एक साथ समीकरण मॉडल

समकालिक समीकरण मॉडल एक प्रकार का सांख्यिकीय मॉडल है जिसमें आश्रित और स्वतंत्र चर केवल स्वतंत्र चर के बजाय अन्य आश्रित चर के कार्य होते हैं। इसका मतलब यह है कि कुछ व्याख्यात्मक चर आश्रित चर के साथ अंतर्जातता (अर्थमिति) हैं, जो अर्थशास्त्र में आमतौर पर कुछ अंतर्निहित आर्थिक संतुलन का परिणाम है। विशिष्ट आपूर्ति और मांग मॉडल को लें: जबकि आम तौर पर कोई व्यक्ति आपूर्ति और मांग की मात्रा को बाजार द्वारा निर्धारित मूल्य के आधार पर निर्धारित करता है, इसका विपरीत होना भी संभव है, जहां उत्पादक उस मात्रा का निरीक्षण करते हैं जो उपभोक्ता मांग करते हैं और फिर कीमत निर्धारित करें. समकालिकता रुचि के सांख्यिकीय मापदंडों के बिंदु अनुमान के लिए चुनौतियां खड़ी करती है, क्योंकि गॉस-मार्कोव प्रमेय|गॉस-मार्कोव प्रमेय की गॉस-मार्कोव धारणा#प्रतिगामी की सख्त बहिर्जातता का उल्लंघन किया जाता है। और जबकि एक साथ सभी समीकरणों का अनुमान लगाना स्वाभाविक होगा, यह अक्सर रैखिक समीकरणों की सबसे सरल प्रणाली के लिए भी एक कम्प्यूटेशनल जटिलता गैर-रेखीय अनुकूलन समस्या की ओर ले जाता है। इस स्थिति ने 1940 और 1950 के दशक में काउल्स आयोग के नेतृत्व में विकास को प्रेरित किया, विभिन्न तकनीकें जो मॉडल सेरिएटिम में प्रत्येक समीकरण का अनुमान लगाती हैं, विशेष रूप से सीमित जानकारी अधिकतम संभावना और दो-चरण न्यूनतम वर्ग।

संरचनात्मक और संक्षिप्त रूप

मान लीजिए कि प्रपत्र के m प्रतिगमन समीकरण हैं

$y_{it}=y_{-i,t}'\gamma _{i}+x_{it}'\;\!\beta _{i}+u_{it},\quad i=1,\ldots ,m,$

जहां i समीकरण संख्या है, और t = 1, ..., T अवलोकन सूचकांक है. इन समीकरणों में x_itक है_i×1 बहिर्जात चरों का सदिश, y_itआश्रित चर है, y_−i,tतब है_i×1 अन्य सभी अंतर्जात चर का वेक्टर जो i में प्रवेश करता है^{दाहिनी ओर थ} समीकरण, और यू_itत्रुटि शर्तें हैं. "-i" अंकन इंगित करता है कि वेक्टर y_−i,tइसमें y को छोड़कर कोई भी y शामिल हो सकता है_it(चूँकि यह पहले से ही बायीं ओर मौजूद है)। प्रतिगमन गुणांक β_iऔर γ_ik आयाम के हैं_i×1 और एन_i×1 तदनुसार। i के अनुरूप T अवलोकनों को लंबवत रूप से स्टैक करना^वें समीकरण में, हम प्रत्येक समीकरण को सदिश रूप में लिख सकते हैं

$y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots ,m,$

कहां क्यों_iऔर आप_iT×1 सदिश हैं, X_iएक T×k है_iबहिर्जात प्रतिगामी का मैट्रिक्स, और वाई_−iएक T×n है_ii के दाहिनी ओर अंतर्जात प्रतिगामी का मैट्रिक्स^वें समीकरण. अंत में, हम सभी अंतर्जात चर को बाईं ओर ले जा सकते हैं और एम समीकरणों को संयुक्त रूप से वेक्टर रूप में लिख सकते हैं

$Y\Gamma =X\mathrm {B} +U.\,$

इस प्रतिनिधित्व को संरचनात्मक रूप के रूप में जाना जाता है। इस समीकरण में Y = [y₁ y₂ ... y_m] आश्रित चरों का T×m मैट्रिक्स है। प्रत्येक आव्यूह Y_−iवास्तव में एक एन है_iइस Y का -कॉलमयुक्त सबमैट्रिक्स। m×m मैट्रिक्स Γ, जो आश्रित चर के बीच संबंध का वर्णन करता है, की एक जटिल संरचना है। इसके विकर्ण पर एक हैं, और प्रत्येक कॉलम के अन्य सभी तत्व या तो वेक्टर के घटक हैं -γ_iया शून्य, इस पर निर्भर करता है कि मैट्रिक्स Y में Y के कौन से कॉलम शामिल किए गए थे_−i. T×k मैट्रिक्स X में सभी समीकरणों से सभी बहिर्जात प्रतिगामी शामिल हैं, लेकिन दोहराव के बिना (अर्थात, मैट्रिक्स इस प्रकार, प्रत्येक एक्स_iएक k है_i-एक्स का कॉलमयुक्त सबमैट्रिक्स। मैट्रिक्स Β का आकार k×m है, और इसके प्रत्येक कॉलम में वैक्टर β के घटक शामिल हैं_iऔर शून्य, इस पर निर्भर करता है कि X में से कौन से प्रतिगामी को X में शामिल किया गया था या बाहर रखा गया था_i. आखिरकार, U = [u₁ u₂ ... u_m] त्रुटि शर्तों का एक T×m मैट्रिक्स है।

संरचनात्मक समीकरण को बाद में गुणा करना Γ⁻¹, सिस्टम को संक्षिप्त रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है

$Y=X\mathrm {B} \Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi +V.\,$

यह पहले से ही एक सरल सामान्य रैखिक मॉडल है, और इसका अनुमान उदाहरण के लिए सामान्य न्यूनतम वर्गों द्वारा लगाया जा सकता है। दुर्भाग्य से, अनुमानित मैट्रिक्स को विघटित करने का कार्य $\scriptstyle {\hat {\Pi }}$ व्यक्तिगत कारकों में Β और Γ⁻¹ काफी जटिल है, और इसलिए संक्षिप्त रूप भविष्यवाणी के लिए अधिक उपयुक्त है, लेकिन अनुमान के लिए नहीं।

धारणाएँ

सबसे पहले, बहिर्जात प्रतिगामी के मैट्रिक्स X की रैंक k के बराबर होनी चाहिए, दोनों परिमित नमूनों में और सीमा में T → ∞ (इस बाद की आवश्यकता का अर्थ है कि अभिव्यक्ति की सीमा में $\scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X$ एक गैर-अपक्षयी k×k मैट्रिक्स में परिवर्तित होना चाहिए)। मैट्रिक्स Γ को गैर-पतित भी माना जाता है।

दूसरे, त्रुटि शर्तों को क्रमिक रूप से स्वतंत्र और समान रूप से वितरित माना जाता है। अर्थात्, यदि टी^{मैट्रिक्स U की पंक्ति को u से दर्शाया जाता है_(t), फिर सदिशों का क्रम {u_(t)} शून्य माध्य और कुछ सहप्रसरण मैट्रिक्स Σ (जो अज्ञात है) के साथ आईआईडी होना चाहिए। विशेषकर, इसका तात्पर्य यह है E[U] = 0, और E[U′U] = T Σ.}

अंततः, पहचान के लिए धारणाओं की आवश्यकता होती है।

पहचान

पहचान की शर्तों के लिए आवश्यक है कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली अज्ञात मापदंडों के लिए हल करने योग्य हो।

अधिक विशेष रूप से, आदेश की स्थिति, पहचान के लिए एक आवश्यक शर्त, प्रत्येक समीकरण के लिए है k_i + n_i ≤ k, जिसे "बहिष्कृत बहिर्जात चर की संख्या शामिल अंतर्जात चर की संख्या से अधिक या बराबर है" के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

रैंक की स्थिति, एक मजबूत स्थिति जो आवश्यक और पर्याप्त है, वह है रैंक (रैखिक बीजगणित)। Π_i0 बराबर है n_i, कहाँ Π_i0 एक है (k − k_i)×n_i मैट्रिक्स जो से प्राप्त किया जाता है Π उन स्तंभों को काटकर जो बहिष्कृत अंतर्जात चर के अनुरूप हैं, और उन पंक्तियों को जो शामिल बहिर्जात चर के अनुरूप हैं।

पहचान प्राप्त करने के लिए क्रॉस-समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग करना

एक साथ समीकरण मॉडल में, पैरामीटर पहचान समस्या को प्राप्त करने का सबसे आम तरीका समीकरण के भीतर पैरामीटर प्रतिबंध लगाना है। फिर भी, क्रॉस समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग करके भी पहचान संभव है।

यह स्पष्ट करने के लिए कि पहचान के लिए क्रॉस समीकरण प्रतिबंधों का उपयोग कैसे किया जा सकता है, वूल्ड्रिज के निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें

${\begin{aligned}y_{1}&=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{12}z_{2}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}\\y_{2}&=\gamma _{21}y_{1}+\delta _{21}z_{1}+\delta _{22}z_{2}+u_{2}\end{aligned}}$

जहां z का u से असंबद्ध है और y अंतर्जात चर चर हैं। अतिरिक्त प्रतिबंधों के बिना, पहले समीकरण की पहचान नहीं की जा सकती क्योंकि इसमें कोई बहिष्कृत चर नहीं है। दूसरा समीकरण अभी पहचाना गया है यदि δ₁₃≠0, जिसे शेष चर्चा के लिए सत्य माना जाता है।

अब हम क्रॉस इक्वेशन प्रतिबंध लगाते हैं δ₁₂=δ₂₂. चूँकि दूसरे समीकरण की पहचान हो गई है, हम उपचार कर सकते हैं δ₁₂ जैसा कि पहचान के उद्देश्य से जाना जाता है। फिर, पहला समीकरण बन जाता है:

$y_{1}-\delta _{12}z_{2}=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}$

फिर, हम उपयोग कर सकते हैं (z₁, z₂, z₃) उपरोक्त समीकरण में गुणांकों का अनुमान लगाने के लिए सहायक चर के रूप में क्योंकि एक अंतर्जात चर हैं (y₂) और एक बहिर्जात चर (z₂) दाहिने हाथ की ओर। इसलिए, भीतर-समीकरण प्रतिबंधों के स्थान पर क्रॉस समीकरण प्रतिबंध पहचान प्राप्त कर सकते हैं।

अनुमान

दो-चरण न्यूनतम वर्ग (2एसएलएस)

एक साथ समीकरण मॉडल के लिए सबसे सरल और सबसे सामान्य अनुमान विधि तथाकथित दो-चरण न्यूनतम वर्ग विधि है, द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित किया गया Theil (1953) और Basmann (1957). यह एक समीकरण-दर-समीकरण तकनीक है, जहां प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर अंतर्जात रजिस्ट्रार को अन्य सभी समीकरणों के रजिस्ट्रार एक्स के साथ जोड़ा जा रहा है। इस विधि को "दो-चरण" कहा जाता है क्योंकि यह दो चरणों में अनुमान लगाती है:: चरण 1: वाई को पुनः प्राप्त करें_−iएक्स पर और अनुमानित मान प्राप्त करें $\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}$;

चरण 2: अनुमान सी_i, बी_iy के सामान्य न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन द्वारा_iपर $\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}$ और एक्स_i.

यदि मैं^{मॉडल में समीकरण इस प्रकार लिखा गया है}

$y_{i}={\begin{pmatrix}Y_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma _{i}\\\beta _{i}\end{pmatrix}}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i},$

जहाँ Z_iएक T×(n) है_i + k_i) i में अंतर्जात और बहिर्जात दोनों प्रतिगामी का मैट्रिक्स^वें समीकरण, और δ_iएक (एन) है_i + k_i)-प्रतिगमन गुणांक का आयामी वेक्टर, फिर δ का 2SLS अनुमानक_iद्वारा दिया जाएगा: ${\hat {\delta }}_{i}={\big (}{\hat {Z}}'_{i}{\hat {Z}}_{i}{\big )}^{-1}{\hat {Z}}'_{i}y_{i}={\big (}Z'_{i}PZ_{i}{\big )}^{-1}Z'_{i}Py_{i},$ कहाँ P = X (X ′X)⁻¹X ′ बहिर्जात रजिस्ट्रार एक्स द्वारा फैलाए गए रैखिक स्थान पर प्रक्षेपण मैट्रिक्स है।

अप्रत्यक्ष न्यूनतम वर्ग

अप्रत्यक्ष न्यूनतम वर्ग अर्थमिति में एक दृष्टिकोण है जहां एक साथ समीकरण मॉडल में गुणांक का अनुमान साधारण न्यूनतम वर्गों का उपयोग करके कम फॉर्म मॉडल से लगाया जाता है। इसके लिए सबसे पहले समीकरणों की संरचनात्मक प्रणाली को लघु रूप में परिवर्तित किया जाता है। एक बार जब गुणांक का अनुमान लगाया जाता है तो मॉडल को संरचनात्मक रूप में वापस रख दिया जाता है।

सीमित जानकारी अधिकतम संभावना (एलआईएमएल)

"सीमित जानकारी" अधिकतम संभावना पद्धति का सुझाव मेयर ए. गिर्शिक|एम ने दिया था। 1947 में ए. गिर्शिक, और थियोडोर विल्बर एंडरसन|टी द्वारा औपचारिक रूप दिया गया। डब्ल्यू. एंडरसन और हरमन रुबिन|एच. 1949 में रुबिन। इसका उपयोग तब किया जाता है जब कोई एक समय में एकल संरचनात्मक समीकरण का अनुमान लगाने में रुचि रखता है (इसलिए इसका सीमित जानकारी का नाम), अवलोकन के लिए कहें:

$y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i}$

शेष अंतर्जात चर Y के लिए संरचनात्मक समीकरण_−i निर्दिष्ट नहीं हैं, और वे उनके संक्षिप्त रूप में दिए गए हैं:

$Y_{-i}=X\Pi +U_{-i}$

इस संदर्भ में संकेतन साधारण वाद्ययंत्र चर मामले से भिन्न है। किसी के पास:

• $Y_{-i}$: अंतर्जात चर।
• $X_{-i}$: बहिर्जात चर
• $X$: उपकरण(है) (अक्सर दर्शाया जाता है $Z$)

LIML के लिए स्पष्ट सूत्र है:

${\hat {\delta }}_{i}={\Big (}Z'_{i}(I-\lambda M)Z_{i}{\Big )}^{\!-1}Z'_{i}(I-\lambda M)y_{i},$

कहाँ M = I − X (X ′X)⁻¹X ′, और λ मैट्रिक्स की सबसे छोटी विशेषता जड़ है:

${\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}^{\!-1}$

जहां, इसी प्रकार, M_i = I − X_i (X_i′X_i)⁻¹X_i′.

दूसरे शब्दों में, λ सामान्यीकृत eigenvalue समस्या#सामान्यीकृत eigenvalue समस्या का सबसे छोटा समाधान है, देखें Theil (1971, p. 503):

${\Big |}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big |}=0$

के वर्ग अनुमानक

एलआईएमएल के-वर्ग अनुमानकों का एक विशेष मामला है:

${\hat {\delta }}={\Big (}Z'(I-\kappa M)Z{\Big )}^{\!-1}Z'(I-\kappa M)y,$

साथ:

• $\delta ={\begin{bmatrix}\beta _{i}&\gamma _{i}\end{bmatrix}}$
• $Z={\begin{bmatrix}X_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}$

कई अनुमानक इस वर्ग से संबंधित हैं:

• κ=0: सामान्य न्यूनतम वर्ग
• κ=1: 2एसएलएस। वास्तव में ध्यान दें कि इस मामले में, $I-\kappa M=I-M=P$ 2SLS का सामान्य प्रक्षेपण मैट्रिक्स
• के=एल: एलआईएमएल
• κ=λ - α / (एन-के): Fuller (1977) अनुमानक. यहां K उपकरणों की संख्या, n नमूना आकार और α निर्दिष्ट करने के लिए एक सकारात्मक स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है। α=1 का मान एक अनुमानक उत्पन्न करेगा जो लगभग निष्पक्ष है।

तीन-चरण न्यूनतम वर्ग (3एसएलएस)

त्रि-चरण न्यूनतम वर्ग अनुमानक किसके द्वारा प्रस्तुत किया गया था? Zellner & Theil (1962). इसे बहु-समीकरण सामान्यीकृत क्षणों की विधि के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है जहां वाद्य चर का सेट सभी समीकरणों के लिए सामान्य है। यदि सभी प्रतिगामी वास्तव में पूर्व निर्धारित हैं, तो 3SLS प्रतीत होता है कि असंबद्ध प्रतिगमन (SUR) में कम हो जाता है। इस प्रकार इसे SUR के साथ 2SLS|दो-चरण न्यूनतम वर्ग (2SLS) के संयोजन के रूप में भी देखा जा सकता है।

सामाजिक विज्ञान में अनुप्रयोग

सभी क्षेत्रों और विषयों में एक साथ समीकरण मॉडल विभिन्न अवलोकन संबंधी घटनाओं पर लागू होते हैं। ये समीकरण तब लागू होते हैं जब घटनाओं को पारस्परिक रूप से कारण माना जाता है। अर्थशास्त्र में आपूर्ति और मांग इसका उत्कृष्ट उदाहरण है। अन्य विषयों में उम्मीदवार मूल्यांकन और पार्टी पहचान जैसे उदाहरण हैं या राजनीति विज्ञान में जनमत और सामाजिक नीति; भूगोल में सड़क निवेश और यात्रा की मांग; और समाजशास्त्र या जनसांख्यिकी में शैक्षिक प्राप्ति और पितृत्व प्रवेश। एक साथ समीकरण मॉडल के लिए पारस्परिक कार्य-कारण के सिद्धांत की आवश्यकता होती है जिसमें विशेष विशेषताएं शामिल होती हैं यदि कारण प्रभावों का अनुमान एक साथ प्रतिक्रिया के रूप में लगाया जाता है, न कि समीकरण के एक तरफा 'ब्लॉक' के विपरीत जहां एक शोधकर्ता वाई पर एक्स के कारण प्रभाव में रुचि रखता है। X पर Y के कारण प्रभाव को स्थिर रखते हुए, या जब शोधकर्ता को प्रत्येक कारण प्रभाव होने में लगने वाले समय की सटीक मात्रा पता हो, यानी, कारण अंतराल की लंबाई। विलंबित प्रभावों के बजाय, एक साथ प्रतिक्रिया का मतलब एक दूसरे पर एक्स और वाई के एक साथ और सतत प्रभाव का अनुमान लगाना है। इसके लिए एक सिद्धांत की आवश्यकता है कि कारण प्रभाव समय में एक साथ होते हैं, या इतने जटिल होते हैं कि वे एक साथ व्यवहार करते प्रतीत होते हैं; रूममेट्स की मनोदशा एक सामान्य उदाहरण है। एक साथ प्रतिक्रिया मॉडल का अनुमान लगाने के लिए संतुलन का एक सिद्धांत भी आवश्यक है - कि एक्स और वाई अपेक्षाकृत स्थिर स्थिति में हैं या एक प्रणाली (समाज, बाजार, कक्षा) का हिस्सा हैं जो अपेक्षाकृत स्थिर स्थिति में है।

यह भी देखें

• सामान्य रैखिक मॉडल
• प्रतीत होता है कि असंबंधित प्रतिगमन
• घटा हुआ रूप
• पैरामीटर पहचान समस्या

अग्रिम पठन

• Asteriou, Dimitrios; Hall, Stephen G. (2011). Applied Econometrics (Second ed.). Basingstoke: Palgrave Macmillan. p. 395. ISBN 978-0-230-27182-1.
• Chow, Gregory C. (1983). Econometrics. New York: McGraw-Hill. pp. 117–121. ISBN 0-07-010847-1.
• Fomby, Thomas B.; Hill, R. Carter; Johnson, Stanley R. (1984). "Simultaneous Equations Models". Advanced Econometric Methods. New York: Springer. pp. 437–552. ISBN 0-387-90908-7.
• Maddala, G. S.; Lahiri, Kajal (2009). "Simultaneous Equations Models". Introduction to Econometrics (Fourth ed.). New York: Wiley. pp. 355–400. ISBN 978-0-470-01512-4.
• Ruud, Paul A. (2000). "Simultaneous Equations". An Introduction to Classical Econometric Theory. Oxford University Press. pp. 697–746. ISBN 0-19-511164-8.
• Sargan, Denis (1988). Lectures on Advanced Econometric Theory. Oxford: Basil Blackwell. pp. 68–89. ISBN 0-631-14956-2.
• Wooldridge, Jeffrey M. (2013). "Simultaneous Equations Models". Introductory Econometrics (Fifth ed.). South-Western. pp. 554–582. ISBN 978-1-111-53104-1.

बाहरी संबंध

• Lecture on the Identification Problem in 2SLS, and Estimation on YouTube by Mark Thoma