ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण)

कार्यात्मक विश्लेषण में, ओपन मैपिंग प्रमेय, जिसे बनच-शॉडर प्रमेय या बनच प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है (स्टीफन बानाच और जूलियस शॉडर के नाम पर), एक मौलिक परिणाम है जो बताता है कि यदि बानाच रिक्त स्थान के बीच एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर या निरंतर रैखिक ऑपरेटर विशेषण है तो यह एक खुला नक्शा है।

शास्त्रीय (बनच स्थान) रूप

Open mapping theorem for Banach spaces (Rudin 1973, Theorem 2.11) — If $X$ and $Y$ are Banach spaces and $A:X\to Y$ is a surjective continuous linear operator, then $A$ is an open map (that is, if $U$ is an open set in $X,$ then $A(U)$ is open in $Y$).

यह प्रमाण बायर श्रेणी प्रमेय और दोनों के पूर्ण मीट्रिक स्थान का उपयोग करता है $X$ और $Y$ प्रमेय के लिए आवश्यक है। प्रमेय का कथन अब सत्य नहीं है यदि कोई भी स्थान केवल एक मानक स्थान माना जाता है, लेकिन सत्य है यदि $X$ और $Y$ फ्रेचेट रिक्त स्थान के रूप में लिया जाता है।

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof

कल्पना करना $A:X\to Y$ एक विशेषण निरंतर रैखिक ऑपरेटर है। यह साबित करने के लिए $A$ एक खुला मानचित्र है, यह दर्शाने के लिए पर्याप्त है $A$ ओपन यूनिट बॉल को मैप करता है $X$ की उत्पत्ति के एक पड़ोस के लिए $Y.$ होने देना $U=B_{1}^{X}(0),V=B_{1}^{Y}(0).$ तब $$X=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }kU.$$ तब से $A$ विशेषण है: $$Y=A(X)=A\left(\bigcup _{k\in \mathbb {N} }kU\right)=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }A(kU).$$ लेकिन $Y$ बैनाच है इसलिए बेयर की श्रेणी प्रमेय द्वारा $$\exists k\in \mathbb {N} :\qquad \left({\overline {A(kU)}}\right)^{\circ }\neq \varnothing .$$ यानी हमारे पास है $c\in Y$ और $r>0$ ऐसा है कि $$B_{r}(c)\subseteq \left({\overline {A(kU)}}\right)^{\circ }\subseteq {\overline {A(kU)}}.$$ होने देना $v\in V,$ तब $$c,c+rv\in B_{r}(c)\subseteq {\overline {A(kU)}}.$$ जोड़ और रैखिकता की निरंतरता से, अंतर $rv$ संतुष्ट $$rv\in {\overline {A(kU)}}+{\overline {A(kU)}}\subseteq {\overline {A(kU)+A(kU)}}\subseteq {\overline {A(2kU)}},$$ और फिर से रैखिकता से, $$V\subseteq {\overline {A(LU)}}$$ जहां हमने सेट किया है $L=2k/r.$ यह सभी के लिए अनुसरण करता है $y\in Y$ और सभी $\epsilon >0,$ कुछ मौजूद है $x\in X$ ऐसा है कि $$\qquad \|x\|_{X}\leq L\|y\|_{Y}\quad {\text{and}}\quad \|y-Ax\|_{Y}<\epsilon .\qquad (1)$$ हमारा अगला लक्ष्य यह दिखाना है $V\subseteq A(2LU).$ होने देना $y\in V.$ द्वारा (1), कुछ है $x_{1}$ साथ $\left\|x_{1}\right\|<L$ और $\left\|y-Ax_{1}\right\|<1/2.$ अनुक्रम को परिभाषित कीजिए $\left(x_{n}\right)$ आगमनात्मक रूप से इस प्रकार है। मान लीजिए: $$\|x_{n}\|<{\frac {L}{2^{n-1}}}\quad {\text{and}}\quad \left\|y-A\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\right\|<{\frac {1}{2^{n}}}.\qquad (2)$$ तब (1) द्वारा हम चुन सकते हैं $x_{n+1}$ ताकि: $$\|x_{n+1}\|<{\frac {L}{2^{n}}}\quad {\text{and}}\quad \left\|y-A\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)-A\left(x_{n+1}\right)\right\|<{\frac {1}{2^{n+1}}},$$ तो (2) के लिए संतुष्ट है $x_{n+1}.$ होने देना $$s_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}.$$ (2) में पहली असमानता से, $\left(s_{n}\right)$एक कॉची अनुक्रम है, और तब से $X$ तैयार है, $s_{n}$ कुछ में मिलती है $x\in X.$ द्वारा (2), अनुक्रम $As_{n}$ आदत है $y$ इसलिए $Ax=y$ की निरंतरता से $A.$ भी, $$\|x\|=\lim _{n\to \infty }\|s_{n}\|\leq \sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|<2L.$$ इससे पता चलता है कि $y$ से संबंधित $A(2LU),$ इसलिए $V\subseteq A(2LU)$ जैसा कि दावा किया गया है। इस प्रकार छवि $A(U)$ यूनिट बॉल में $X$ खुली गेंद शामिल है $V/2L$ का $Y.$ इस तरह, $A(U)$ में मूल का एक पड़ोस है $Y,$ और यह सबूत समाप्त करता है।

संबंधित परिणाम

Theorem — Let $X$ and $Y$ be Banach spaces, let $B_{X}$ and $B_{Y}$ denote their open unit balls, and let $T:X\to Y$ be a bounded linear operator. If $\delta >0$ then among the following four statements we have $(1)\implies (2)\implies (3)\implies (4)$ (with the same $\delta$)

1. $\left\|T^{*}y^{*}\right\|\geq \delta \left\|y^{*}\right\|$ for all $y^{*}\in Y^{*}$;
2. ${\overline {T\left(B_{X}\right)}}\supseteq \delta B_{Y}$;
3. ${T\left(B_{X}\right)}\supseteq \delta B_{Y}$;
4. $\operatorname {Im} T=Y$ (that is, $T$ is surjective).

Furthermore, if $T$ is surjective then (1) holds for some $\delta >0$

परिणाम

ओपन मैपिंग प्रमेय के कई महत्वपूर्ण परिणाम हैं:

• अगर $A:X\to Y$ Banach रिक्त स्थान के बीच एक विशेषण निरंतर रैखिक ऑपरेटर है $X$ और $Y,$ फिर उलटा समारोह $A^{-1}:Y\to X$ साथ ही निरंतर है (इसे परिबद्ध प्रतिलोम प्रमेय कहा जाता है)।
• अगर $A:X\to Y$ बनच रिक्त स्थान के बीच एक रैखिक ऑपरेटर है $X$ और $Y,$ और अगर हर क्रम के लिए $\left(x_{n}\right)$ में $X$ साथ $x_{n}\to 0$ और $Ax_{n}\to y$ यह इस प्रकार है कि $y=0,$ तब $A$ निरंतर है (बंद ग्राफ प्रमेय)।

सामान्यीकरण

की स्थानीय उत्तलता $X$ या $Y$ प्रमाण के लिए आवश्यक नहीं है, लेकिन पूर्णता है: प्रमेय तब सही रहता है जब $X$ और $Y$ एफ-स्पेस हैं। इसके अलावा, प्रमेय को बेयर श्रेणी प्रमेय के साथ निम्नलिखित तरीके से जोड़ा जा सकता है:

Theorem — Let $X$ be a F-space and $Y$ a topological vector space. If $A:X\to Y$ is a continuous linear operator, then either $A(X)$ is a meager set in $Y,$ or $A(X)=Y.$ In the latter case, $A$ is an open mapping and $Y$ is also an F-space.

इसके अलावा, इस बाद के मामले में अगर $N$ की गिरी (रैखिक बीजगणित) है $A,$ तब का एक विहित गुणनखंडन होता है $A$ प्रपत्र में

$$X\to X/N{\overset {\alpha }{\to }}Y$$

कहाँ $X/N$ भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) (एक एफ-स्पेस भी) है $X$ बंद सेट उप-स्थान द्वारा $N.$ भागफल मानचित्रण $X\to X/N$ open है, और मैपिंग $\alpha$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थान का एक समरूपता है।

Open mapping theorem — Let $A:X\to Y$ be a surjective linear map from a complete pseudometrizable TVS $X$ onto a TVS $Y$ and suppose that at least one of the following two conditions is satisfied:

1. $Y$ is a Baire space, or
2. $X$ is locally convex and $Y$ is a barrelled space,

If $A$ is a closed linear operator then $A$ is an open mapping. If $A$ is a continuous linear operator and $Y$ is Hausdorff then $A$ is (a closed linear operator and thus also) an open mapping.

Open mapping theorem for continuous maps — Let $A:X\to Y$ be a continuous linear operator from a complete pseudometrizable TVS $X$ onto a Hausdorff TVS $Y.$ If $\operatorname {Im} A$ is nonmeager in $Y$ then $A:X\to Y$ is a surjective open map and $Y$ is a complete pseudometrizable TVS.

ओपन मैपिंग प्रमेय को भी कहा जा सकता है

Theorem — Let $X$ and $Y$ be two F-spaces. Then every continuous linear map of $X$ onto $Y$ is a TVS homomorphism, where a linear map $u:X\to Y$ is a topological vector space (TVS) homomorphism if the induced map ${\hat {u}}:X/\ker(u)\to Y$ is a TVS-isomorphism onto its image.

लगभग / लगभग खुले रैखिक नक्शे

एक रेखीय नक्शा $A:X\to Y$ दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) के बीच क्या कहलाता है? nearly open map (या कभी-कभी, ए almost open map) अगर हर मोहल्ले के लिए $U$ डोमेन में उत्पत्ति, इसकी छवि का बंद होना $\operatorname {cl} A(U)$ में मूल का एक पड़ोस है $Y.$ कई लेखक लगभग/लगभग खुले मानचित्र की एक अलग परिभाषा का उपयोग करते हैं जिसके लिए इसे बंद करने की आवश्यकता होती है $A(U)$ में मूल का एक पड़ोस हो $A(X)$ बल्कि अंदर $Y,$ लेकिन विशेषण मानचित्रों के लिए ये परिभाषाएँ समतुल्य हैं। एक विशेषण रैखिक नक्शा लगभग खुला है अगर और केवल अगर इसका व्युत्क्रम निरंतर है। स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर अंतरिक्ष से एक बैरल वाले स्थान पर प्रत्येक विशेषण रैखिक नक्शा #लगभग खुला नक्शा है। टीवीएस से बाहर की जगह टीवीएस पर प्रत्येक विशेषण रैखिक मानचित्र के लिए भी यही सच है।

Open mapping theorem — If a closed surjective linear map from a complete pseudometrizable TVS onto a Hausdorff TVS is nearly open then it is open.

परिणाम

Theorem — If $A:X\to Y$ is a continuous linear bijection from a complete Pseudometrizable topological vector space (TVS) onto a Hausdorff TVS that is a Baire space, then $A:X\to Y$ is a homeomorphism (and thus an isomorphism of TVSs).

वेब्ड स्पेस

Main article: Webbed space

वेब्ड स्पेस टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस का एक वर्ग है जिसके लिए ओपन मैपिंग थ्योरम और क्लोज्ड ग्राफ थ्योरम होल्ड करते हैं।

यह भी देखें

• Almost open linear map
• Bounded inverse theorem
• Closed graph
• Closed graph theorem
• Closed graph theorem (functional analysis)
• Open mapping theorem (complex analysis)
• Surjection of Fréchet spaces
• Ursescu theorem
• Webbed space

ग्रन्थसूची

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