एफ़िन प्लेन (घटना ज्यामिति)

For the algebraic definition of the same space, see Affine space.

ज्यामिति में, एक एफ़िन प्लेन बिंदुओं और रेखाओं की एक प्रणाली है जो निम्नलिखित सिद्धांतों को संतुष्ट करती है:

• कोई भी दो अलग-अलग बिंदु एक अद्वितीय रेखा पर स्थित होते हैं।
• किसी भी रेखा और किसी भी बिंदु को देखते हुए जो उस रेखा पर नहीं है, एक अद्वितीय रेखा होती है जिसमें बिंदु होता है और दी गई रेखा से नहीं मिलता है। (प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध)
• तीन असंरेख बिंदु मौजूद हैं (बिंदु एक रेखा पर नहीं)।

एक एफ़िन विमान में, दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि वे समान या असंयुक्त सेट हों। इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, ऊपर दिए गए प्लेफ़ेयर के सिद्धांत को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

• एक बिंदु और एक रेखा को देखते हुए, एक अद्वितीय रेखा होती है जिसमें बिंदु होता है और वह रेखा के समानांतर होती है।

समांतरता एक एफ़िन विमान की तर्ज पर एक तुल्यता संबंध है।

चूँकि बिंदुओं और रेखाओं के बीच संबंध को छोड़कर कोई भी अवधारणा स्वयंसिद्धों में शामिल नहीं है, एक एफ़िन विमान घटना ज्यामिति से संबंधित अध्ययन का एक उद्देश्य है। वे प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाले गैर-पतित रैखिक स्थान (ज्यामिति) हैं।

परिचित यूक्लिडियन विमान एक एफ़िन विमान है। अनेक परिमित और अनंत एफ़िन स्तर हैं। फ़ील्ड्स (और विभाजन की अंगूठी्स) पर एफ़िन विमानों के साथ-साथ, कई गैर-डेसार्गेसियन विमान भी हैं, जो किसी डिवीज़न रिंग में निर्देशांक से प्राप्त नहीं होते हैं, जो इन सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं। मौलटन विमान इनमें से एक का एक उदाहरण है।

परिमित एफ़िन विमान

Affine plane of order 3
9 points, 12 lines

यदि एक एफ़िन विमान में बिंदुओं की संख्या सीमित है, तो यदि विमान की एक रेखा में शामिल है n अंक तो:

• प्रत्येक पंक्ति में शामिल है n अंक,
• प्रत्येक बिंदु समाहित है n + 1 पंक्तियाँ,
• वहाँ हैं n² सभी अंक, और
• कुल है n² + n पंक्तियाँ.

जो नंबर n को फैनो विमान का क्रम कहा जाता है।

सभी ज्ञात परिमित एफ़िन विमानों में ऐसे आदेश होते हैं जो अभाज्य या अभाज्य घात पूर्णांक होते हैं। फ़ानो समतल से एक रेखा और उस रेखा पर तीन बिंदुओं को हटाकर सबसे छोटा एफ़िन समतल (क्रम 2 का) प्राप्त किया जाता है। एक समान निर्माण, क्रम 3 के प्रक्षेप्य तल से शुरू होकर, क्रम 3 के एफ़िन तल का निर्माण करता है जिसे कभी-कभी हेस्से विन्यास भी कहा जाता है। आदेश का एक एफ़िन विमान n मौजूद है यदि और केवल यदि एक प्रक्षेप्य तल#क्रम के परिमित प्रक्षेप्य तल n मौजूद है (हालाँकि, इन दोनों मामलों में आदेश की परिभाषा समान नहीं है)। इस प्रकार, क्रम 6 या क्रम 10 का कोई एफ़िन विमान नहीं है क्योंकि उन क्रमों का कोई प्रक्षेप्य तल नहीं है। ब्रुक-राइसर-चौला प्रमेय एक प्रक्षेप्य विमान के क्रम पर और अधिक सीमाएं प्रदान करता है, और इस प्रकार, एक एफ़िन विमान का क्रम। वह n² + n क्रम के एक एफ़िन विमान की रेखाएँ n में गिरावट n + 1 तुल्यता वर्ग n समांतरता के तुल्यता संबंध के तहत प्रत्येक पंक्तियाँ। इन वर्गों को रेखाओं के समानांतर वर्ग कहा जाता है। किसी भी समानांतर वर्ग में रेखाएं एफ़िन प्लेन के बिंदुओं को एक विभाजन बनाती हैं। हरेक n + 1 एक ही बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं एक अलग समानांतर वर्ग में स्थित होती हैं।

क्रम के एक एफ़िन विमान की समानांतर वर्ग संरचना n का उपयोग एक सेट के निर्माण के लिए किया जा सकता है n − 1 परस्पर ओर्थोगोनल लैटिन वर्ग। इस निर्माण के लिए केवल घटना संबंधों की आवश्यकता है।

प्रक्षेप्य तलों के साथ संबंध

Main article: Projective plane

किसी भी प्रक्षेप्य तल से एक रेखा और उस पर मौजूद सभी बिंदुओं को हटाकर एक एफ़िन विमान प्राप्त किया जा सकता है, और इसके विपरीत किसी भी एफ़िन विमान का उपयोग अनंत पर एक रेखा जोड़कर एक प्रक्षेप्य विमान के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिसका प्रत्येक बिंदु अनंत पर वह बिंदु है जहां समांतर रेखाओं का समतुल्य वर्ग मिलता है।

यदि प्रक्षेप्य तल गैर-डेसार्गुएसियन तल|गैर-देसार्गुएशियन है, तो विभिन्न रेखाओं को हटाने से गैर-आइसोमोर्फिक एफ़िन तल बन सकते हैं। उदाहरण के लिए, क्रम नौ के ठीक चार प्रक्षेप्य तल हैं, और क्रम नौ के सात एफ़िन तल हैं। आदेश नौ के कार्तीय तल के अनुरूप केवल एक एफ़िन विमान है क्योंकि उस प्रक्षेप्य विमान का संरेखण विमान की तर्ज पर ट्रांजिटिव (समूह क्रिया) कार्य करता है। क्रम नौ के तीन गैर-डेसार्गेसियन विमानों में से प्रत्येक में संरेखण समूह होते हैं जिनकी रेखाओं पर दो कक्षाएँ होती हैं, जो क्रम नौ के दो गैर-आइसोमोर्फिक एफ़िन विमानों का निर्माण करती हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि हटाई जाने वाली रेखा को किस कक्षा से चुना गया है।

एफ़िन अनुवाद विमान

एक पंक्ति l एक प्रक्षेप्य तल में Π यदि अक्ष के साथ संबंधों का समूह है तो एक ट्रांसमिशन लाइन है l समूह क्रिया (गणित) एफ़िन विमान के बिंदुओं पर सकर्मक गुण को हटाकर प्राप्त किया जाता है l हवाई जहाज़ से Π. ट्रांसलेशन लाइन वाले प्रक्षेप्य तल को ट्रांसलेशन प्लेन कहा जाता है और ट्रांसलेशन लाइन को हटाकर प्राप्त एफ़िन प्लेन को एफ़िन ट्रांसलेशन प्लेन कहा जाता है। जबकि सामान्य तौर पर प्रोजेक्टिव प्लेन के साथ काम करना अक्सर आसान होता है, इस संदर्भ में एफ़िन प्लेन को प्राथमिकता दी जाती है और कई लेखक केवल एफ़िन ट्रांसलेशन प्लेन के लिए ट्रांसलेशन प्लेन शब्द का उपयोग करते हैं। एफ़िन अनुवाद विमानों का एक वैकल्पिक दृश्य निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: चलो V एक हो 2n फ़ील्ड पर आयामी सदिश स्थल (गणित) F. का फैलाव V एक समुच्चय है S का n-आयामी उप-स्थान V जो गैर-शून्य सदिशों का विभाजन करता है V. के सदस्य S प्रसार और यदि के घटक कहलाते हैं V_i और V_j तो फिर अलग-अलग घटक हैं V_i ⊕ V_j = V. होने देना A वह घटना संरचना बनें जिसके बिंदु सदिश हैं V और जिनकी रेखाएँ घटकों के सहसमुच्चय हैं, अर्थात् रूप के समुच्चय हैं v + U कहाँ v का एक वेक्टर है V और U प्रसार का एक घटक है S. तब:

A एक एफ़िन विमान और अनुवाद (ज्यामिति) का समूह है x → x + w एक वेक्टर के लिए w एक ऑटोमोर्फिज्म समूह है जो इस तल के बिंदुओं पर नियमित रूप से कार्य करता है।

सामान्यीकरण: k-नेट

एक परिमित एफ़िन विमान की तुलना में अधिक सामान्य घटना संरचना एक है k-ऑर्डर का जाल n. इसमें शामिल है n² अंक और nk पंक्तियाँ ऐसी कि:

• समानांतरता (जैसा कि एफ़िन विमानों में परिभाषित किया गया है) रेखाओं के सेट पर एक तुल्यता संबंध है।
• प्रत्येक पंक्ति बिल्कुल सटीक है n अंक, और प्रत्येक समानांतर वर्ग के पास है n रेखाएं (इसलिए रेखाओं का प्रत्येक समानांतर वर्ग बिंदु सेट को विभाजित करता है)।
• वहाँ हैं k रेखाओं के समानांतर वर्ग। प्रत्येक बिंदु बिल्कुल सही पर स्थित है k रेखाएँ, प्रत्येक समानांतर वर्ग से एक।

एक (n + 1)-ऑर्डर का जाल n वास्तव में क्रम का एक एफ़िन विमान है n.

ए k-ऑर्डर का जाल n के एक सेट के बराबर है k − 2 क्रम के पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग n.

उदाहरण: अनुवाद जाल

एक मनमाना क्षेत्र के लिए F, होने देना Σ का एक सेट हो n-सदिश समष्टि के आयामी उप-स्थान F²ⁿ, जिनमें से कोई भी दो केवल {0} में प्रतिच्छेद करते हैं (जिसे आंशिक प्रसार कहा जाता है)। के सदस्य Σ, और उनके सहसमुच्चय F²ⁿ, के बिंदुओं पर अनुवाद जाल की रेखाएँ बनाएँ F²ⁿ. अगर |Σ| = k यह है एक k-ऑर्डर का जाल |Fⁿ|. एफ़िन अनुवाद विमान से शुरू करके, समानांतर कक्षाओं का कोई भी सबसेट एक ट्रांसलेशन नेट बनाएगा।

ट्रांसलेशन नेट को देखते हुए, एफाइन प्लेन बनाने के लिए नेट में समानांतर कक्षाएं जोड़ना हमेशा संभव नहीं होता है। हालांकि, यदि F एक अनंत क्षेत्र है, कोई भी आंशिक प्रसार Σ से कम के साथ |F| सदस्यों को बढ़ाया जा सकता है और अनुवाद नेट को एक एफ़िन अनुवाद विमान तक पूरा किया जा सकता है।

ज्यामितीय कोड

किसी भी परिमित आपतन संरचना की रेखा/बिंदु आपतन मैट्रिक्स को देखते हुए, M, और कोई भी क्षेत्र (गणित), F का पंक्ति स्थान M ऊपर F एक रैखिक कोड है जिसे हम निरूपित कर सकते हैं C = C_F(M). एक अन्य संबंधित कोड जिसमें घटना संरचना के बारे में जानकारी शामिल है, हल है C जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\operatorname {Hull} (C)=C\cap C^{\perp },$

कहाँ C^⊥ ऑर्थोगोनल कोड है C.

व्यापकता के इस स्तर पर इन कोडों के बारे में बहुत कुछ नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यदि घटना संरचना में कुछ नियमितता है तो इस तरह से उत्पादित कोड का विश्लेषण किया जा सकता है और कोड और घटना संरचनाओं के बारे में जानकारी एक दूसरे से प्राप्त की जा सकती है। जब घटना संरचना एक परिमित एफ़िन विमान होती है, तो कोड कोड के एक वर्ग से संबंधित होते हैं जिन्हें ज्यामितीय कोड के रूप में जाना जाता है। एफ़िन प्लेन के बारे में कोड में कितनी जानकारी होती है यह आंशिक रूप से फ़ील्ड की पसंद पर निर्भर करता है। यदि फ़ील्ड की विशेषता (फ़ील्ड) विमान के क्रम को विभाजित नहीं करती है, तो उत्पन्न कोड पूर्ण स्थान होता है और इसमें कोई जानकारी नहीं होती है। वहीं दूसरी ओर, * अगर π क्रम का एक एफ़िन विमान है n और F विशेषता का एक क्षेत्र है p, कहाँ p बांटता है n, फिर कोड का न्यूनतम वजन B = Hull(C_F(π))^⊥ है n और सभी न्यूनतम भार वाले सदिश सदिशों के स्थिर गुणज हैं जिनकी प्रविष्टियाँ या तो शून्य या एक हैं।

आगे, * अगर π क्रम का एक एफ़िन विमान है p और F विशेषता का एक क्षेत्र है p, तब C = Hull(C_F(π))^⊥ और न्यूनतम भार सदिश बिल्कुल रेखाओं के (घटना सदिश) के अदिश गुणज हैं π.

कब π = AG(2, q) उत्पन्न ज्यामितीय कोड है q-एरी रीड-मुलर कोड।

स्थानों को एफ़िन करें

एफ़िन रिक्त स्थान को प्रक्षेप्य विमानों से एफ़िन विमानों के निर्माण के समान तरीके से परिभाषित किया जा सकता है। उच्च-आयामी एफ़िन रिक्त स्थान के लिए स्वयंसिद्धों की एक प्रणाली प्रदान करना भी संभव है जो संबंधित प्रक्षेप्य स्थान को संदर्भित नहीं करता है।

संदर्भ

• Assmus, E.F. Jr.; Key, J.D. (1992), Designs and their Codes, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41361-9
• Cameron, Peter J. (1991), Projective and Polar Spaces, QMW Maths Notes, vol. 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
• Hartshorne, R. (2000), Geometry: Euclid and Beyond, Springer, ISBN 0387986502
• Hughes, D.; Piper, F. (1973), Projective Planes, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
• Lenz, H. (1961), Grundlagen der Elementarmathematik, Berlin: Deutscher Verlag d. Wiss.
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अग्रिम पठन

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• Kárteszi, F. (1976), Introduction to Finite Geometries, Amsterdam: North-Holland, ISBN 0-7204-2832-7
• Lindner, Charles C.; Rodger, Christopher A. (1997), Design Theory, CRC Press, ISBN 0-8493-3986-3
• Lüneburg, Heinz (1980), Translation Planes, Berlin: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
• Stevenson, Frederick W. (1972), Projective Planes, San Francisco: W.H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9