कट्टरपंथियों में समाधान

Not to be confused with Algebraic number.

रेडिकल या बीजगणितीय समाधान में एक समाधान एक बंद-रूप अभिव्यक्ति है, और अधिक विशेष रूप से एक बंद-रूप बीजगणितीय अभिव्यक्ति है, जो एक बहुपद समीकरण का समाधान है, और केवल जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन (गणित) पर निर्भर करता है, जिसे ऊपर उठाया जाता है पूर्णांक शक्तियाँ, और nवें मूल का निष्कर्षण|nवें मूल (वर्गमूल, घनमूल और अन्य पूर्णांक मूल)।

एक सुप्रसिद्ध उदाहरण समाधान है

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

द्विघात समीकरण का

$ax^{2}+bx+c=0.$

घन समीकरणों के लिए अधिक जटिल बीजगणितीय समाधान मौजूद हैं और चतुर्थक समीकरण. हाबिल-रफिनी प्रमेय, और, अधिक सामान्यतः गैलोज़ सिद्धांत, बताता है कि कुछ क्विंटिक समीकरण, जैसे

$x^{5}-x+1=0,$

कोई बीजगणितीय समाधान नहीं है. यही बात हर उच्च डिग्री के लिए सच है। हालाँकि, किसी भी डिग्री के लिए कुछ बहुपद समीकरण होते हैं जिनके बीजगणितीय समाधान होते हैं; उदाहरण के लिए, समीकरण $x^{10}=2$ के रूप में हल किया जा सकता है $x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.$ आठ अन्य समाधान अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं, जो बीजगणितीय भी हैं और उनका रूप भी है $x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},$ कहाँ r एकता की पांचवीं जड़ है, जिसे दो नेस्टेड रेडिकल के साथ व्यक्त किया जा सकता है। यह सभी देखें Quintic function § Other solvable quinticsडिग्री 5 में विभिन्न अन्य उदाहरणों के लिए।

एवरिस्ट गैलोइस ने एक मानदंड पेश किया जो किसी को यह तय करने की इजाजत देता है कि कौन से समीकरण रेडिकल में हल करने योग्य हैं। उसके परिणाम के सटीक निरूपण के लिए कट्टरपंथी विस्तार देखें।

बीजगणितीय समाधान बंद-रूप अभिव्यक्तियों का एक उपसमूह बनाते हैं, क्योंकि बाद वाले अनुवांशिक कार्यों (गैर-बीजगणितीय कार्यों) जैसे कि घातीय फ़ंक्शन, लघुगणकीय कार्य और त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके व्युत्क्रमों की अनुमति देते हैं।

यह भी देखें

• क्विंटिक समीकरण#समाधान योग्य क्विंटिक्स
• सेक्सटिक समीकरण#समाधान योग्य सेक्सटिक्स
• सेप्टिक समीकरण#समाधान योग्य सेप्टिक