उत्तल बहुभुज

उत्तल बहुभुज का एक उदाहरण: एक नियमित बहुभुज पेंटागन।

ज्यामिति में, एक उत्तल बहुभुज एक बहुभुज होता है जो उत्तल सेट की सीमा (टोपोलॉजी) होता है। इसका मतलब है कि बहुभुज के दो बिंदुओं के बीच का रेखा खंड आंतरिक और बहुभुज की सीमा के मिलन में समाहित है। विशेष रूप से, यह एक साधारण बहुभुज है (स्वयं प्रतिच्छेदी बहुभुज नहीं।स्वयंप्रतिच्छेदी)। समतुल्य रूप से, एक बहुभुज उत्तल होता है यदि प्रत्येक रेखा (ज्यामिति) जिसमें कोई किनारा न हो, बहुभुज को अधिक से अधिक दो बिंदुओं पर काटती है।

एक कड़ाई से उत्तल बहुभुज एक उत्तल बहुभुज होता है जैसे कि किसी भी रेखा में इसके दो किनारे नहीं होते हैं। उत्तल बहुभुज में, सभी आंतरिक कोण 180 डिग्री से कम या उसके बराबर होते हैं, जबकि कड़ाई से उत्तल बहुभुज में सभी आंतरिक कोण 180 डिग्री से कम होते हैं।

गुण

एक साधारण बहुभुज के निम्नलिखित गुण उत्तलता के समतुल्य हैं:

• प्रत्येक आंतरिक कोण सख्ती से 180 डिग्री (कोण) से कम है।
• बहुभुज के अंदर या सीमा पर दो बिंदुओं के बीच प्रत्येक रेखा खंड पर प्रत्येक बिंदु अंदर या सीमा पर रहता है।
• बहुभुज पूरी तरह से इसके प्रत्येक किनारे द्वारा परिभाषित एक बंद अर्ध-तल में समाहित है।
• प्रत्येक किनारे के लिए, आंतरिक बिंदु सभी उस रेखा के एक ही तरफ होते हैं जो किनारे को परिभाषित करता है।
• प्रत्येक शीर्ष पर कोण इसके किनारों और आंतरिक भाग में अन्य सभी शीर्षों को शामिल करता है।
• बहुभुज इसके किनारों का उत्तल पतवार है।

उत्तल बहुभुजों के अतिरिक्त गुणों में शामिल हैं:

• दो उत्तल बहुभुजों का प्रतिच्छेदन उत्तल बहुभुज होता है।
• एक उत्तल बहुभुज रैखिक समय में एक प्रशंसक त्रिभुज के माध्यम से बहुभुज त्रिभुज हो सकता है, जिसमें एक शीर्ष से अन्य सभी शीर्षों में विकर्णों को जोड़ना शामिल है।
• हेली का प्रमेय: कम से कम तीन उत्तल बहुभुजों के प्रत्येक संग्रह के लिए: यदि उनमें से प्रत्येक तीन का प्रतिच्छेदन खाली नहीं है, तो पूरे संग्रह में एक गैर-रिक्त चौराहा है।
• क्रेन-मिलमैन प्रमेय: एक उत्तल बहुभुज इसके शीर्षों का उत्तल हल होता है। इस प्रकार यह पूरी तरह से इसके कोने के सेट द्वारा परिभाषित किया गया है, और पूरे बहुभुज आकार को पुनर्प्राप्त करने के लिए केवल बहुभुज के कोनों की आवश्यकता है।
• हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय: किन्हीं भी दो उत्तल बहुभुजों में कोई बिंदु उभयनिष्ठ नहीं होते, उनमें एक विभाजक रेखा होती है। यदि बहुभुज बंद हैं और उनमें से कम से कम एक कॉम्पैक्ट है, तो दो समांतर विभाजक रेखाएं भी हैं (उनके बीच एक अंतर के साथ)।
• अन्तर्ग्रथित त्रिभुज गुण: एक उत्तल बहुभुज में समाहित सभी त्रिभुजों में, अधिकतम क्षेत्रफल वाला एक त्रिभुज मौजूद होता है जिसके शीर्ष सभी बहुभुज शीर्ष होते हैं। *इंस्क्राइबिंग त्रिकोण गुण: क्षेत्रफल 'ए' के ​​साथ प्रत्येक उत्तल बहुभुज को अधिकतम 2ए के बराबर क्षेत्र के त्रिकोण में अंकित किया जा सकता है। समांतर चतुर्भुज के लिए समानता (विशेष रूप से) रखती है।
• अंकित/अंकित आयत गुण: समतल में प्रत्येक उत्तल पिंड C के लिए, हम C में एक आयत r अंकित कर सकते हैं जैसे कि r की एक समरूप परिवर्तन कॉपी R C के बारे में परिचालित है और सकारात्मक समरूपता अनुपात अधिकतम 2 है और $0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)$.
• उत्तल बहुभुज की औसत चौड़ाई इसकी परिधि के बराबर होती है जिसे पाई से विभाजित किया जाता है। तो इसकी चौड़ाई बहुभुज के समान परिधि वाले वृत्त का व्यास है।

प्रत्येक बहुभुज एक वृत्त में खुदा हुआ है (जैसे कि बहुभुज के सभी कोने वृत्त को छूते हैं), यदि स्व-प्रतिच्छेदी बहुभुजों की सूची नहीं है। स्वयं-प्रतिच्छेद, उत्तल है। हालाँकि, प्रत्येक उत्तल बहुभुज को एक वृत्त में अंकित नहीं किया जा सकता है।

सख्त उत्तलता

एक साधारण बहुभुज के निम्नलिखित गुण सख्त उत्तलता के बराबर हैं:

• प्रत्येक आंतरिक कोण सख्ती से 180 डिग्री से कम है।
• आंतरिक में दो बिंदुओं के बीच, या सीमा पर दो बिंदुओं के बीच, लेकिन एक ही किनारे पर नहीं, प्रत्येक रेखा खंड बहुभुज के लिए सख्ती से आंतरिक है (इसके अंत बिंदुओं को छोड़कर यदि वे किनारों पर हैं)।
• प्रत्येक किनारे के लिए, आंतरिक बिंदु और सीमा बिंदु जो किनारे में शामिल नहीं हैं, रेखा के उसी तरफ हैं जो किनारे को परिभाषित करता है।
• प्रत्येक शीर्ष पर कोण इसके आंतरिक भाग में अन्य सभी शीर्षों को शामिल करता है (दिए गए शीर्ष और दो आसन्न शीर्षों को छोड़कर)।

हर गैर-अपमानित त्रिकोण सख्ती से उत्तल है।

यह भी देखें

• उत्तल वक्र
• अवतल बहुभुज एक साधारण बहुभुज जो उत्तल नहीं है
• उत्तल पॉलीटॉप
• चक्रीय बहुभुज
• Implicit curve § Smooth approximation of convex polygons
• स्पर्शरेखा बहुभुज

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• स्व-प्रतिच्छेदी बहुभुज
• प्रशंसक त्रिकोण
• बहुभुज त्रिकोण
• समानांतर चतुर्भुज

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Convex polygon". MathWorld.
• http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html
• Schorn, Peter; Fisher, Frederick (1994), "I.2 Testing the convexity of a polygon", in Heckbert, Paul S. (ed.), Graphics Gems IV, Morgan Kaufmann (Academic Press), pp. 7–15, ISBN 9780123361554