एक बहुपद की डिग्री

गणित में, बहुपद की घात शून्येतर गुणांकों वाले बहुपद के एकपदों (व्यक्तिगत पदों) की घातों में सबसे अधिक होती है। एक एकपदी की घात इसमें प्रकट होने वाले चर (गणित) के घातांकों का योग है, और इस प्रकार यह एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। एक अविभाजित बहुपद के लिए, बहुपद की डिग्री बहुपद में होने वाली उच्चतम घातांक है। शब्द क्रम का प्रयोग 'डिग्री' के पर्याय के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, कई अन्य अवधारणाओं को संदर्भित कर सकता है (एक बहुपद का क्रम देखें (बहुविकल्पी))।

उदाहरण के लिए, बहुपद $7x^{2}y^{3}+4x-9,$ जिसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है $7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},$ तीन शर्तें हैं। पहले पद की घात 5 (घातांक 2 और 3 का योग) है, दूसरे पद की घात 1 है, और अंतिम पद की घात 0 है। इसलिए, बहुपद की घात 5 है, जो है किसी भी शब्द की उच्चतम डिग्री।

एक बहुपद की डिग्री निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$, उत्पादों (वितरण द्वारा) का विस्तार करके और समान शर्तों को मिलाकर इसे मानक रूप में रखा जा सकता है; उदाहरण के लिए, $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x$ डिग्री 1 का है, भले ही प्रत्येक योग की डिग्री 2 हो। हालांकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में बहुपदों के उत्पाद के रूप में लिखा जाता है, क्योंकि उत्पाद की डिग्री कारकों की डिग्री का योग है।

डिग्री द्वारा बहुपदों के नाम

निम्नलिखित नामों को उनकी डिग्री के अनुसार बहुपदों को सौंपा गया है:

• विशेष मामला - शून्य बहुपद (नीचे शून्य बहुपद की डिग्री देखें)
• डिग्री 0 - गैर-शून्य निरंतर कार्य
• डिग्री 1 - रैखिक कार्य
• डिग्री 2 - द्विघात बहुपद
• डिग्री 3 - क्यूबिक फंक्शन
• डिग्री 4 - क्वार्टिक फ़ंक्शन (या, यदि सभी शर्तों में डिग्री भी है, तो द्विपक्षीय फ़ंक्शन)
• डिग्री 5 - क्विंटिक समीकरण
• डिग्री 6 - सेक्स्टिक समीकरण (या, कम सामान्यतः, हेक्सिक)
• डिग्री 7 - सेप्टिक समीकरण (या, कम सामान्यतः, हेप्टिक)
• डिग्री 8 - ऑक्टिक
• डिग्री 9 - नॉनिक
• डिग्री 10 - डेसीक

तीन से ऊपर की डिग्री के लिए नाम लैटिन क्रमिक अंकों पर आधारित होते हैं, और -ic में समाप्त होते हैं। इसे वेरिएबल्स की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग किया जाना चाहिए, जो कि लैटिन वितरण संख्याओं पर आधारित हैं, और -री में समाप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, दो चरों में एक डिग्री दो बहुपद, जैसे $x^{2}+xy+y^{2}$, द्विघात द्विघात कहलाता है: दो चरों के कारण द्विघात, दो डिग्री के कारण द्विघात। शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो लैटिन वितरण संख्याओं पर आधारित हैं, जो -नाम में समाप्त होते हैं; आम एकपदी, द्विपद (बहुपद), और (कम सामान्यतः) त्रिपद हैं; इस प्रकार $x^{2}+y^{2}$ एक द्विघात द्विघात द्विपद है।

उदाहरण

बहुपद $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ एक घन बहुपद है: गुणा करने और उसी डिग्री के पदों को इकट्ठा करने के बाद, यह बन जाता है $-8y^{3}-42y^{2}+72y+378$, उच्चतम प्रतिपादक के साथ 3.

बहुपद $(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों के संयोजन पर, डिग्री 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं $z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6$, उच्चतम घातांक 5 के साथ।

बहुपद संचालन के तहत व्यवहार

योग की डिग्री, उत्पाद या दो बहुपदों की संरचना इनपुट बहुपदों की डिग्री से दृढ़ता से संबंधित है।

जोड़

दो बहुपदों के योग (या अंतर) की डिग्री उनकी डिग्री के बड़े से कम या उसके बराबर है; वह है,

$\deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}$ और $\deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}$.

उदाहरण के लिए, की डिग्री $(x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x$ 2 है, और 2 ≤ अधिकतम{3, 3}।

समानता हमेशा बनी रहती है जब बहुपद की डिग्री अलग होती है। उदाहरण के लिए, की डिग्री $(x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1$ 3 है, और 3 = अधिकतम {3, 2}।

गुणन

गैर-शून्य स्केलर (गणित) द्वारा बहुपद के उत्पाद की डिग्री बहुपद की डिग्री के बराबर होती है; वह है,

$\deg(cP)=\deg(P)$.

उदाहरण के लिए, की डिग्री $2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4$ 2 है, जो की डिग्री के बराबर है $x^{2}+3x-2$.

इस प्रकार, बहुपदों का समुच्चय (गणित) (किसी दिए गए क्षेत्र F के गुणांकों के साथ) जिसकी घात किसी दी गई संख्या n से छोटी या उसके बराबर होती है, एक सदिश समष्टि बनाता है; अधिक के लिए, देखें_ऑफ़_वेक्टर_स्पेस#पोलीनॉमियल_वेक्टर_स्पेस के उदाहरण।

अधिक सामान्यतः, एक क्षेत्र (गणित) या एक अभिन्न डोमेन पर दो बहुपदों के उत्पाद की डिग्री उनकी डिग्री का योग है:

$\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$.

उदाहरण के लिए, की डिग्री $(x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x$ 5 = 3 + 2 है।

एक मनमाना वलय (गणित) पर बहुपदों के लिए, उपरोक्त नियम मान्य नहीं हो सकते हैं, रद्दीकरण के कारण जो दो गैर-शून्य स्थिरांक को गुणा करते समय हो सकता है। उदाहरण के लिए, रिंग में $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ पूर्णांक मॉडुलो n का, किसी के पास वह है $\deg(2x)=\deg(1+2x)=1$, लेकिन $\deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1$, जो कारकों की डिग्री के योग के बराबर नहीं है।

रचना

दो गैर-निरंतर बहुपदों की संरचना की डिग्री $P$ और $Q$ एक क्षेत्र या अभिन्न डोमेन पर उनकी डिग्री का उत्पाद है:

$\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)$.

उदाहरण के लिए:

• यदि $P=(x^{3}+x)$, $Q=(x^{2}+1)$, तब $P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2$, जिसकी डिग्री 6 है।

ध्यान दें कि एक मनमानी अंगूठी पर बहुपदों के लिए, यह जरूरी नहीं है कि यह सच है। उदाहरण के लिए, में $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$, $\deg(2x)\deg(1+2x)=1\cdot 1=1$, लेकिन $\deg(2x\circ (1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0$.

शून्य बहुपद की घात

शून्य बहुपद की घात को या तो अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है, या इसे ऋणात्मक (आमतौर पर -1 या $-\infty$). किसी भी स्थिर मान की तरह, मान 0 को एक (स्थिर) बहुपद के रूप में माना जा सकता है, जिसे शून्य बहुपद कहा जाता है। इसका कोई शून्येतर पद नहीं है, और इसलिए, कड़ाई से कहा जाए तो, इसकी कोई डिग्री भी नहीं है। जैसे, इसकी डिग्री आमतौर पर अपरिभाषित होती है। उपर्युक्त खंड में बहुपदों के योग और उत्पादों की डिग्री के लिए प्रस्ताव लागू नहीं होते हैं, यदि इसमें शामिल बहुपदों में से कोई भी शून्य बहुपद है। तथापि, शून्य बहुपद की घात को ऋणात्मक अनन्तता के रूप में परिभाषित करना सुविधाजनक है, $-\infty ,$ और अंकगणितीय नियमों को पेश करने के लिए

$\max(a,-\infty )=a,$

और

$a+(-\infty )=-\infty .$

ये उदाहरण बताते हैं कि कैसे यह विस्तार उपरोक्त बहुपद संक्रियाओं के तहत #व्यवहार को संतुष्ट करता है:

• योग की डिग्री $(x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x$ 3 है। यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है $3\leq \max(3,-\infty )$.
• अंतर की डिग्री $(x)-(x)=0$ है $-\infty$. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है $-\infty \leq \max(1,1)$.
• उत्पाद की डिग्री $(0)(x^{2}+1)=0$ है $-\infty$. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है $-\infty =-\infty +2$.

फ़ंक्शन मानों से गणना की गई

ऐसे कई सूत्र मौजूद हैं जो बहुपद फलन f की डिग्री का मूल्यांकन करेंगे। स्पर्शोन्मुख विश्लेषण पर आधारित एक है

$\deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}$;

यह लॉग-लॉग प्लॉट में ढलान का अनुमान लगाने की विधि का सटीक प्रतिरूप है।

यह सूत्र डिग्री की अवधारणा को कुछ कार्यों के लिए सामान्यीकृत करता है जो बहुपद नहीं हैं। उदाहरण के लिए:

• गुणक व्युत्क्रम की डिग्री, $\ 1/x$, -1 है।
• वर्गमूल की डिग्री, ${\sqrt {x}}$, 1/2 है।
• लघुगणक की डिग्री, $\ \log x$, 0 है।
• चरघातांकी फलन की डिग्री, $\exp x$, है $\infty .$

सूत्र ऐसे कार्यों के कई संयोजनों के लिए उचित परिणाम भी देता है, जैसे, की डिग्री ${\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}$ है $-1/2$.

इसके मूल्यों से f की डिग्री की गणना करने का एक अन्य सूत्र है

$\deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}$;

यह दूसरा सूत्र L'Hôpital के नियम को पहले सूत्र पर लागू करने के बाद आता है। सहज रूप से हालांकि, यह व्युत्पन्न में अतिरिक्त स्थिर कारक के रूप में डिग्री डी को प्रदर्शित करने के बारे में अधिक है $dx^{d-1}$ का $x^{d}$.

बिग ओ नोटेशन का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के एसिम्प्टोटिक्स का एक अधिक सुक्ष्म (एक साधारण संख्यात्मक डिग्री से) विवरण प्राप्त किया जा सकता है। एल्गोरिदम के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, विकास दर के बीच अंतर करना अक्सर प्रासंगिक होता है $x$ और $x\log x$, जो उपरोक्त सूत्रों के अनुसार समान डिग्री के रूप में सामने आएंगे।

दो या दो से अधिक चर वाले बहुपदों का विस्तार

दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों के लिए, किसी पद की घात उस पद में चरों के घातांकों का योग होता है; बहुपद की घात (जिसे कभी-कभी 'कुल घात' भी कहा जाता है) बहुपद के सभी पदों की घात का अधिकतम होता है। उदाहरण के लिए, बहुपद x²और² + 3x³ + 4y की डिग्री 4 है, शब्द x के समान डिग्री²और^{2</उप>।}

हालाँकि, चर x और y में एक बहुपद, x में एक बहुपद है जिसमें गुणांक हैं जो y में बहुपद हैं, और y में गुणांक के साथ एक बहुपद भी है जो x में बहुपद हैं। बहुपद

$x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})$

x में डिग्री 3 और y में डिग्री 2 है।

== अमूर्त बीजगणित == में डिग्री फ़ंक्शन एक अंगूठी (गणित) आर दिया गया है, बहुपद अंगूठी आर [एक्स] एक्स में सभी बहुपदों का सेट है जिसमें आर में गुणांक हैं। विशेष मामले में आर एक फ़ील्ड (गणित) भी है, बहुपद अंगूठी आर [x] एक प्रमुख आदर्श डोमेन है और, यहां हमारी चर्चा के लिए अधिक महत्वपूर्ण, एक यूक्लिडियन डोमेन है।

यह दिखाया जा सकता है कि एक क्षेत्र पर बहुपद की डिग्री यूक्लिडियन डोमेन में मानक कार्य की सभी आवश्यकताओं को पूरा करती है। अर्थात्, दो बहुपद f(x) और g(x) दिए गए हैं, गुणनफल f(x)g(x) की घात अलग-अलग f और g की दोनों घातों से बड़ी होनी चाहिए। वास्तव में, कुछ मजबूत है:

$\deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))$

इस उदाहरण के लिए कि क्यों डिग्री फ़ंक्शन एक रिंग पर विफल हो सकता है जो फ़ील्ड नहीं है, निम्न उदाहरण लें। चलो आर = $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$, पूर्णांकों की अंगूठी मॉड्यूलर अंकगणितीय 4। यह अंगूठी एक क्षेत्र नहीं है (और एक अभिन्न डोमेन भी नहीं है) क्योंकि 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4)। इसलिए, मान लीजिए f(x) = g(x) = 2x + 1. फिर, f(x)g(x) = 4x² + 4x + 1 = 1. इस प्रकार deg(f⋅g) = 0 जो f और g की डिग्री से अधिक नहीं है (जिसमें प्रत्येक की डिग्री 1 थी)।

चूंकि रिंग के शून्य तत्व के लिए नॉर्म फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है, इसलिए हम बहुपद f(x) = 0 की डिग्री को भी अपरिभाषित मानते हैं ताकि यह यूक्लिडियन डोमेन में एक नॉर्म के नियमों का पालन करे।

यह भी देखें

• एबेल-रफिनी प्रमेय
• बीजगणित का मौलिक प्रमेय

संदर्भ

• Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer Science & Business Media
• Childs, Lindsay N. (1995), A Concrete Introduction to Higher Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
• Childs, Lindsay N. (2009), A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd ed.), Springer Science & Business Media
• Grillet, Pierre Antoine (2007), Abstract Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
• King, R. Bruce (2009), Beyond the Quartic Equation, Springer Science & Business Media
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society
• Shafarevich, Igor R. (2003), Discourses on Algebra, Springer Science & Business Media

बाहरी कड़ियाँ

• Polynomial Order; Wolfram MathWorld