आनुपातिक विभाजन
आनुपातिक विभाजन ऐसा उचित विभाजन है जिसमें संसाधन को व्यक्तिपरक करके मूल्यांकन करने वाले n भागीदारों के बीच विभाजित किया जाता है, प्रत्येक भागीदार को उसके स्वयं के व्यक्तिपरक मूल्यांकन द्वारा संसाधन का कम से कम 1/n दिया जाता है।
आनुपातिकता साहित्य में अध्ययन की जाने वाली पहली निष्पक्षता इसका प्रमुख सिद्धांत हैं; इसलिए इस प्रकार इसे कभी-कभी सरल उचित विभाजन भी कहा जाता है। इसकी कल्पना सबसे पहले स्टीनहॉस ने की थी।[1]
उदाहरण
किसी भूमि की संपत्ति पर विचार करने पर जिसे 3 उत्तराधिकारियों के बीच विभाजित किया जाना है: ऐलिस और बॉब जो सोचते हैं कि यह इस प्रकार 3 मिलियन डॉलर का है, और जॉर्ज जो सोचते हैं कि यह $4.5M के लिए ठीक है। इस प्रकार आनुपातिक विभाजन में, ऐलिस को भूमि-भूखंड प्राप्त होता है, जिसे वह कम से कम $1M मान का मानती है, बॉब को भूमि-भूखंड प्राप्त होता है, जिसके बारे में उनका मानना है कि वह इस प्रकार कम से कम $1M का है (भले ही ऐलिस को लगता है कि यह कम मान का है), और इस प्रकार जॉर्ज को भूमि-भूखंड मिलता है जिसके बारे में उनका मानना है कि इसकी कीमत कम से कम $1.5M है।
विद्यमानता
किसी आनुपातिक विभाजन को सदैव सम्मिलित नहीं होता है। इस प्रकार उदाहरण के लिए, यदि संसाधन में कई अविभाज्य वस्तुएँ हैं और लोगों की संख्या वस्तुओं की संख्या से अधिक है, तो कुछ लोगों को कोई वस्तु नहीं मिलेगी और उनका मान शून्य होता हैं। फिर भी, एजेंटों के मूल्यांकन पर कुछ मान्यताओं के अनुसार अविभाज्य वस्तुओं के लिए ऐसा विभाजन उच्च संभावना के साथ सम्मिलित है।[2] इसके अतिरिक्त, आनुपातिक विभाजन सम्मिलित होने की गारंटी है यदि निम्न स्थितियां हैं:
- खिलाड़ियों का मूल्यांकन गैर-परमाणु प्रक्रिया है, अर्ताथ धनात्मक मान वाले कोई अविभाज्य तत्व सम्मिलित नहीं रहते हैं।
- खिलाड़ियों का मूल्यांकन योगात्मक होता है, अर्थात जब मोहरे को विभाजित किया जाता है, तो उस टुकड़े का मान उसके भागों के योग के बराबर होता है।
इसलिए, आनुपातिक विभाजन का अध्ययन सामान्यतः निष्पक्ष केक काटने के संदर्भ में किया जाता है। इस प्रकार केक काटने के संदर्भ में आनुपातिक विभाजन प्राप्त करने के लिए प्रक्रियाओं के बारे में विस्तृत जानकारी के लिए आनुपातिक केक का विभाजन देखें।
इस प्रकार अधिक उदार निष्पक्षता वाले मानदंड आंशिक आनुपातिकता है, जिसमें प्रत्येक भागीदार को कुल मान का निश्चित अंश f(n) प्राप्त होता है, जहां f(n) ≤ 1/n मुख्यतः अविभाज्य वस्तुओं के लिए भी आंशिक रूप से आनुपातिक विभाजन कुछ शर्तों के अनुसार सम्मिलित रहते हैं।
वेरिएंट
सुपर-आनुपातिक विभाजन
किसी सुपर-आनुपातिक विभाजन ऐसा विभाजन है जिसमें प्रत्येक भागीदार अपने स्वयं के व्यक्तिपरक मूल्यांकन द्वारा संसाधन के 1/n से अधिक कठिनाई से प्राप्त करता है।
इस प्रकार ऐसा विभाजन सदैव सम्मिलित नहीं होता है: जब सभी साझेदारों के समान मान कार्य होते हैं, तो हम जो सबसे अच्छा कर सकते हैं, वह प्रत्येक भागीदार को ठीक 1/n देता है। तो सुपर-आनुपातिक विभाजन के विद्यमानता के लिए आवश्यक शर्त यह है कि सभी भागीदारों के पास समान मान माप नहीं है।
आश्चर्यजनक तथ्य यह है कि, जब मूल्यांकन योगात्मक और गैर-परमाणु होते हैं, तो यह स्थिति भी पर्याप्त होती है। अर्ताथ, जब कम से कम दो साझेदार होते हैं जिनका मान कार्य थोड़ा अलग होता है, तो सुपर-आनुपातिक विभाजन होता है जिसमें सभी भागीदारों को 1/n से अधिक प्राप्त होता है। इसके विवरण के लिए सुपर-आनुपातिक विभाजन देखें।
अन्य निष्पक्षता मानदंड से संबंध
स्वैच्छिक आदान-प्रदान की स्थिरता
ईर्ष्या-मुक्ति और इसी प्रकार के मानदंड पर आनुपातिकता मानदंड का लाभ यह है कि यह स्वैच्छिक आदान-प्रदान के संबंध में स्थिर है।
एक उदाहरण के रूप में, मान लें कि निश्चित भूमि 3 भागीदारों के बीच विभाजित है: ऐलिस, बॉब और जॉर्ज, ऐसे विभाजन में जो आनुपातिक और ईर्ष्या-मुक्त दोनों है। कई महीनों बाद, ऐलिस और जॉर्ज ने अपने भूमि-भूखंडों को मिलाने और उन्हें इस तरह से फिर से विभाजित करने का फैसला किया जो उनके लिए अधिक लाभदायक हो। बॉब के दृष्टिकोण से, विभाजन अभी भी आनुपातिक है, क्योंकि वह अभी भी कुल का कम से कम 1/3 का व्यक्तिपरक मान रखता है, भले ही ऐलिस और जॉर्ज अपने भूखंडों के साथ क्या करते हैं। दूसरी ओर, नया विभाग ईर्ष्या मुक्त नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, यह संभव है कि शुरू में ऐलिस और जॉर्ज दोनों को भूमि-भूखंड प्राप्त हुआ था, जिसे बॉब विषयगत रूप से 1/3 मानते थे, अपितु अब पुन: विभाजन के बाद जॉर्ज को सभी मान मिल गए (बॉब की नज़र में) इसलिए अब बॉब जॉर्ज से ईर्ष्या करता है।
इसलिए, निष्पक्षता की कसौटी के रूप में ईर्ष्या-मुक्तता का उपयोग करने का अर्थ है कि हमें विभाजन के बाद लोगों के स्वैच्छिक आदान-प्रदान के अधिकार को बाधित करना चाहिए। निष्पक्षता की कसौटी के रूप में आनुपातिकता का उपयोग करने का ऐसा कोई ऋणात्मक प्रभाव नहीं है।
व्यक्तिगत तर्कसंगतता
आनुपातिकता का अतिरिक्त लाभ यह है कि यह निम्नलिखित अर्थों में व्यक्तिगत तर्कसंगतता के अनुकूल है। मान लीजिए n भागीदारों के पास साझा संसाधन हैं। कई व्यावहारिक परिदृश्यों में (चूंकि सदैव नहीं), भागीदारों के पास संसाधन बेचने और राजस्व के समान विभाजित करने का विकल्प होता है कि प्रत्येक भागीदार को ठीक 1/n प्राप्त होता है। इसलिए तर्कसंगत भागीदार विभाजन प्रक्रिया में भाग लेने के लिए सहमत होगा, अगर प्रक्रिया की गारंटी है कि वह अपने कुल मान का कम से कम 1/एन प्राप्त करता है।
इसके अतिरिक्त, कम से कम संभावना होनी चाहिए (यदि कोई गारंटी नहीं है) कि भागीदार 1/n से अधिक प्राप्त करता है; यह सुपर-आनुपातिक विभाजन के विद्यमानता प्रमेयों के महत्व की व्याख्या करता है।
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ Steinhaus, Hugo (1948). "निष्पक्ष विभाजन की समस्या". Econometrica. 16 (1): 101–104. JSTOR 1914289.
- ↑ Suksompong, Warut (2016). "आनुपातिक रूप से उचित आवंटन का स्पर्शोन्मुख अस्तित्व". Mathematical Social Sciences. 81: 62–65. arXiv:1806.00218. doi:10.1016/j.mathsocsci.2016.03.007.
- A summary of proportional and other division procedures appears in: Austin, A. K. (1982). "Sharing a Cake". The Mathematical Gazette. 66 (437): 212. doi:10.2307/3616548. JSTOR 3616548.