एच वर्ग

गणित और नियंत्रण सिद्धांत में, एच², या एच-स्क्वायर वर्ग मानदंड वाला एक हार्डी स्पेस है। यह एलपी स्पेस|एल का एक उपस्पेस है²स्थान, और इस प्रकार यह हिल्बर्ट स्थान है। विशेष रूप से, यह एक पुनरुत्पादक कर्नेल हिल्बर्ट स्पेस है।

यूनिट सर्कल पर

सामान्य तौर पर, एल के तत्व²यूनिट सर्कल पर द्वारा दिए गए हैं

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }$

जबकि H के तत्व²द्वारा दिए गए हैं

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.$

एल से प्रक्षेपण²से H² (ए सेट करके_n= 0 जब n < 0) ऑर्थोगोनल है।

आधे तल पर

लाप्लास परिवर्तन ${\mathcal {L}}$ द्वारा दिए गए

$[{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

इसे एक रैखिक संचालिका के रूप में समझा जा सकता है

${\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right)$

कहाँ $L^{2}(0,\infty )$ सकारात्मक वास्तविक संख्या रेखा पर वर्ग-अभिन्न कार्यों का सेट है, और $\mathbb {C} ^{+}$ जटिल तल का दाहिना आधा भाग है। यह अधिक है; यह एक समरूपता है, इसमें यह उलटा है, और यह समरूपता है, इसमें यह संतुष्ट करता है

$\|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.$

लाप्लास परिवर्तन फूरियर रूपांतरण का आधा हिस्सा है; विघटन से

$L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )$

फिर एक ओर्थोगोनल अपघटन प्राप्त होता है $L^{2}(\mathbb {R} )$ दो हार्डी स्थानों में

$L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).$

यह मूलतः पैली-वीनर प्रमेय है।

यह भी देखें

• एच अनंत|एच_∞

संदर्भ

• Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2.