काट-छाँट त्रुटि

For other uses, see Truncation error (numerical integration).

संख्यात्मक विश्लेषण और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में, ट्रंकेशन त्रुटि एक गणितीय प्रक्रिया का अनुमान लगाने के कारण होने वाली त्रुटि है।

उदाहरण

अनंत श्रृंखला

के लिए एक सारांश श्रृंखला $e^{x}$ जैसे अनंत श्रृंखला द्वारा दिया गया है

$$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$$

वास्तव में, हम इन शब्दों की एक सीमित संख्या का ही उपयोग कर सकते हैं क्योंकि उन सभी का उपयोग करने में अनंत मात्रा में कम्प्यूटेशनल समय लगेगा। तो मान लीजिए कि हम श्रृंखला के केवल तीन शब्दों का उपयोग करते हैं

$$e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}$$

इस स्थिति में, ट्रंकेशन त्रुटि है ${\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$ उदाहरण ए:

निम्नलिखित अनंत श्रृंखला को देखते हुए, काट-छाँट त्रुटि ज्ञात कीजिए x = 0.75 यदि श्रृंखला के केवल पहले तीन पदों का उपयोग किया जाता है।

$$S=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad \left|x\right|<1.$$

समाधान

श्रृंखला के केवल प्रथम तीन पदों का उपयोग करने से प्राप्त होता है

$${\begin{aligned}S_{3}&=\left(1+x+x^{2}\right)_{x=0.75}\\&=1+0.75+\left(0.75\right)^{2}\\&=2.3125\end{aligned}}$$

एक अनंत ज्यामितीय श्रृंखला का योग

$$S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,\ r<1$$
 द्वारा दिया गया है

$$S={\frac {a}{1-r}}$$

हमारी श्रृंखला के लिए, a = 1 और r = 0.75, दे देना

$$S={\frac {1}{1-0.75}}=4$$

अतः काट-छाँट त्रुटि है

$$\mathrm {TE} =4-2.3125=1.6875$$

विभेदन

फ़ंक्शन के सटीक प्रथम व्युत्पन्न की परिभाषा दी गई है

$$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$$

हालाँकि, यदि हम संख्यात्मक रूप से व्युत्पन्न की गणना कर रहे हैं, $h$ परिमित होना होगा. चुनने के कारण हुई त्रुटि $h$ परिमित होना विभेदन की गणितीय प्रक्रिया में एक काट-छाँट त्रुटि है।

उदाहरण ए:

के प्रथम अवकलज की गणना में काट-छाँट ज्ञात कीजिए $f(x)=5x^{3}$ पर $x=7$ के चरण आकार का उपयोग करना $h=0.25$ समाधान:

का पहला व्युत्पन्न $f(x)=5x^{3}$ है

$$f'(x)=15x^{2},$$

और कम से $x=7$,

$$f'(7)=735.$$

अनुमानित मूल्य द्वारा दिया गया है

$$f'(7)={\frac {f(7+0.25)-f(7)}{0.25}}=761.5625$$

अतः काट-छाँट त्रुटि है

$$\mathrm {TE} =735-761.5625=-26.5625$$

एकीकरण

किसी फ़ंक्शन के सटीक अभिन्न अंग की परिभाषा $f(x)$ से $a$ को $b$ इस प्रकार दिया गया है.

होने देना $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ अंतराल (गणित)#शब्दावली पर परिभाषित एक फ़ंक्शन बनें $[a,b]$ वास्तविक संख्याओं में से, $\mathbb {R}$, और

$$P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},$$

I के अंतराल का एक विभाजन हो, जहां

$$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}$$

कहाँ $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ और $x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]$.

इसका तात्पर्य यह है कि हम अनंत आयतों का उपयोग करके वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कर रहे हैं। हालाँकि, यदि हम संख्यात्मक रूप से अभिन्न की गणना कर रहे हैं, तो हम केवल आयतों की एक सीमित संख्या का उपयोग कर सकते हैं। आयतों की अनंत संख्या के विपरीत उनकी एक सीमित संख्या चुनने से होने वाली त्रुटि एकीकरण की गणितीय प्रक्रिया में एक काट-छाँट त्रुटि है।

उदाहरण ए.

अभिन्न के लिए

$$\int _{3}^{9}x^{2}{dx}$$

यदि खंडों की समान चौड़ाई के साथ दो खंडों वाले बाएं हाथ के रीमैन योग का उपयोग किया जाता है, तो ट्रंकेशन त्रुटि का पता लगाएं।

समाधान

हमारे पास इसका सटीक मूल्य है

$${\begin{aligned}\int _{3}^{9}{x^{2}{dx}}&=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{3}^{9}\\&=\left[{\frac {9^{3}-3^{3}}{3}}\right]\\&=234\end{aligned}}$$

वक्र के नीचे क्षेत्रफल (चित्र 2 देखें) का अनुमान लगाने के लिए समान चौड़ाई के दो आयतों का उपयोग करके, अभिन्न का अनुमानित मान

$${\begin{aligned}\int _{3}^{9}x^{2}\,dx&\approx \left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=3}(6-3)+\left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=6}(9-6)\\&=(3^{2})3+(6^{2})3\\&=27+108\\&=135\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\text{Truncation Error}}&={\text{Exact Value}}-{\text{Approximate Value}}\\&=234-135\\&=99.\end{aligned}}$$

कभी-कभी, गलती से, राउंड-ऑफ त्रुटि (कंप्यूटर पर परिमित परिशुद्धता तैरनेवाला स्थल का उपयोग करने का परिणाम) को ट्रंकेशन त्रुटि भी कहा जाता है, खासकर यदि संख्या को काट कर पूर्णांकित किया जाता है। यह ट्रंकेशन त्रुटि का सही उपयोग नहीं है; हालाँकि इसे किसी संख्या को छोटा करना कहना स्वीकार्य हो सकता है।

जोड़

ट्रंकेशन त्रुटि का कारण बन सकता है $(A+B)+C\neq A+(B+C)$ एक कंप्यूटर के भीतर जब $A=-10^{25},B=10^{25},C=1$ क्योंकि $(A+B)+C=(0)+C=1$ (जैसा होना चाहिए), जबकि $A+(B+C)=A+(B)=0$. यहाँ, $A+(B+C)$ 1 के बराबर एक ट्रंकेशन त्रुटि है। यह ट्रंकेशन त्रुटि इसलिए होती है क्योंकि कंप्यूटर एक अत्यंत बड़े पूर्णांक के सबसे कम महत्वपूर्ण अंकों को संग्रहीत नहीं करते हैं।

यह भी देखें

• परिमाणीकरण त्रुटि

संदर्भ

• Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, p. 20, ISBN 978-0-471-50023-0
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 1, ISBN 978-0-387-95452-3.