कार्डियोवास्कुलर प्रणाली के लिए गांठदार पैरामीटर मॉडल

लम्प्ड पैरामीटर कार्डियोवस्कुलर मॉडल का उदाहरण। प्रत्येक कम्पार्टमेंट हरे बक्सों के अंदर है। मॉडल के मापदंडों को काले रंग में हाइलाइट किया गया है, जबकि नीले रंग में पूरे हृदय प्रणाली में रक्तचाप और प्रवाह को हाइलाइट किया गया है।

एक लम्प्ड पैरामीटर कार्डियोवस्कुलर मॉडल एक शून्य-आयामी गणितीय मॉडल है जिसका उपयोग परिसंचरण तंत्र के हेमोडायनामिक्स का वर्णन करने के लिए किया जाता है। भौतिक अर्थ वाले मापदंडों के एक सेट को देखते हुए (उदाहरण के लिए रक्त प्रवाह का प्रतिरोध), यह पूरे हृदय प्रणाली में रक्तचाप या प्रवाह दर में परिवर्तन का अध्ययन करने की अनुमति देता है।^[1]^[2] मापदंडों को संशोधित करके, किसी विशिष्ट हृदय रोग के प्रभावों का अध्ययन करना संभव है। उदाहरण के लिए, उच्च रक्तचाप को मॉडल के धमनी प्रतिरोधों को बढ़ाकर तैयार किया गया है।^[1]

गांठ-तत्व मॉडल का उपयोग शून्य-आयामी स्थान के माध्यम से त्रि-आयामी अंतरिक्ष (कार्डियोवास्कुलर सिस्टम) के हेमोडायनामिक्स का अध्ययन करने के लिए किया जाता है जो पाइप और विद्युत सर्किट के बीच समानता का फायदा उठाता है। तीन से शून्य आयामों में कमी कार्डियोवास्कुलर सिस्टम को अलग-अलग डिब्बों में विभाजित करके की जाती है, जिनमें से प्रत्येक सिस्टम के एक विशिष्ट घटक का प्रतिनिधित्व करता है, उदाहरण के लिए। दायाँ आलिंद या प्रणालीगत धमनियाँ। प्रत्येक कम्पार्टमेंट सरल सर्किट घटकों से बना होता है, जैसे विद्युत प्रतिरोध और चालन या संधारित्र , जबकि रक्त प्रवाह किरचॉफ के सर्किट कानूनों के अनुसार सर्किट के माध्यम से बहने वाले विद्युत प्रवाह की तरह व्यवहार करता है। किरचॉफ के नियम, रक्तचाप (वोल्टेज ड्रॉप) की कार्रवाई के तहत ).^[2]

लम्प्ड पैरामीटर मॉडल में सामान्य अंतर समीकरणों की एक प्रणाली शामिल होती है जो हृदय कक्षों की मात्रा के समय में विकास और रक्त वाहिकाओं के माध्यम से रक्तचाप और प्रवाह का वर्णन करती है।^[3]

मॉडल विवरण

लम्प्ड पैरामीटर मॉडल में सामान्य अंतर समीकरणों की एक प्रणाली होती है जो द्रव्यमान और गति के संरक्षण के सिद्धांतों का पालन करती है। मॉडल को विद्युत सादृश्य का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है जहां वर्तमान रक्त प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है, वोल्टेज दबाव अंतर का प्रतिनिधित्व करता है, विद्युत प्रतिरोध संवहनी प्रतिरोध की भूमिका निभाता है (अनुभाग और रक्त वाहिका की लंबाई द्वारा निर्धारित), समाई निभाता है अनुपालन (फिजियोलॉजी) की भूमिका (वाहिका की चिकनी मांसपेशियों को बढ़ाने और मात्रा बढ़ाने की क्षमता, यानी पोत की दीवार के दो किनारों के बीच दबाव में अंतर) और अधिष्ठापन रक्त जड़ता का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक हृदय कक्ष को इलास्टेंस के माध्यम से तैयार किया जाता है जो हृदय की मांसपेशियों की सिकुड़न और अनलोड की गई मात्रा का वर्णन करता है, जो कि शून्य-दबाव पर कक्ष में निहित रक्त की मात्रा है। हृदय वाल्व को डायोड के रूप में तैयार किया गया है। मॉडल के पैरामीटर प्रतिरोध, कैपेसिटेंस, इंडक्टेंस और इलास्टेंस हैं। प्रणाली के अज्ञात प्रत्येक हृदय कक्ष के अंदर रक्त की मात्रा, परिसंचरण के प्रत्येक डिब्बे के अंदर रक्त दबाव और प्रवाह हैं। सामान्य अंतर समीकरणों की प्रणाली को अस्थायी विवेकीकरण के लिए एक संख्यात्मक विधि के माध्यम से हल किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक रनगे-कुट्टा विधियां | रनगे-कुट्टा विधि।^[3]

हृदय प्रणाली को विभिन्न भागों में विभाजित किया गया है:

चार हृदय कक्ष: बाएँ और दाएँ आलिंद और बाएँ और दाएँ निलय;
प्रणालीगत परिसंचरण जिसे धमनियों, शिराओं में विभाजित किया जा सकता है और, यदि आवश्यक हो, विभिन्न रक्त वाहिकाओं के लिए अन्य डिब्बों में;
फुफ्फुसीय परिसंचरण जिसे धमनियों, शिराओं और, यदि आवश्यक हो, विभिन्न रक्त वाहिकाओं के लिए अन्य भागों में विभाजित किया जा सकता है।

तीन तत्व आरएलसी विंडकेसल।

बाएं आलिंद और निलय और दाएँ आलिंद और निलय के नीचे की ओर चार हृदय वाल्व हैं: मित्राल वाल्व, महाधमनी, त्रिकुस्पीड वाल्व और फुफ्फुसीय वाल्व।^[3]

फुफ्फुसीय और प्रणालीगत परिसंचरण का विभाजन निश्चित नहीं है, उदाहरण के लिए, यदि अध्ययन की रुचि प्रणालीगत केशिकाओं में है, तो प्रणालीगत केशिकाओं के लिए कम्पार्टमेंट लेखांकन को लम्प्ड पैरामीटर मॉडल में जोड़ा जा सकता है। प्रत्येक डिब्बे को विशिष्ट डिब्बे के आधार पर तत्वों की संख्या के साथ विंडकेसल प्रभाव द्वारा वर्णित किया गया है। मॉडल के सामान्य अंतर समीकरण विंडकेसल सर्किट और किरचॉफ के नियमों से प्राप्त होते हैं।^[4] निम्नलिखित में एक विशिष्ट लम्प्ड पैरामीटर मॉडल पर ध्यान केंद्रित किया जाएगा। जिन भागों पर विचार किया गया है वे चार हृदय कक्ष, प्रणालीगत और फुफ्फुसीय धमनियां और नसें हैं।^[5]

हृदय कक्ष समीकरण

चार हृदय कक्षों से संबंधित पैरामीटर निष्क्रिय और सक्रिय इलास्टेंस हैं $EA_{XX}$ और $EB_{XX}$ (जहां सबस्क्रिप्ट अलग-अलग होती हैं $RA,RV,LA$ और $LV$ यदि इलास्टेंस क्रमशः दाएं आलिंद या वेंट्रिकल या बाएं आलिंद या वेंट्रिकल को संदर्भित करते हैं) और अनलोड किए गए वॉल्यूम $V0_{XX}$ . हृदय कक्षों की गतिशीलता का वर्णन समय-निर्भर इलास्टेंस द्वारा किया जाता है:^[5]

E_{XX}(t)=EB_{XX}+EA_{XX}f_{XX}(t)

कहाँ $f_{XX}(t)$ एक आवधिक कार्य है (दिल की धड़कन की अवधि के साथ) समय पर निर्भर कार्य $0$ को $1$ जो दिल की धड़कन के दौरान हृदय के हृदय चक्र के लिए जिम्मेदार है। उपरोक्त समीकरण से, निष्क्रिय इलास्टेंस हृदय कक्ष के न्यूनतम इलास्टेंस का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि का योग $EA_{XX}$ और $EB_{XX}$ इसका अधिकतम इलास्टेंस. समय-निर्भर इलास्टेंस एक विशिष्ट हृदय कक्ष के अंदर दबाव की गणना निम्नानुसार करने की अनुमति देता है:^[5]

p_{XX}(t)=E_{XX}(t)(V_{XX}(t)-V0_{XX})

कहाँ $V_{XX}(t)$ हृदय कक्ष में निहित रक्त की मात्रा है और प्रत्येक कक्ष के लिए मात्रा निम्नलिखित सामान्य अंतर समीकरणों का समाधान है जो हृदय कक्ष से जुड़े आवक और जावक रक्त प्रवाह का हिसाब लगाते हैं:^[5]

{\frac {dV_{LA}(t)}{dt}}=Q_{VEN}^{PUL}(t)-Q_{MV}(t)

{\frac {dV_{LV}(t)}{dt}}=Q_{MV}(t)-Q_{AV}(t)

{\frac {dV_{RA}(t)}{dt}}=Q_{VEN}^{SYS}(t)-Q_{TV}(t)

{\frac {dV_{RV}(t)}{dt}}=Q_{TV}(t)-Q_{PV}(t)

कहाँ $Q_{MV}(t),Q_{AV}(t),Q_{TV}(t)$ और $Q_{PV}(t)$ क्रमशः माइट्रल, महाधमनी, ट्राइकसपिड और फुफ्फुसीय वाल्व के माध्यम से प्रवाह होते हैं और $Q_{VEN}^{PUL}(t)$ और $Q_{VEN}^{SYS}(t)$ क्रमशः फुफ्फुसीय और प्रणालीगत नसों के माध्यम से प्रवाह होते हैं।^[5]

वाल्व समीकरण

वाल्वों को डायोड के रूप में तैयार किया जाता है और वाल्वों में रक्त प्रवाह अपस्ट्रीम और डाउनस्ट्रीम डिब्बे के बीच दबाव कूद पर निर्भर करता है:^[5]

Q_{MV}(t)=Q_{valve}(p_{LA}(t)-p_{LV}(t))\qquad Q_{AV}(t)=Q_{valve}(p_{LV}(t)-p_{AR}^{SYS}(t))

Q_{TV}(t)=Q_{valve}(p_{RA}(t)-p_{RV}(t))\qquad Q_{TV}(t)=Q_{valve}(p_{RV}(t)-p_{AR}^{PUL}(t))

जहां प्रत्येक हृदय कक्ष के अंदर का दबाव पिछले अनुभाग में परिभाषित किया गया है, $p_{AR}^{SYS}(t)$ और $p_{AR}^{PUL}(t)$ प्रणालीगत और फुफ्फुसीय धमनी डिब्बे के अंदर समय-निर्भर दबाव हैं और $Q_{valve}(\Delta p)$ दबाव बढ़ने के आधार पर वाल्व में प्रवाह होता है:^[5]

Q_{valve}(\Delta p)={\begin{cases}{\frac {\Delta p}{R_{min}}}\qquad &{\text{if }}\Delta p<0\\{\frac {\Delta p}{R_{max}}}\qquad &{\text{if }}\Delta p\geq 0\end{cases}}

कहाँ $R_{min}$ और $R_{max}$ वाल्वों के क्रमशः खुले और बंद होने पर उनके प्रतिरोध होते हैं।^[5]

सर्कुलेशन कम्पार्टमेंट समीकरण

रक्त वाहिकाओं के प्रत्येक डिब्बे को प्रतिरोध, कैपेसिटेंस और इंडक्टेंस के संयोजन की विशेषता होती है। उदाहरण के लिए, धमनी प्रणालीगत परिसंचरण को तीन मापदंडों द्वारा वर्णित किया जा सकता है $R_{AR}^{SYS},C_{AR}^{SYS}$ और $L_{AR}^{SYS}$ जो धमनी प्रणालीगत प्रतिरोध, समाई और अधिष्ठापन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रणालीगत धमनी परिसंचरण का वर्णन करने वाले सामान्य अंतर समीकरण हैं:^[5]

C_{AR}^{SYS}{\frac {dp_{AR}^{SYS}}{dt}}=Q_{AV}(t)-Q_{AR}^{SYS}(t)

L_{AR}^{SYS}{\frac {dQ_{AR}^{SYS}(t)}{dt}}=-R_{AR}^{SYS}Q_{AR}^{SYS}(t)+p_{AR}^{SYS}(t)-p_{VEN}^{SYS}(t)

कहाँ $Q_{AR}^{SYS}(t)$ प्रणालीगत धमनी डिब्बे में रक्त प्रवाह है और $p_{VEN}^{SYS}(t)$ शिराओं के डिब्बे के अंदर का दबाव है।^[5]

समान संकेतन वाले अनुरूप समीकरण रक्त परिसंचरण का वर्णन करने वाले अन्य डिब्बों के लिए मान्य हैं।^[5]

साधारण अंतर समीकरण प्रणाली

ऊपर वर्णित समीकरणों को इकट्ठा करने पर निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है: $\forall \,t\in [0,T]$ उसके पास होता है^[5]

{\begin{cases}{\frac {dV_{LA}(t)}{dt}}=Q_{VEN}^{PUL}(t)-Q_{MV}(t)\\{\frac {dV_{LV}(t)}{dt}}=Q_{MV}(t)-Q_{AV}(t)\\C_{AR}^{SYS}{\frac {dp_{AR}^{SYS}(t)}{dt}}=Q_{AV}(t)-Q_{AR}^{SYS}(t)\\L_{AR}^{SYS}{\frac {dQ_{AR}^{SYS}(t)}{dt}}=-R_{AR}^{SYS}Q_{AR}^{SYS}(t)+p_{AR}^{SYS}(t)-p_{VEN}^{SYS}(t)\\C_{VEN}^{SYS}{\frac {dp_{VEN}^{SYS}(t)}{dt}}=Q_{AR}^{SYS}(t)-Q_{VEN}^{SYS}(t)\\L_{VEN}^{SYS}{\frac {dQ_{VEN}^{SYS}(t)}{dt}}=-R_{VEN}^{SYS}Q_{VEN}^{SYS}(t)+p_{VEN}^{SYS}(t)-p_{RA}(t)\\{\frac {dV_{RA}(t)}{dt}}=Q_{VEN}^{SYS}(t)-Q_{TV}(t)\\{\frac {dV_{RV}(t)}{dt}}=Q_{TV}(t)-Q_{PV}(t)\\C_{AR}^{PUL}{\frac {dp_{AR}^{PUL}(t)}{dt}}=Q_{PV}(t)-Q_{AR}^{PUL}(t)\\L_{AR}^{PUL}{\frac {dQ_{AR}^{PUL}(t)}{dt}}=-R_{AR}^{PUL}Q_{AR}^{PUL}(t)+p_{AR}^{PUL}(t)-p_{VEN}^{PUL}(t)\\C_{VEN}^{PUL}{\frac {dp_{VEN}^{PUL}(t)}{dt}}=Q_{AR}^{PUL}(t)-Q_{VEN}^{PUL}(t)\\L_{VEN}^{PUL}{\frac {dQ_{VEN}^{PUL}(t)}{dt}}=-R_{VEN}^{PUL}Q_{VEN}^{PUL}(t)+p_{VEN}^{PUL}(t)-p_{LA}(t)\end{cases}}

लम्प्ड पैरामीटर कार्डियोवस्कुलर मॉडल के आउटपुट: दबाव, हृदय कक्षों के अंदर रक्त की मात्रा और रक्त प्रवाह।

साथ $T$ अंतिम बार. पहले दो समीकरण क्रमशः बाएं आलिंद और निलय में आयतन से संबंधित हैं। तीसरे से छठे तक के समीकरण प्रणालीगत धमनी और शिरापरक प्रणालियों के दबाव और प्रवाह से संबंधित हैं। अंतिम समीकरण दाहिने हृदय और फुफ्फुसीय परिसंचरण से समान रूप से संबंधित हैं। सिस्टम प्रत्येक अज्ञात के लिए प्रारंभिक शर्तों के साथ पूरा हो गया है।^[5]

गणितीय दृष्टिकोण से, समस्या की अच्छी तरह से प्रस्तुत समस्या पिकार्ड-लिंडेलोफ़ प्रमेय का परिणाम है, कॉची-लिप्सचिट्ज़ प्रमेय, इसलिए इसका समाधान मौजूद है और यह अद्वितीय है। सिस्टम का समाधान साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीकों के माध्यम से अनुमानित किया जाता है। संख्यात्मक अनुकरण की गणना इससे अधिक के लिए की जानी है $10$ दिल की धड़कन (आखिरी बार) $T$ गतिशील प्रणाली के सीमा चक्र तक पहुंचने के लिए हृदय की धड़कनों की संख्या और हृदय गति पर निर्भर करता है, ताकि समाधान हृदय चक्र की आवधिकता का अनुकरण करने वाले आवधिक कार्य के समान व्यवहार करे।^[5]

आगे के घटनाक्रम

ऊपर वर्णित मॉडल एक विशिष्ट लम्प्ड पैरामीटर मॉडल है। इसे आवश्यकतानुसार किसी भी डिब्बे के अंदर डिब्बे या सर्किट घटकों को जोड़ने या हटाने में आसानी से संशोधित किया जा सकता है। नए या संशोधित डिब्बों को नियंत्रित करने वाले समीकरण पहले की तरह किर्चॉफ़ के नियम हैं।^[4]

श्वसन प्रणाली के लिए एक लम्प्ड पैरामीटर मॉडल जोड़कर कार्डियोवस्कुलर लम्प्ड पैरामीटर मॉडल को बढ़ाया जा सकता है। जहां तक हृदय प्रणाली की बात है, श्वसन प्रणाली को विभिन्न भागों में विभाजित किया गया है, उदाहरण के लिए, स्वरयंत्र, ग्रसनी या श्वासनली।^[6] इसके अलावा, कार्डियोपल्मोनरी मॉडल को रक्त ऑक्सीजनेशन के अध्ययन के लिए एक मॉडल के साथ जोड़ा जा सकता है, उदाहरण के लिए, रक्त संतृप्ति के स्तर।^[7]^[8] कई एकमुश्त पैरामीटर मॉडल हैं और मॉडल का चुनाव कार्य या शोध के उद्देश्य पर निर्भर करता है। जटिल मॉडल विभिन्न गतिशीलता का वर्णन कर सकते हैं, लेकिन जटिलता में वृद्धि से अंतर समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए बड़ी कम्प्यूटेशनल लागत की आवश्यकता होती है।^[9]^[10]^[11] लम्प्ड पैरामीटर मॉडल के कुछ 0-डी डिब्बों को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $d$ -आयामी घटक ( $d=1,2,3$ ) ज्यामितीय रूप से हृदय प्रणाली के एक विशिष्ट घटक का वर्णन करने के लिए (उदाहरण के लिए, बाएं वेंट्रिकल के 0-डी डिब्बे को इसके 3-डी प्रतिनिधित्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है)। परिणामस्वरूप, समीकरणों की प्रणाली में आयामी घटकों का वर्णन करने के लिए आंशिक अंतर समीकरण भी शामिल होंगे और इसे संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए बड़ी कम्प्यूटेशनल लागत की आवश्यकता होगी।^[12]^[13]

यह भी देखें

नस
विवेकाधिकार
सीमित तत्व विधि
दिल
लुम्प्ड-तत्व मॉडल
मॉडल ऑर्डर में कमी

संदर्भ

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