औसत निरपेक्ष विचलन

डेटा सेट का औसत निरपेक्ष विचलन (एएडी) एक केंद्रीय प्रवृत्ति से निरपेक्ष मूल्य विचलन (सांख्यिकी) का औसत है। यह सांख्यिकीय फैलाव या परिवर्तनशीलता का सारांश आँकड़े है। सामान्य रूप में, केंद्रीय बिंदु एक अंकगणितीय माध्य, माध्यिका, मोड (सांख्यिकी), या केंद्रीय प्रवृत्ति के किसी अन्य माप का परिणाम या दिए गए डेटा सेट से संबंधित कोई संदर्भ मान हो सकता है। एएडी में माध्य निरपेक्ष विचलन और मध्य निरपेक्ष विचलन (दोनों को संक्षेप में एमएडी) शामिल किया गया है।

परिक्षेपण की माप

सांख्यिकीय फैलाव के कई माप पूर्ण विचलन के संदर्भ में परिभाषित किए गए हैं। औसत पूर्ण विचलन शब्द विशिष्ट रूप से सांख्यिकीय फैलाव के माप की पहचान नहीं करता है, क्योंकि ऐसे कई उपाय हैं जिनका उपयोग पूर्ण विचलन को मापने के लिए किया जा सकता है, और केंद्रीय प्रवृत्ति के कई उपाय भी हैं जिनका उपयोग किया जा सकता है। इस प्रकार, पूर्ण विचलन की विशिष्ट पहचान के लिए विचलन की माप और केंद्रीय प्रवृत्ति की माप दोनों को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। सांख्यिकीय साहित्य ने अभी तक कोई मानक संकेतन नहीं अपनाया है, क्योंकि साहित्य में माध्य के आसपास #मीन निरपेक्ष विचलन और माध्यिका के आसपास #मीडियन निरपेक्ष विचलन दोनों को उनके प्रारंभिक MAD द्वारा दर्शाया गया है, जिससे भ्रम पैदा हो सकता है, क्योंकि सामान्य तौर पर, उनके मान एक-दूसरे से काफी भिन्न हो सकते हैं।

एक केंद्रीय बिंदु के चारों ओर पूर्ण विचलन का मतलब

किसी समुच्चय का माध्य निरपेक्ष विचलन {x₁, एक्स₂, ..., एक्स_n} है

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m(X)|.

केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप का चयन,

m(X)

, माध्य विचलन के मूल्य पर एक उल्लेखनीय प्रभाव पड़ता है। उदाहरण के लिए, डेटा सेट {2, 2, 3, 4, 14} के लिए:

Measure of central tendency $m(X)$	Mean absolute deviation
Arithmetic Mean = 5	${\frac {\|2-5\|+\|2-5\|+\|3-5\|+\|4-5\|+\|14-5\|}{5}}=3.6$
माध्यिका = 3	${\frac {\|2-3\|+\|2-3\|+\|3-3\|+\|4-3\|+\|14-3\|}{5}}=2.8$
मोड = 2	${\frac {\|2-2\|+\|2-2\|+\|3-2\|+\|4-2\|+\|14-2\|}{5}}=3.0$

माध्य के चारों ओर माध्य पूर्ण विचलन

माध्य निरपेक्ष विचलन (एमएडी), जिसे माध्य विचलन या कभी-कभी औसत निरपेक्ष विचलन भी कहा जाता है, डेटा के माध्य के आसपास डेटा के निरपेक्ष विचलन का माध्य है: माध्य से औसत (पूर्ण) दूरी। औसत निरपेक्ष विचलन या तो इस उपयोग को संदर्भित कर सकता है, या किसी निर्दिष्ट केंद्रीय बिंदु के संबंध में सामान्य रूप को संदर्भित कर सकता है (ऊपर देखें)।

मानक विचलन के स्थान पर MAD का उपयोग करने का प्रस्ताव किया गया है क्योंकि यह वास्तविक जीवन से बेहतर मेल खाता है।^[1] क्योंकि एमएडी मानक विचलन की तुलना में परिवर्तनशीलता का एक सरल उपाय है, यह स्कूल शिक्षण में उपयोगी हो सकता है।^[2]^[3] इस विधि की पूर्वानुमान सटीकता माध्य वर्ग त्रुटि (एमएसई) विधि से बहुत निकटता से संबंधित है जो कि पूर्वानुमानों की औसत वर्ग त्रुटि है। हालाँकि ये विधियाँ बहुत निकट से संबंधित हैं, MAD का अधिक सामान्यतः उपयोग किया जाता है क्योंकि इसकी गणना करना आसान है (वर्गीकरण की आवश्यकता से बचना)^[4] और समझने में आसान है.^[5] सामान्य वितरण के लिए माध्य से मानक विचलन तक माध्य निरपेक्ष विचलन का अनुपात है ${\textstyle {\sqrt {2/\pi }}=0.79788456\ldots }$ . इस प्रकार यदि X अपेक्षित मान 0 के साथ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर है, तो गीरी (1935) देखें:^[6]

w={\frac {E|X|}{\sqrt {E(X^{2})}}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}.

दूसरे शब्दों में, सामान्य वितरण के लिए, माध्य निरपेक्ष विचलन मानक विचलन का लगभग 0.8 गुना है। हालाँकि, इन-सैंपल माप निम्नलिखित सीमाओं के साथ किसी दिए गए गाऊसी नमूने n के लिए औसत औसत विचलन / मानक विचलन के अनुपात का मान प्रदान करते हैं:

w_{n}\in [0,1]

, छोटे एन के लिए पूर्वाग्रह के साथ।^[7] माध्य से माध्य निरपेक्ष विचलन मानक विचलन से कम या उसके बराबर है; इसे साबित करने का एक तरीका जेन्सेन की असमानता पर निर्भर करता है।

Proof

Jensen's inequality is $\varphi \left(\mathbb {E} [Y]\right)\leq \mathbb {E} \left[\varphi (Y)\right]$ , where φ is a convex function, this implies for $Y=\vert X-\mu \vert$ that:

\left(\mathbb {E} |X-\mu \right|)^{2}\leq \mathbb {E} \left(|X-\mu |^{2}\right)

\left(\mathbb {E} |X-\mu \right|)^{2}\leq \operatorname {Var} (X)

Since both sides are positive, and the square root is a monotonically increasing function in the positive domain:

\mathbb {E} \left(|X-\mu \right|)\leq {\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}

For a general case of this statement, see Hölder's inequality.

माध्यिका के चारों ओर माध्य पूर्ण विचलन

माध्यिका वह बिंदु है जिसके बारे में माध्य विचलन न्यूनतम हो जाता है। एमएडी माध्यिका अपने माध्यिका के चारों ओर एक यादृच्छिक चर के पैमाने का प्रत्यक्ष माप प्रदान करती है

D_{\text{med}}=E|X-{\text{median}}|

यह स्केल पैरामीटर का अधिकतम संभावना अनुमानक है

b

लाप्लास वितरण का.

चूँकि माध्यिका औसत निरपेक्ष दूरी को न्यूनतम करती है, हमारे पास है $D_{\text{med}}\leq D_{\text{mean}}$ . माध्यिका से माध्य निरपेक्ष विचलन माध्य से माध्य निरपेक्ष विचलन से कम या उसके बराबर है। वास्तव में, माध्यिका से माध्य निरपेक्ष विचलन हमेशा किसी अन्य निश्चित संख्या से माध्य निरपेक्ष विचलन से कम या उसके बराबर होता है।

सामान्य फैलाव फ़ंक्शन का उपयोग करके, हबीब (2011) ने माध्यिका के बारे में MAD को परिभाषित किया

D_{\text{med}}=E|X-{\text{median}}|=2\operatorname {Cov} (X,I_{O})

जहां सूचक कार्य है

\mathbf {I} _{O}:={\begin{cases}1&{\text{if }}x>{\text{median}},\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}

यह प्रतिनिधित्व एमएडी माध्य सहसंबंध गुणांक प्राप्त करने की अनुमति देता है।^{[citation needed]}

एक केंद्रीय बिंदु के चारों ओर माध्यिका पूर्ण विचलन

जबकि सैद्धांतिक रूप से माध्य या किसी अन्य केंद्रीय बिंदु को माध्य निरपेक्ष विचलन के लिए केंद्रीय बिंदु के रूप में लिया जा सकता है, अक्सर इसके बजाय माध्य मान लिया जाता है।

माध्यिका के चारों ओर माध्यिका निरपेक्ष विचलन

माध्यिका निरपेक्ष विचलन (एमएडी भी) माध्यिका से पूर्ण विचलन का माध्यिका है। यह पैमाने का एक मजबूत माप है।

उदाहरण के लिए {2, 2, 3, 4, 14}: 3 माध्यिका है, इसलिए माध्यिका से पूर्ण विचलन 1 के माध्यिका के साथ {1, 1, 0, 1, 11} ({0, 1, 1, 1, 11} के रूप में पुनः व्यवस्थित) हैं, इस मामले में बाह्य 14 के मान से अप्रभावित है, इसलिए माध्यिका निरपेक्ष विचलन 1 है।

एक सममित वितरण के लिए, माध्यिका निरपेक्ष विचलन अंतरचतुर्थक सीमा के आधे के बराबर है।

अधिकतम निरपेक्ष विचलन

किसी मनमाने बिंदु के आसपास अधिकतम पूर्ण विचलन उस बिंदु से नमूने के पूर्ण विचलन का अधिकतम होता है। हालांकि यह केंद्रीय प्रवृत्ति का माप नहीं है, अधिकतम निरपेक्ष विचलन ऊपर दिए गए औसत निरपेक्ष विचलन के सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है $m(X)=\max(X)$ , कहाँ $\max(X)$ नमूना अधिकतम है.

न्यूनीकरण

पूर्ण विचलन से प्राप्त सांख्यिकीय फैलाव के उपाय केंद्रीय प्रवृत्ति के विभिन्न उपायों को न्यूनतम फैलाव के रूप में दर्शाते हैं: माध्यिका केंद्रीय प्रवृत्ति का माप है जो पूर्ण विचलन से सबसे अधिक जुड़ा होता है। कुछ स्थान मापदंडों की तुलना इस प्रकार की जा सकती है:

एल2 मानदंड|एल²मानक आँकड़े: माध्य माध्य वर्ग त्रुटि को न्यूनतम करता है
एल1 मानदंड|एल¹मानक आँकड़े: माध्यिका औसत निरपेक्ष विचलन को न्यूनतम करती है,
एकसमान मानदंड|एल^∞मानक आँकड़े: मध्य-सीमा अधिकतम निरपेक्ष विचलन को न्यूनतम करती है
छँटा हुआ वर्दी मानदंड|एल^∞मानक आँकड़े: उदाहरण के लिए, मिडहिंज (पहले और तीसरे चतुर्थक का औसत) जो पूरे वितरण के औसत निरपेक्ष विचलन को कम करता है, ऊपर और नीचे के 25% को काट दिए जाने के बाद वितरण के अधिकतम निरपेक्ष विचलन को भी कम करता है।

अनुमान

किसी नमूने का माध्य निरपेक्ष विचलन जनसंख्या के माध्य निरपेक्ष विचलन का एक पक्षपाती अनुमानक है।

पूर्ण विचलन के निष्पक्ष अनुमानक होने के लिए, सभी नमूना पूर्ण विचलनों का अपेक्षित मूल्य (औसत) जनसंख्या पूर्ण विचलन के बराबर होना चाहिए। हालाँकि, ऐसा नहीं है. जनसंख्या 1,2,3 के लिए जनसंख्या का माध्यिका के सापेक्ष पूर्ण विचलन और जनसंख्या का माध्य के प्रति पूर्ण विचलन दोनों 2/3 हैं। जनसंख्या से निकाले जा सकने वाले आकार 3 के माध्य के बारे में सभी नमूना निरपेक्ष विचलनों का औसत 44/81 है, जबकि माध्यिका के बारे में सभी नमूना निरपेक्ष विचलनों का औसत 4/9 है। इसलिए, पूर्ण विचलन एक पक्षपाती अनुमानक है।

हालाँकि, यह तर्क मतलब-निष्पक्षता की धारणा पर आधारित है। स्थान के प्रत्येक माप की निष्पक्षता का अपना रूप होता है (पक्षपाती अनुमानक पर प्रविष्टि देखें)। यहां निष्पक्षता का प्रासंगिक रूप औसत निष्पक्षता है।

यह भी देखें

* विचलन (सांख्यिकी)

- माध्यिका निरपेक्ष विचलन
- वर्ग विचलन
- न्यूनतम पूर्ण विचलन
त्रुटियाँ
मतलब पूर्ण अंतर
औसत संशोधित मूल्य

संदर्भ

↑ Taleb, Nassim Nicholas (2014). "What scientific idea is ready for retirement?". Edge. Archived from the original on 2014-01-16. Retrieved 2014-01-16.{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
↑ Kader, Gary (March 1999). "साधन और MADS". Mathematics Teaching in the Middle School. 4 (6): 398–403. Archived from the original on 2013-05-18. Retrieved 20 February 2013.
↑ Franklin, Christine, Gary Kader, Denise Mewborn, Jerry Moreno, Roxy Peck, Mike Perry, and Richard Scheaffer (2007). सांख्यिकी शिक्षा में मूल्यांकन और निर्देश के लिए दिशानिर्देश (PDF). American Statistical Association. ISBN 978-0-9791747-1-1. Archived (PDF) from the original on 2013-03-07. Retrieved 2013-02-20.
↑ Nahmias, Steven; Olsen, Tava Lennon (2015), Production and Operations Analysis (7th ed.), Waveland Press, p. 62, ISBN 9781478628248, MAD is often the preferred method of measuring the forecast error because it does not require squaring.
↑ Stadtler, Hartmut; Kilger, Christoph; Meyr, Herbert, eds. (2014), Supply Chain Management and Advanced Planning: Concepts, Models, Software, and Case Studies, Springer Texts in Business and Economics (5th ed.), Springer, p. 143, ISBN 9783642553097, the meaning of the MAD is easier to interpret.
↑ Geary, R. C. (1935). The ratio of the mean deviation to the standard deviation as a test of normality. Biometrika, 27(3/4), 310–332.
↑ See also Geary's 1936 and 1946 papers: Geary, R. C. (1936). Moments of the ratio of the mean deviation to the standard deviation for normal samples. Biometrika, 28(3/4), 295–307 and Geary, R. C. (1947). Testing for normality. Biometrika, 34(3/4), 209–242.

बाहरी संबंध

Advantages of the mean absolute deviation

[1] Taleb, Nassim Nicholas (2014). "What scientific idea is ready for retirement?". Edge. Archived from the original on 2014-01-16. Retrieved 2014-01-16.{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)

[Kader1999-2] Kader, Gary (March 1999). "साधन और MADS". Mathematics Teaching in the Middle School. 4 (6): 398–403. Archived from the original on 2013-05-18. Retrieved 20 February 2013.

[GAISE-3] Franklin, Christine, Gary Kader, Denise Mewborn, Jerry Moreno, Roxy Peck, Mike Perry, and Richard Scheaffer (2007). सांख्यिकी शिक्षा में मूल्यांकन और निर्देश के लिए दिशानिर्देश (PDF). American Statistical Association. ISBN 978-0-9791747-1-1. Archived (PDF) from the original on 2013-03-07. Retrieved 2013-02-20.

[4] Nahmias, Steven; Olsen, Tava Lennon (2015), Production and Operations Analysis (7th ed.), Waveland Press, p. 62, ISBN 9781478628248, MAD is often the preferred method of measuring the forecast error because it does not require squaring.

[5] Stadtler, Hartmut; Kilger, Christoph; Meyr, Herbert, eds. (2014), Supply Chain Management and Advanced Planning: Concepts, Models, Software, and Case Studies, Springer Texts in Business and Economics (5th ed.), Springer, p. 143, ISBN 9783642553097, the meaning of the MAD is easier to interpret.

[6] Geary, R. C. (1935). The ratio of the mean deviation to the standard deviation as a test of normality. Biometrika, 27(3/4), 310–332.

[7] See also Geary's 1936 and 1946 papers: Geary, R. C. (1936). Moments of the ratio of the mean deviation to the standard deviation for normal samples. Biometrika, 28(3/4), 295–307 and Geary, R. C. (1947). Testing for normality. Biometrika, 34(3/4), 209–242.

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