एनर्जी कैस्केड

लेजर-प्रेरित प्रतिदीप्ति द्वारा निर्मित एक अशांत जेट का प्रवाह दृश्य। जेट लंबाई के पैमाने की एक विस्तृत श्रृंखला प्रदर्शित करता है, अशांति मॉडलिंग में एक ऊर्जा झरना की उपस्थिति के लिए एक शर्त है।

निरंतर यांत्रिकी में, एक ऊर्जा कैस्केड में गति के बड़े पैमाने से छोटे पैमाने पर ऊर्जा का स्थानांतरण होता है (जिसे प्रत्यक्ष ऊर्जा झरना कहा जाता है) या छोटे पैमाने से बड़े पैमाने पर ऊर्जा का स्थानांतरण (एक व्युत्क्रम ऊर्जा झरना कहा जाता है)। विभिन्न पैमानों के बीच ऊर्जा के इस हस्तांतरण के लिए आवश्यक है कि सिस्टम की गतिशीलता (यांत्रिकी) अरैखिक हो। सख्ती से बोलते हुए, एक कैस्केड को स्केल में स्थानीय होने के लिए ऊर्जा हस्तांतरण की आवश्यकता होती है (केवल लगभग समान आकार के उतार-चढ़ाव के बीच), स्केल डोमेन में लंबी दूरी के स्थानान्तरण के बिना पूल से पूल तक कास्केडिंग झरना उत्पन्न करना।

Big whirls have little whirls
that feed on their velocity,
And little whirls have lesser whirls
and so on to viscosity

—Lewis F. Richardson, 1922

यह अवधारणा अच्छी तरह से विकसित विक्षोभ के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। 1920 के दशक में लुईस एफ रिचर्डसन द्वारा इस कविता में इसे यादगार रूप से व्यक्त किया गया था। तरंग अशांति के सिद्धांत में पवन तरंगों के लिए ऊर्जा कैस्केड भी महत्वपूर्ण हैं।

उदाहरण के लिए एक ऊंची इमारत के चारों ओर हवा के प्रवाह से उत्पन्न अशांति पर विचार करें: प्रवाह पृथक्करण द्वारा उत्पन्न ऊर्जा युक्त भँवरों का आकार दसियों मीटर के क्रम का होता है। कहीं नीचे की ओर, चिपचिपाहट द्वारा अपव्यय होता है, अधिकांश भाग के लिए, कोलमोगोरोव सूक्ष्मदर्शी में एड़ी (द्रव गतिकी) में: वर्तमान मामले के लिए एक मिलीमीटर के क्रम में। इन मध्यवर्ती पैमानों पर, न तो प्रवाह का प्रत्यक्ष बल होता है और न ही महत्वपूर्ण मात्रा में चिपचिपा अपव्यय होता है, लेकिन बड़े पैमाने से छोटे पैमाने पर ऊर्जा का शुद्ध अरैखिक हस्तांतरण होता है।

तराजू की यह मध्यवर्ती श्रेणी, यदि मौजूद है, तो जड़त्वीय उपश्रेणी कहलाती है। इन पैमानों पर गतिकी का वर्णन स्व-समानता के उपयोग द्वारा, या मान्यताओं द्वारा - विक्षोभ बंद करने के लिए - जड़त्वीय उपश्रेणी में प्रवाह के सांख्यिकीय गुणों पर किया जाता है। 1940 के दशक में एंड्री कोलमोगोरोव द्वारा अशांति जड़त्वीय उपश्रेणी में अपेक्षित तरंग संख्या स्पेक्ट्रम की कटौती एक अग्रणी कार्य था।

== अशांत प्रवाह == की जड़त्वीय उपश्रेणी में स्पेक्ट्रा

अशांति के ऊर्जा स्पेक्ट्रम में उत्पादन, ऊर्जा झरना और अपव्यय का योजनाबद्ध चित्रण।

विक्षोभ की सबसे बड़ी गतियों या भंवरों में अधिकांश गतिज ऊर्जा होती है, जबकि सबसे छोटे भंवर विक्षोभ गतिज ऊर्जा के चिपचिपे अपव्यय के लिए जिम्मेदार होते हैं। कोल्मोगोरोव ने परिकल्पना की कि जब ये पैमाने अच्छी तरह से अलग हो जाते हैं, तो लंबाई के पैमाने की मध्यवर्ती सीमा सांख्यिकीय रूप से आइसोट्रोपिक होगी, और यह कि संतुलन में इसकी विशेषताएं केवल उस दर पर निर्भर करती हैं जिस पर छोटे पैमाने पर गतिज ऊर्जा का प्रसार होता है। अपव्यय यांत्रिक ऊर्जा का तापीय ऊर्जा में घर्षण रूपांतरण है। अपव्यय दर, $\varepsilon$, अशांत प्रवाह में तनाव की उतार-चढ़ाव दर और द्रव की कीनेमेटिक चिपचिपाहट के संदर्भ में लिखा जा सकता है, v. इसमें प्रति यूनिट द्रव्यमान प्रति सेकेंड ऊर्जा के आयाम हैं। संतुलन में, गति के बड़े पैमाने पर विक्षोभ गतिज ऊर्जा का उत्पादन छोटे पैमाने पर इस ऊर्जा के अपव्यय के बराबर होता है।

अशांति का ऊर्जा स्पेक्ट्रम

विक्षोभ का ऊर्जा स्पेक्ट्रम, E(k), माध्य विक्षोभ गतिज ऊर्जा प्रति इकाई द्रव्यमान से संबंधित है जैसा कि

${\frac {1}{2}}\left({\overline {u_{i}u_{i}}}\right)=\int _{0}^{\infty }E(k)\;dk,$

जहां तुम_i उतार-चढ़ाव वाले वेग के घटक हैं, ओवरबार एक पहनावा औसत को दर्शाता है, i पर योग निहित है, और k तरंग संख्या है। ऊर्जा स्पेक्ट्रम, E(k), इस प्रकार k से k + dk तक तरंग संख्याओं द्वारा विक्षोभ गतिज ऊर्जा में योगदान का प्रतिनिधित्व करता है। सबसे बड़े भंवर में कम तरंग संख्या होती है, और छोटे भंवर में उच्च तरंग संख्या होती है।

चूँकि विसरण वेग के लाप्लास संचालक के रूप में जाता है, अपव्यय दर को ऊर्जा स्पेक्ट्रम के रूप में लिखा जा सकता है:

$\varepsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }k^{2}E(k)\;dk,$

ν के साथ द्रव की कीनेमेटिक चिपचिपाहट। इस समीकरण से, यह फिर से देखा जा सकता है कि अपव्यय मुख्य रूप से उच्च तरंगों (छोटे भंवरों) से जुड़ा हुआ है, भले ही गतिज ऊर्जा मुख्य रूप से कम तरंगों (बड़े भंवरों) से जुड़ी हो।

जड़त्वीय उपश्रेणी में ऊर्जा स्पेक्ट्रम

निम्न तरंग संख्या से उच्च तरंग संख्या में ऊर्जा का स्थानांतरण ऊर्जा झरना है। यह स्थानांतरण अशांति गतिज ऊर्जा को बड़े पैमाने से छोटे पैमाने पर लाता है, जिस पर चिपचिपा घर्षण इसे नष्ट कर देता है। तराजू की मध्यवर्ती श्रेणी में, तथाकथित जड़त्वीय उपश्रेणी, कोलमोगोरोव की परिकल्पना ने ऊर्जा स्पेक्ट्रम के लिए निम्नलिखित सार्वभौमिक रूप का नेतृत्व किया:

$E(k)=C\varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}.$

प्रायोगिक साक्ष्य का एक व्यापक निकाय इस परिणाम का समर्थन करता है, स्थितियों की एक विस्तृत श्रृंखला पर। प्रयोगात्मक रूप से, मान C = 1.5 देखा जाता है।

दबाव उतार-चढ़ाव का स्पेक्ट्रम

अशांत प्रवाह में दबाव में उतार-चढ़ाव इसी तरह की विशेषता हो सकती है। एक विक्षुब्ध प्रवाह में माध्य-स्क्वायर दाब उतार-चढ़ाव एक दाब स्पेक्ट्रम द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, π(क):

${\overline {p^{2}}}=\int _{0}^{\infty }\pi (k)\;dk.$

बिना किसी औसत वेग प्रवणता (आइसोट्रोपिक टर्बुलेंस) के विक्षोभ के मामले में, जड़त्वीय उपश्रेणी में स्पेक्ट्रम द्वारा दिया जाता है

$\pi (k)=\alpha \rho ^{2}\varepsilon ^{4/3}k^{-7/3},$

जहां ρ द्रव घनत्व है, और α = 1.32 सी² = 2.97। एक माध्य-प्रवाह वेग प्रवणता (कतरनी प्रवाह) जड़त्वीय उपश्रेणी दबाव स्पेक्ट्रम में एक अतिरिक्त, योगात्मक योगदान बनाता है जो कि k के रूप में भिन्न होता है^-11/3; लेकिन कश्मीर^−7/3 व्यवहार उच्चतर तरंगों पर प्रभावी होता है।

एक मुक्त तरल सतह पर केशिका गड़बड़ी का स्पेक्ट्रम

एक तरल की मुक्त सतह के नीचे दबाव में उतार-चढ़ाव तरल सतह के उतार-चढ़ाव वाले विस्थापन को चला सकता है। यह मुक्त-सतह-अशांति अन्योन्यक्रिया को वेवनंबर स्पेक्ट्रम द्वारा भी चित्रित किया जा सकता है। यदि δ अपनी औसत स्थिति से सतह का तात्कालिक विस्थापन है, तो औसत वर्ग विस्थापन को विस्थापन स्पेक्ट्रम G(k) के रूप में दर्शाया जा सकता है:

${\overline {\delta ^{2}}}=\int _{0}^{\infty }G(k)\;dk.$

दबाव स्पेक्ट्रम के एक त्रि-आयामी रूप को यंग-लाप्लास समीकरण के साथ जोड़कर दिखाया जा सकता है कि:

$G(k)\propto k^{-19/3}.$

इस k का प्रायोगिक अवलोकन^-19/3 नियम अशांत मुक्त तरल जेट की सतह के ऑप्टिकल माप द्वारा प्राप्त किया गया है।

संदर्भ

• Chorin, A.J. (1994), Vorticity and turbulence, Applied Mathematical Sciences, vol. 103, Springer, ISBN 978-0-387-94197-4
• Falkovich, G.; Sreenivasan, K.R. (2006), "Lessons from hydrodynamic turbulence", Physics Today, 59 (4): 43–49, Bibcode:2006PhT....59d..43F, doi:10.1063/1.2207037
• Frisch, U. (1995), Turbulence: The Legacy of A.N. Kolmogorov, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45713-2
• Newell, A.C.; Rumpf, B. (2011), "Wave turbulence", Annual Review of Fluid Mechanics, 43 (1): 59–78, Bibcode:2011AnRFM..43...59N, doi:10.1146/annurev-fluid-122109-160807
• Richardson, L.F. (1922), Weather prediction by numerical process, Cambridge University Press, OCLC 3494280

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• G. Falkovich (ed.). "Cascade and scaling". Scholarpedia.