड सभी 1 बिट्स से भरा होता है जो या तो अनंत (पिछला महत्व और फ़ील्ड = 0) या एक NaN (पिछला महत्व और फ़ील्ड ≠ 0) इंगित करता है। NaN के लिए, शांत NaN और सिग्नलिंग NaN को विशेष रूप से अनुगामी महत्व और क्षेत्र के सबसे महत्वपूर्ण बिट का उपयोग करके प्रतिष्ठित किया जाता है, और पेलोड शेष बिट्स में ले जाया जाता है।

दशमलव

दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों के आदान-प्रदान के लिए, 32 बिट्स के किसी भी गुणक के इंटरचेंज प्रारूप परिभाषित किए गए हैं। बाइनरी इंटरचेंज के साथ, दशमलव इंटरचेंज प्रारूपों के लिए एन्कोडिंग योजना साइन, एक्सपोनेंट और महत्व को एन्कोड करती है। दो अलग-अलग बिट-स्तरीय एन्कोडिंग को परिभाषित किया गया है, और इंटरचेंज इस तथ्य से जटिल है कि उपयोग में एन्कोडिंग के कुछ बाहरी संकेतक की आवश्यकता हो सकती है।

दो विकल्प महत्व को अनुमति देते हैं और घनी पैक दशमलव का उपयोग करके या वैकल्पिक रूप से, बाइनरी पूर्णांक दशमलव के रूप में दशमलव अंकों के संकुचित अनुक्रम के रूप में एन्कोड किया जा सकता है। मानक के प्रत्यक्ष हार्डवेयर कार्यान्वयन के लिए पूर्व अधिक सुविधाजनक है, जबकि बाद वाला बाइनरी कंप्यूटर पर सॉफ़्टवेयर अनुकरण के लिए अधिक उपयुक्त है। किसी भी मामले में, संख्याओं का सेट (संकेत, महत्व और घातांक का संयोजन) जो एन्कोड किया जा सकता है, समान है, और फ़्लोटिंग पॉइंट # विशेष मान (न्यूनतम घातांक के साथ ± शून्य, ± अनंत, शांत NaN, और सिग्नलिंग NaN) है समान एन्कोडिंग।

गोल करने के नियम

मानक पांच राउंडिंग नियमों को परिभाषित करता है। पहले दो नियम निकटतम मान के लिए चक्कर लगाते हैं; अन्य को निर्देशित गोलाई कहा जाता है:

निकटतम करने के लिए गोलाई

• गोलाई#आधा से सम को गोल करें|निकटतम को गोल करें, सम से टाई करें - निकटतम मान पर गोल करें; यदि संख्या बीच में ही गिरती है, तो इसे सबसे कम महत्वपूर्ण अंक के साथ निकटतम मान तक पूर्णांकित किया जाता है।
• गोल करना#शून्य से आधा दूर चक्कर लगाना|निकटतम को गोल करना, शून्य से दूर संबंध बनाना (या दूर से संबंध बनाना)  - निकटतम मान पर चक्कर लगाना; यदि संख्या बीच में गिरती है, तो इसे ऊपर (सकारात्मक संख्याओं के लिए) या नीचे (ऋणात्मक संख्याओं के लिए) निकटतम मान पर गोल किया जाता है।

चरम सीमा पर, परिमाण के साथ एक मान सख्ती से . से कम है $k=b^{\text{emax}}(b-{\tfrac {1}{2}}b^{1-p})$ न्यूनतम या अधिकतम परिमित संख्या (मान के चिह्न के आधार पर) तक पूर्णांकित किया जाएगा। इस परिमाण के साथ किसी भी संख्या को संबंध माना जाता है; टाई की इस पसंद को बीच के मध्य बिंदु के रूप में माना जा सकता है $\pm b^{\text{emax}}(b-b^{1-p})$ तथा $\pm b^{{\text{emax}}+1}$, जो, घातांक सीमित नहीं थे, परिमाण में बड़े अगले प्रतिनिधित्व योग्य फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर होंगे। परिमाण के साथ संख्याएँ से सख्ती से बड़ी हैं $k$ संगत अनंत तक गोल हैं। राउंड टू नोस्ट, टाई टू इवन बाइनरी फ्लोटिंग पॉइंट के लिए डिफॉल्ट और दशमलव के लिए अनुशंसित डिफॉल्ट है। निकटतम से गोल, दूर से संबंध केवल दशमलव कार्यान्वयन के लिए आवश्यक है।

निर्देशित गोलाई

• 0 की ओर गोल - शून्य की ओर निर्देशित गोलाई (जिसे ट्रंकेशन भी कहा जाता है)।
• गोल की ओर +∞ - सकारात्मक अनंत की ओर निर्देशित गोलाई (जिसे राउंडिंग अप या सीलिंग भी कहा जाता है)।
• −∞ की ओर गोल - नकारात्मक अनंत की ओर निर्देशित गोलाई (जिसे राउंडिंग डाउन या फ्लोर भी कहा जाता है)।

Example of rounding to integers using the IEEE 754 rules

Mode	Example value
	+11.5	+12.5	−11.5	−12.5
to nearest, ties to even	+12.0	+12.0	−12.0	−12.0
to nearest, ties away from zero	+12.0	+13.0	−12.0	−13.0
toward 0	+11.0	+12.0	−11.0	−12.0
toward +∞	+12.0	+13.0	−11.0	−12.0
toward −∞	+11.0	+12.0	−12.0	−13.0

जब तक अन्यथा निर्दिष्ट न हो, किसी ऑपरेशन का फ़्लोटिंग-पॉइंट परिणाम असीम रूप से सटीक (गणितीय) परिणाम पर राउंडिंग फ़ंक्शन को लागू करके निर्धारित किया जाता है। इस तरह के एक ऑपरेशन को सही ढंग से गोल करने के लिए कहा जाता है। इस आवश्यकता को सही गोलाई कहा जाता है।

आवश्यक संचालन

समर्थित अंकगणितीय प्रारूप (मूल स्वरूपों सहित) के लिए आवश्यक संचालन में शामिल हैं:

• पूर्णांक में और से रूपांतरण
• पिछले और अगले लगातार मान
• अंकगणितीय संचालन (जोड़ें, घटाएं, गुणा करें, विभाजित करें, वर्गमूल, गुणा करें-संचय करें।
• रूपांतरण (प्रारूपों के बीच, स्ट्रिंग्स से और आदि)
• स्केलिंग और (दशमलव के लिए) परिमाणीकरण
• साइन को कॉपी करना और उसमें हेरफेर करना (एब्स, नेगेट, आदि)
• तुलना और कुल आदेश
• संख्याओं का वर्गीकरण (असामान्य, परिमित, आदि) और NaNs के लिए परीक्षण
• स्थिति झंडे का परीक्षण और सेटिंग

तुलना विधेय

मानक समर्थित अंकगणितीय प्रारूप में एक फ़्लोटिंग-पॉइंट डेटाम की दूसरे से तुलना करने के लिए तुलना विधेय प्रदान करता है। NaN के साथ किसी भी तुलना को अनियंत्रित माना जाता है। −0 और +0 बराबर के रूप में तुलना करते हैं।

कुल-आदेश विधेय

मानक एक विधेय कुल आदेश प्रदान करता है, जो समर्थित अंकगणितीय प्रारूप के विहित सदस्यों पर कुल आदेश को परिभाषित करता है। विधेय तुलना के साथ सहमत होता है जब एक फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या दूसरे से कम होती है। TotalOrder विधेय प्रारूप में सभी एन्कोडिंग पर कुल ऑर्डर नहीं लगाता है। विशेष रूप से, यह एक ही फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रतिनिधित्व के विभिन्न एन्कोडिंग के बीच अंतर नहीं करता है, जैसे कि जब एक या दोनों एन्कोडिंग गैर-कैनोनिकल होते हैं। आईईईई 754-2019 कुल ऑर्डर के स्पष्टीकरण को शामिल करता है।

बाइनरी इंटरचेंज प्रारूपों के लिए जिनकी एन्कोडिंग आईईईई 754-2008 की सिफारिश पर NaN#Encoding का पालन करती है, तुलना उस प्रकार के समान है जो फ्लोटिंग-पॉइंट नंबरों को एक साइन-परिमाण पूर्णांक (इस तुलना के अनुरूप एक पेलोड ऑर्डरिंग मानते हुए) को छोटा करती है। एफपीयू के बिना एफपी तुलना के लिए एक पुरानी चाल।

अपवाद हैंडलिंग

मानक पांच अपवादों को परिभाषित करता है, जिनमें से प्रत्येक एक डिफ़ॉल्ट मान देता है और एक संबंधित स्थिति ध्वज होता है जो अपवाद होने पर उठाया जाता है। किसी अन्य अपवाद से निपटने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन अतिरिक्त गैर-डिफ़ॉल्ट विकल्पों की सिफारिश की जाती है (देखें § Alternate exception handling)

पांच संभावित अपवाद हैं

• अमान्य ऑपरेशन: गणितीय रूप से अपरिभाषित, उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल। डिफ़ॉल्ट रूप से, qNaN लौटाता है।
• शून्य से भाग: परिमित ऑपरेंड पर एक ऑपरेशन एक सटीक अनंत परिणाम देता है, जैसे, 1/0 या लॉग (0)। डिफ़ॉल्ट रूप से, ± अनंतता देता है।
• अतिप्रवाह: एक परिमित परिणाम सटीक रूप से प्रदर्शित होने के लिए बहुत बड़ा है (यानी, एक असीमित घातांक सीमा के साथ इसका घातांक ईमैक्स से बड़ा होगा)। डिफ़ॉल्ट रूप से, राउंड-टू-निकटतम मोड के लिए ± अनंतता देता है (और निर्देशित राउंडिंग मोड के लिए राउंडिंग नियमों का पालन करता है)।
• अंडरफ्लो: एक परिणाम बहुत छोटा है (सामान्य सीमा के बाहर)। डिफ़ॉल्ट रूप से, परिमाण में न्यूनतम सकारात्मक सामान्य संख्या से कम या उसके बराबर संख्या देता है (गोलीकरण नियमों का पालन करते हुए); एक असामान्य संख्या हमेशा एक अंडरफ्लो अपवाद का अर्थ है, लेकिन डिफ़ॉल्ट रूप से, यदि यह सटीक है, तो कोई ध्वज नहीं उठाया जाता है।
• अचूक: सटीक (यानी, बिना गोल) परिणाम बिल्कुल प्रतिनिधित्व योग्य नहीं है। डिफ़ॉल्ट रूप से, सही गोल परिणाम देता है।

ये वही पांच अपवाद हैं जिन्हें आईईईई 754-1985 में परिभाषित किया गया था, लेकिन शून्य अपवाद से विभाजन को डिवीजन के अलावा अन्य कार्यों तक बढ़ा दिया गया है।

कुछ दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट कार्यान्वयन अतिरिक्त अपवादों को परिभाषित करते हैं, जो आईईईई 754 का हिस्सा नहीं हैं:

• क्लैंप किया गया: गंतव्य प्रारूप के लिए परिणाम का घातांक बहुत बड़ा है। डिफ़ॉल्ट रूप से, अनुगामी शून्य को गुणांक में जोड़ दिया जाएगा ताकि घातांक को सबसे बड़े प्रयोग करने योग्य मान तक कम किया जा सके। यदि यह संभव नहीं है (क्योंकि इससे अंकों की संख्या गंतव्य प्रारूप से अधिक होनी चाहिए) तो एक अतिप्रवाह अपवाद होता है।
• गोलाकार: परिणाम के गुणांक के लिए गंतव्य प्रारूप द्वारा प्रदान किए गए अंकों से अधिक अंकों की आवश्यकता होती है। यदि किसी भी गैर-शून्य अंक को छोड़ दिया जाता है, तो एक अचूक अपवाद का संकेत दिया जाता है।

इसके अतिरिक्त, जब कोई ऑपरेंड अनंत होता है, या जब परिणाम गंतव्य प्रारूप में फिट नहीं होता है, तो परिमाणीकरण जैसे संचालन भी अमान्य ऑपरेशन अपवाद का संकेत देंगे।

सिफारिशें

वैकल्पिक अपवाद हैंडलिंग

मानक विभिन्न रूपों में वैकल्पिक अपवाद हैंडलिंग की सिफारिश करता है, जिसमें उपयोगकर्ता-परिभाषित डिफ़ॉल्ट मानों का पूर्वस्थापन, और ट्रैप (अपवाद जो किसी तरह से नियंत्रण के प्रवाह को बदलते हैं) और अन्य अपवाद हैंडलिंग मॉडल जो प्रवाह को बाधित करते हैं, जैसे कि कोशिश/पकड़। जाल और अन्य अपवाद तंत्र वैकल्पिक रहते हैं, क्योंकि वे IEEE 754-1985 में थे।

अनुशंसित संचालन

मानक में खंड 9 अतिरिक्त गणितीय कार्यों की सिफारिश करता है कि भाषा मानकों को परिभाषित करना चाहिए। मानक के अनुरूप होने के लिए किसी की आवश्यकता नहीं है।

निम्नलिखित अनुशंसित अंकगणितीय संचालन हैं, जिन्हें सही ढंग से गोल करना चाहिए:

• क्स्प (एक्स) |$e^{x}$, $2^{x}$, $10^{x}$
• क्स्प(x)−1|$e^{x}-1$, $2^{x}-1$, $10^{x}-1$
• प्राकृतिक लघुगणक|$\ln x$, बाइनरी लॉगरिदम|$\log _{2}x$, सामान्य लघुगणक|$\log _{10}x$* एलएन(1+x)|$\ln(1+x)$, $\log _{2}(1+x)$, $\log _{10}(1+x)$
• हाइपोट|${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$*वर्गमूल|${\sqrt {x}}$* $(1+x)^{n}$
• वां रूट|$x^{\frac {1}{n}}$* घातांक#पूर्णांक घातांक|$x^{n}$, घातांक|$x^{y}$*पाप (त्रिकोणमिति)|$\sin x$, cos (त्रिकोणमिति)|$\cos x$, तन (त्रिकोणमिति)|$\tan x$* आर्क्सिन (त्रिकोणमिति)|$\arcsin x$, आर्ककोस (त्रिकोणमिति)|$\arccos x$, आर्कटन (त्रिकोणमिति)|$\arctan x$, अताना|$\operatorname {atan2} (y,x)$* $\operatorname {sinPi} x=\sin \pi x$, $\operatorname {cosPi} x=\cos \pi x$, $\operatorname {tanPi} x=\tan \pi x$ (यह भी देखें: π के गुणज)
• $\operatorname {asinPi} x={\frac {\arcsin x}{\pi }}$, $\operatorname {acosPi} x={\frac {\arccos x}{\pi }}$, $\operatorname {atanPi} x={\frac {\arctan x}{\pi }}$, $\operatorname {atan2Pi} (y,x)={\frac {\operatorname {atan2} (y,x)}{\pi }}$ (यह भी देखें: π के गुणज)
• सिंह (गणितीय कार्य)|$\sinh x$, कोष (गणितीय फलन)|$\cosh x$, तनह (गणितीय फलन)|$\tanh x$* arsinh|$\operatorname {arsinh} x$, आर्कोश|$\operatorname {arcosh} x$, artanh|$\operatorname {artanh} x$

asinPiमैं}}, acosPi तथा tanPi फ़ंक्शन IEEE 754-2008 मानक का हिस्सा नहीं थे क्योंकि उन्हें कम आवश्यक समझा गया था। asinPi, acosPi उल्लेख किया गया था, लेकिन इसे एक त्रुटि के रूप में माना गया था।तीनों को 2019 के संशोधन में जोड़ा गया था।

अनुशंसित संचालन में डायनेमिक मोड राउंडिंग दिशा को सेट करना और एक्सेस करना भी शामिल है, और कार्यान्वयन-परिभाषित वेक्टर कमी संचालन जैसे योग, स्केल उत्पाद, और डॉट उत्पाद, जिनकी सटीकता मानक द्वारा अनिर्दिष्ट है।

As of 2019, संवर्धित अंकगणितीय संचालन बाइनरी प्रारूपों के लिए भी सिफारिश की जाती है। जोड़, घटाव और गुणा के लिए निर्दिष्ट ये ऑपरेशन, मूल्यों की एक जोड़ी उत्पन्न करते हैं जिसमें परिणाम प्रारूप में निकटतम और त्रुटि शब्द में सही ढंग से गोल होता है, जो प्रारूप में बिल्कुल प्रतिनिधित्व योग्य होता है। मानक के प्रकाशन के समय, कोई हार्डवेयर कार्यान्वयन ज्ञात नहीं है, लेकिन बहुत समान संचालन पहले से ही प्रसिद्ध एल्गोरिदम का उपयोग करके सॉफ़्टवेयर में लागू किए गए थे। उनके मानकीकरण के इतिहास और प्रेरणा को एक पृष्ठभूमि दस्तावेज़ में समझाया गया है।

2019 तक, IEEE 754-2008 में पूर्व में आवश्यक minNum, maxNum, minNumMag, और maxNumMag को अब उनकी गैर-सहयोगिता के कारण हटा दिया गया है। इसके बजाय, नए न्यूनतम और अधिकतम संचालन के दो सेटों की अनुशंसा की जाती है। पहले सेट में न्यूनतम, न्यूनतम संख्या, अधिकतम और अधिकतम संख्या होती है। दूसरे सेट में न्यूनतम परिमाण, न्यूनतम परिमाण संख्या, अधिकतम परिमाण और अधिकतम परिमाण संख्या होती है। इस परिवर्तन के इतिहास और प्रेरणा को एक पृष्ठभूमि दस्तावेज़ में समझाया गया है।

अभिव्यक्ति मूल्यांकन

मानक अनुशंसा करता है कि भाषा मानकों को संचालन के अनुक्रमों के शब्दार्थ को कैसे निर्दिष्ट करना चाहिए, और शाब्दिक अर्थों और अनुकूलन की सूक्ष्मताओं को इंगित करता है जो परिणाम के मूल्य को बदलते हैं। इसके विपरीत, भाषा इंटरफ़ेस के मानक बाएँ पहलुओं का पिछला IEEE 754-1985 संस्करण अनिर्दिष्ट है, जिसके कारण एक ऑप्टिमाइज़िंग कंपाइलर में कंपाइलर्स, या विभिन्न ऑप्टिमाइज़ेशन स्तरों के बीच असंगत व्यवहार होता है।

प्रोग्रामिंग भाषाओं को उपयोगकर्ता को प्रत्येक मूलांक के लिए अभिव्यक्ति की मध्यवर्ती गणना के लिए न्यूनतम सटीकता निर्दिष्ट करने की अनुमति देनी चाहिए। इसे मानक में वरीयविड्थ के रूप में संदर्भित किया जाता है, और इसे प्रति-ब्लॉक आधार पर सेट करना संभव होना चाहिए। अभिव्यक्तियों के भीतर इंटरमीडिएट गणना की गणना की जानी चाहिए, और किसी भी अस्थायी को सहेजा जाना चाहिए, ऑपरेंड की अधिकतम चौड़ाई और सेट होने पर पसंदीदा चौड़ाई का उपयोग करना। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, x87 फ़्लोटिंग-पॉइंट हार्डवेयर को लक्षित करने वाले एक कंपाइलर के पास यह निर्दिष्ट करने का एक साधन होना चाहिए कि मध्यवर्ती गणनाओं को विस्तारित परिशुद्धता # आईईईई 754 विस्तारित सटीक प्रारूप | डबल-विस्तारित प्रारूप का उपयोग करना चाहिए। एक चर के संग्रहीत मूल्य का उपयोग हमेशा बाद के भावों का मूल्यांकन करते समय किया जाना चाहिए, न कि किसी भी पूर्ववर्ती से पहले गोल करने और चर को असाइन करने के लिए।

पुनरुत्पादकता

मानक के आईईईई 754-1985 संस्करण ने कार्यान्वयन में कई भिन्नताओं की अनुमति दी (जैसे कुछ मूल्यों की एन्कोडिंग और कुछ अपवादों का पता लगाना)। आईईईई 754-2008 ने इन भत्तों को कम कर दिया है, लेकिन कुछ भिन्नताएं अभी भी बनी हुई हैं (विशेषकर बाइनरी प्रारूपों के लिए)। प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य खंड अनुशंसा करता है कि भाषा मानकों को प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य कार्यक्रम लिखने के लिए एक साधन प्रदान करना चाहिए (यानी, ऐसे कार्यक्रम जो किसी भाषा के सभी कार्यान्वयन में समान परिणाम उत्पन्न करेंगे) और वर्णन करता है कि प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य परिणाम प्राप्त करने के लिए क्या किया जाना चाहिए।

चरित्र प्रतिनिधित्व

See also: Floating-point arithmetic § Binary-to-decimal conversion with minimal number of digits

मानक को मूल स्वरूपों और बाहरी वर्ण अनुक्रम स्वरूपों के बीच परिवर्तित करने के लिए संचालन की आवश्यकता होती है। सभी प्रारूपों के लिए दशमलव वर्ण प्रारूप में और उससे रूपांतरण आवश्यक हैं। बाहरी वर्ण अनुक्रम में रूपांतरण ऐसा होना चाहिए कि रूपांतरण वापस राउंड का उपयोग करके निकटतम, सम से संबंध मूल संख्या को पुनर्प्राप्त करेगा। एक शांत NaN या सिग्नलिंग NaN के पेलोड को संरक्षित करने की कोई आवश्यकता नहीं है, और बाहरी वर्ण अनुक्रम से रूपांतरण एक सिग्नलिंग NaN को एक शांत NaN में बदल सकता है।

मूल बाइनरी मान को दशमलव में परिवर्तित करके और फिर से उपयोग करके संरक्षित किया जाएगा:

• बाइनरी16 के लिए 5 दशमलव अंक,
• बाइनरी 32 के लिए 9 दशमलव अंक,
• बाइनरी 64 के लिए 17 दशमलव अंक,
• बाइनरी128 के लिए 36 दशमलव अंक।

अन्य बाइनरी प्रारूपों के लिए, दशमलव अंकों की आवश्यक संख्या है

$1+\lceil p\log _{10}(2)\rceil ,$

जहां पी बाइनरी प्रारूप में महत्वपूर्ण बिट्स की संख्या है, उदा। बाइनरी 256 के लिए 237 बिट्स।

दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप का उपयोग करते समय, दशमलव प्रतिनिधित्व का उपयोग करके संरक्षित किया जाएगा:

• दशमलव 32 के लिए 7 दशमलव अंक,
• दशमलव64 के लिए 16 दशमलव अंक,
• दशमलव128 के लिए 34 दशमलव अंक।

एल्गोरिदम, कोड के साथ, बाइनरी से दशमलव और दशमलव से बाइनरी में सही ढंग से गोल रूपांतरण के लिए गे द्वारा चर्चा की जाती है, और परीक्षण के लिए – पैक्ससन और कहन द्वारा।

हेक्साडेसिमल अक्षर

मानक C99 के हेक्साडेसिमल फ्लोटिंग पॉइंट अक्षर के आधार पर बाहरी हेक्साडेसिमल-महत्व और वर्ण अनुक्रमों से रूपांतरण प्रदान करने की अनुशंसा करता है। इस तरह के एक शाब्दिक में एक वैकल्पिक चिन्ह होता है (+ या -), सूचक 0x , एक अवधि के साथ या बिना एक हेक्साडेसिमल संख्या, एक घातांक सूचक p , और वैकल्पिक चिह्न के साथ एक दशमलव घातांक। वाक्य रचना केस-संवेदी नहीं है। दशमलव घातांक 2 की घात से मापता है, इसलिए उदाहरण के लिए 0x0.1p-4 1/256 है।

यह भी देखें

• bfloat16 फ्लोटिंग-पॉइंट फॉर्मेट
• बिनदे
• सहसंसाधक
• C99#IEEE 754 आईईईई 754 सुविधाओं के उपयोग और उपयोग को प्रदर्शित करने वाले कोड उदाहरणों के लिए फ़्लोटिंग-पॉइंट समर्थन।
• फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित # आईईईई 754: आधुनिक कंप्यूटरों में फ़्लोटिंग पॉइंट | फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित, इतिहास, डिज़ाइन तर्क और आईईईई 754 सुविधाओं के उदाहरण उपयोग के लिए।
• फिक्स्ड-पॉइंट अंकगणित, तर्कसंगत संख्याओं के साथ गणना पर एक वैकल्पिक दृष्टिकोण के लिए (विशेष रूप से फायदेमंद जब एक्सपोनेंट रेंज ज्ञात, निश्चित, या संकलन समय पर बाध्य है)।
• आईबीएम सिस्टम z9, आईईईई 754-2008 दशमलव अंकगणित (हार्डवेयर माइक्रोकोड का उपयोग करके) को लागू करने वाला पहला सीपीयू।
• IBM z10 (माइक्रोप्रोसेसर), IBM z196, IBM zEC12 (माइक्रोप्रोसेसर), और IBM z13 (माइक्रोप्रोसेसर), CPU जो IEEE 754-2008 दशमलव अंकगणित को पूरी तरह से हार्डवेयर में लागू करते हैं।
• आईएसओ / आईईसी 10967, भाषा-स्वतंत्र अंकगणित (एलआईए)।
• आईईईई 754 सिद्धांतों का पालन करते हुए मिनीफ्लोट, कम-सटीक बाइनरी फ्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप।
• POWER6, POWER7, और POWER8 CPU जो IEEE 754-2008 दशमलव अंकगणित को पूरी तरह से हार्डवेयर में लागू करते हैं।
• सख्त एफपी, जावा में एक कीवर्ड (प्रोग्रामिंग भाषा) जो सामान्य हार्डवेयर प्लेटफॉर्म पर पुनरुत्पादन सुनिश्चित करने के लिए आईईईई 754 सिंगल और डबल परिशुद्धता के लिए अंकगणित को प्रतिबंधित करता है।
• कार्यों के सही गोलाई के बारे में अधिक जानने के लिए टेबल-मेकर की दुविधा।
• मानक ऐप्पल न्यूमेरिक्स पर्यावरण
• पतला फ्लोटिंग पॉइंट

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• संपीड़न विरूपण साक्ष्य
• लाल किताब (ऑडियो सीडी मानक)
• आईएफए शो
• कार्य (ऑडियो प्रारूप)
• सेब दोषरहित
• एमपीईजी -4 भाग 14

मानक

• IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic. Ansi/IEEE STD 754-1985. IEEE. 1985-10-12. pp. 1–20. doi:10.1109/IEEESTD.1985.82928. ISBN 0-7381-1165-1.
• IEEE Computer Society (2008-08-29). IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. IEEE STD 754-2008. IEEE. pp. 1–70. doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5753-5. IEEE Std 754-2008.
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• ISO/IEC 60559:2020 — Information technology — Microprocessor Systems — Floating-Point arithmetic. Iso.org. May 2020. pp. 1–74.

माध्यमिक संदर्भ

• दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित, अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न, ग्रंथ सूची, और लिंक
• बाइनरी फ़्लोट्स की तुलना करना
• IEEE 754 संदर्भ सामग्री
• IEEE 854-1987 - इतिहास और मिनट
• आईईईई 754 के लिए पूरक रीडिंग। ऐतिहासिक दृष्टिकोण शामिल हैं।

अग्रिम पठन

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बाहरी संबंध

• Kahan on creating IEEE Standard Floating Point. Turing Awardee Clips. 2020-11-16. Archived from the original on 2021-11-08.
• Online IEEE 754 binary calculators