कर्नेल (सेट सिद्धांत)

For other uses, see Kernel (disambiguation).

सेट सिद्धांत में, एक फ़ंक्शन का कर्नेल (गणित) $f$ (या समतुल्य कर्नेल) दोनों में से एक माना जा सकता है

• किसी फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के डोमेन पर समतुल्य संबंध जो मोटे तौर पर फ़ंक्शन के समतुल्य के विचार को व्यक्त करता है $f$ बता सकते हैं , या
• डोमेन के एक सेट का संगत विभाजन।

एक असंबद्ध धारणा सेटों के एक गैर-रिक्त परिवार के कर्नेल की है ${\mathcal {B}},$ जो परिभाषा के अनुसार इसके सभी तत्वों का प्रतिच्छेदन है:

$$\ker {\mathcal {B}}~=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\,B.$$

इस परिभाषा का उपयोग फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) के सिद्धांत में उन्हें मुफ़्त फ़िल्टर या प्रधान फ़िल्टर के रूप में वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है।

==परिभाषा==Kernel of a function

औपचारिक परिभाषा के लिए, आइए $f:X\to Y$ दो सेट (गणित) के बीच एक फ़ंक्शन बनें। तत्वों $x_{1},x_{2}\in X$ यदि समतुल्य हैं $f\left(x_{1}\right)$ और $f\left(x_{2}\right)$ समान (गणित) हैं, अर्थात समान तत्व हैं $Y.$ की गिरी $f$ इस प्रकार परिभाषित तुल्यता संबंध है।

Kernel of a family of sets वह kernel of a family ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ of sets है

$$\ker {\mathcal {B}}~:=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B.$$

की गिरी ${\mathcal {B}}$ कभी-कभी द्वारा भी दर्शाया जाता है $\cap {\mathcal {B}}.$ खाली सेट का कर्नेल, $\ker \varnothing ,$ आमतौर पर अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है। परिवार कहा जाता है fixed और कहा जाता है non-empty intersection अगर यह है kernel खाली नहीं है। एक परिवार कहा जाता है free यदि यह ठीक नहीं हुआ है; अर्थात्, यदि इसका कर्नेल खाली सेट है।

उद्धरण

किसी भी तुल्यता संबंध की तरह, कर्नेल एक भागफल सेट बनाने के लिए आदर्श (रिंग सिद्धांत) हो सकता है, और भागफल सेट विभाजन है:

$$\left\{\,\{w\in X:f(x)=f(w)\}~:~x\in X\,\right\}~=~\left\{f^{-1}(y)~:~y\in f(X)\right\}.$$

यह भागफल समुच्चय $X/=_{f}$ फ़ंक्शन की सहछवि कहलाती है $f,$ और निरूपित किया गया $\operatorname {coim} f$ (या एक भिन्नता)। सहछवि छवि (गणित) के लिए प्राकृतिक समरूपता (आक्षेप के सेट-सैद्धांतिक अर्थ में) है, $\operatorname {im} f;$ विशेष रूप से, का समतुल्य वर्ग $x$ में $X$ (जो कि एक तत्व है $\operatorname {coim} f$) से मेल खाती है $f(x)$ में $Y$ (जो कि एक तत्व है $\operatorname {im} f$).

वर्ग के उपसमुच्चय के रूप में

किसी भी द्विआधारी संबंध की तरह, किसी फ़ंक्शन के कर्नेल को कार्टेशियन उत्पाद के सबसेट के रूप में माना जा सकता है $X\times X.$ इस आड़ में, कर्नेल को दर्शाया जा सकता है $\ker f$ (या एक भिन्नता) और इसे प्रतीकात्मक रूप से परिभाषित किया जा सकता है

$$\ker f:=\{(x,x'):f(x)=f(x')\}.$$

इस उपसमुच्चय के गुणों का अध्ययन इस पर प्रकाश डाल सकता है $f.$

बीजगणितीय संरचनाएँ

See also: Kernel (algebra)

अगर $X$ और $Y$ कुछ निश्चित प्रकार की बीजगणितीय संरचनाएं हैं (जैसे समूह (गणित)एस, रिंग (बीजगणित)एस, या वेक्टर रिक्त स्थान), और यदि फ़ंक्शन $f:X\to Y$ तो फिर, यह एक समरूपता है $\ker f$ एक सर्वांगसमता संबंध है (यह एक तुल्यता संबंध है जो बीजगणितीय संरचना के साथ संगत है), और की सहछवि $f$ का एक भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित) है $X.$सह-छवि और छवि के बीच का आक्षेप $f$ बीजगणितीय अर्थ में एक समरूपता है; यह प्रथम समरूपता प्रमेय का सबसे सामान्य रूप है।

टोपोलॉजी में

See also: Filters in topology

अगर $f:X\to Y$ दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक सतत कार्य है, फिर टोपोलॉजिकल गुण $\ker f$ स्थानों पर प्रकाश डाल सकते हैं $X$ और $Y.$ उदाहरण के लिए, यदि $Y$ तब यह हॉसडॉर्फ़ स्थान है $\ker f$ एक बंद सेट होना चाहिए. इसके विपरीत, यदि $X$ एक हॉसडॉर्फ़ स्थान है और $\ker f$ एक बंद सेट है, फिर की सहछवि $f,$ यदि कोटिएंट स्पेस (टोपोलॉजी) टोपोलॉजी दी गई है, तो यह हॉसडॉर्फ स्पेस भी होना चाहिए।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस सघन स्थान है यदि और केवल तभी जब परिमित प्रतिच्छेदन संपत्ति (एफआईपी) वाले बंद सेटों के प्रत्येक परिवार का कर्नेल गैर-रिक्त है; अलग ढंग से कहा जाए तो, एक स्थान सघन होता है यदि और केवल तभी जब बंद उपसमुच्चय का प्रत्येक परिवार एफ.आई.पी. के साथ हो। निश्चित है।

यह भी देखें

• Filter (set theory)

ग्रन्थसूची

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Category Theory. Oxford Logic Guides. Vol. 49 (2nd ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.