केंद्रीय अंतर योजना

चित्र 1. विभिन्न योजनाओं की तुलना

अनुप्रयुक्त गणित में, केंद्रीय अंतर योजना एक परिमित अंतर विधि है जो माना पैच के केंद्रीय नोड में अंतर ऑपरेटर के सन्निकटन को अनुकूलित करती है और अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक समाधान प्रदान करती है। यह एकीकृत संवहन-प्रसार समीकरण को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली योजनाओं में से एक है और ई और डब्ल्यू चेहरों पर परिवहन की गई संपत्ति Φ की गणना करने के लिए, जहां ई और डब्ल्यू पूर्व और पश्चिम के लिए कम हैं (कम्पास दिशाएं आमतौर पर कम्प्यूटेशनल पर दिशाओं को इंगित करने के लिए उपयोग की जाती हैं) ग्रिड)। विधि के लाभ यह हैं कि इसे समझना और लागू करना आसान है, कम से कम सरल भौतिक संबंधों के लिए; और यह कि इसकी अभिसरण दर कुछ अन्य परिमित भिन्नता विधियों की तुलना में तेज़ है, जैसे कि आगे और पीछे की भिन्नता। संवहन-प्रसार समीकरण का दाहिना भाग, जो मूल रूप से प्रसार शर्तों को उजागर करता है, को केंद्रीय अंतर सन्निकटन का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। समाधान और विश्लेषण को सरल बनाने के लिए, इस समीकरण के बाईं ओर के सेल फेस वैल्यू की गणना करने के लिए रैखिक प्रक्षेप का तार्किक रूप से उपयोग किया जा सकता है, जो कि संवहन शर्तों के अलावा और कुछ नहीं है। इसलिए, एक समान ग्रिड के लिए संपत्ति के सेल फेस वैल्यू को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$\Phi _{e}=(\Phi _{P}+\Phi _{E})/2$

$\Phi _{w}=(\Phi _{W}+\Phi _{P})/2$

स्थिर अवस्था संवहन प्रसार समीकरण

संवहन-प्रसार समीकरण प्रसार और संवहन समीकरणों का एक सामूहिक प्रतिनिधित्व है, और एक भौतिक प्रणाली के अंदर कणों, ऊर्जा और अन्य भौतिक मात्राओं के संक्रमण में संवहन और प्रसार से जुड़ी हर भौतिक घटना का वर्णन या व्याख्या करता है:

$\operatorname {div} (\rho u\varphi )=\operatorname {div} (\Gamma \nabla \varphi )+S_{\varphi };\,$

... जहां जी प्रसार गुणांक है और Φ संपत्ति है।

स्थिर-अवस्था संवहन विसरण समीकरण का सूत्रीकरण

नियंत्रण आयतन पर स्थिर-अवस्था संवहन-प्रसार समीकरण का औपचारिक समाकलन देता है

$\int \limits _{A}\,n\cdot (\rho u\varphi )\,dA=\int \limits _{A}\,n\cdot (\Gamma \nabla \varphi )\,dA+\int \limits _{CV}\,S_{\varphi }\,dV$ → समीकरण 1।

यह समीकरण नियंत्रण मात्रा में प्रवाह संतुलन का प्रतिनिधित्व करता है। बाईं ओर शुद्ध संवहन प्रवाह देता है, और दाईं ओर शुद्ध विसारक प्रवाह होता है और नियंत्रण मात्रा के भीतर संपत्ति का निर्माण या विनाश होता है।

स्रोत पद समीकरण के अभाव में, एक हो जाता है

${d \over dx}(\rho u\varphi )={d \over dx}\left({d\varphi \over dx}\right)$ → समीकरण 2।

सातत्य समीकरण:

${d \over dx}(\rho u)=0$ → समीकरण 3।

चित्रा 2. प्रक्षेप विधि

नियंत्रण आयतन मानकर और नियंत्रण आयतन पर समीकरण 2 को एकीकृत करने से प्राप्त होता है:

$(\rho u\varphi A)_{e}-(\rho u\varphi A)_{w}=(\Gamma Ad\varphi /dx)_{e}-(\Gamma Ad\varphi /dx)_{w}$ → एकीकृत संवहन-प्रसार समीकरण

समीकरण 3 की पैदावार का एकीकरण:

$(\rho uA)_{e}-(\rho uA)_{w}=0$ → एकीकृत निरंतरता समीकरण

प्रति इकाई क्षेत्र में संवहन द्रव्यमान प्रवाह और सेल चेहरों पर प्रसार प्रवाहकत्त्व का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो चर को परिभाषित करना सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए:

$F=\rho u$

$D=\Gamma /\delta x$

यह मानते हुए $A_{e}=A_{w}$ , हम एकीकृत संवहन-प्रसार समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$F_{e}\varphi _{e}-F_{w}\varphi _{w}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})$

और एकीकृत निरंतरता समीकरण:

$F_{e}-F_{w}=0$

केंद्रीय अंतर योजना में, हम संवहन शर्तों के लिए सेल फेस वैल्यू की गणना करने के लिए रैखिक इंटरपोलेशन का प्रयास करते हैं।

एकसमान ग्रिड के लिए, हम Φ गुण के सेल अंकित मान लिख सकते हैं

$\varphi _{e}=(\varphi _{E}+\varphi _{P})/2,\quad \varphi _{w}=(\varphi _{P}+\varphi _{W})/2$

इसे एकीकृत संवहन-प्रसार समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$F_{e}{\frac {\varphi _{E}+\varphi _{P}}{2}}-F_{w}{\frac {\varphi _{W}+\varphi _{P}}{2}}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})$

और पुनर्व्यवस्थित करने पर:

$\left[\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)+(F_{e}-F_{w})\right]\varphi _{P}=\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)\varphi _{W}+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)\varphi _{E}$

$a_{P}\varphi _{P}=a_{W}\varphi _{W}+a_{E}\varphi _{E}$

केंद्रीय अंतर योजना के विभिन्न पहलू

रूढ़िवादिता

केंद्रीय विभेदक योजना में संरक्षण सुनिश्चित किया जाता है क्योंकि नोड 1 और 4 के आसपास नियंत्रण मात्रा के लिए सीमा प्रवाह को ध्यान में रखते हुए प्रत्येक नियंत्रण मात्रा के माध्यम से शुद्ध प्रवाह को जोड़कर समग्र प्रवाह संतुलन प्राप्त किया जाता है।

चित्रा 3. विशिष्ट चित्रण

नोड 1 और 4 के आसपास नियंत्रण मात्रा के लिए सीमा प्रवाह

${\begin{aligned}&\left[{\frac {\Gamma _{e_{1}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\delta x}}-q_{A}\right]+\left[{\frac {\Gamma _{e_{2}}(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\delta x}}-{\frac {\Gamma _{w_{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\delta x}}\right]\\[10pt]+{}&\left[{\frac {\Gamma _{e_{3}}(\varphi _{4}-\varphi _{3})}{\delta x}}-{\frac {\Gamma _{w_{3}}(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\delta x}}\right]+\left[q_{B}-{\frac {\Gamma _{w_{4}}(\varphi _{4}-\varphi _{3})}{\delta x}}\right]=q_{B}-q_{A}\end{aligned}}$

चूंकि $\Gamma _{e_{1}}=\Gamma _{w_{2}},\Gamma _{e_{2}}=\Gamma _{w_{3}},\Gamma _{e_{3}}=\Gamma _{w_{4}}$

सीमाबद्धता

सेंट्रल डिफरेंसिंग स्कीम घिरा हुआ सेट की पहली शर्त को पूरा करती है।

तब से $F_{e}-F_{w}=0$ निरंतरता समीकरण से, इसलिए; $a_{P}\varphi _{P}=a_{W}\varphi _{W}+a_{E}\varphi _{E}$ परिबद्धता के लिए एक अन्य आवश्यक आवश्यकता यह है कि विभक्त समीकरणों के सभी गुणांकों का चिह्न समान होना चाहिए (आमतौर पर सभी धनात्मक)। लेकिन यह तभी संतुष्ट होता है जब (peclet number) $F_{e}/D_{e}<2$ क्योंकि एक यूनिडायरेक्शनल प्रवाह के लिए ($F_{e}>0,F_{w}>0$) $a_{E}=(D_{e}-F_{e}/2)$ अगर हमेशा सकारात्मक होता है $D_{e}>F_{e}/2$

परिवहनशीलता

इसके लिए आवश्यक है कि पेकलेट संख्या के परिमाण के अनुसार परिवहनीयता में परिवर्तन हो, अर्थात जब पे शून्य हो $\varphi$ सभी दिशाओं में समान रूप से फैला हुआ है और जैसे-जैसे Pe बढ़ता है (संवहन > विसरण) $\varphi$ एक बिंदु पर काफी हद तक अपस्ट्रीम वैल्यू पर निर्भर करता है और डाउनस्ट्रीम वैल्यू पर कम। लेकिन सेंट्रल डिफरेंसिंग स्कीम में उच्च पीई पर परिवहनीयता नहीं होती है क्योंकि Φ एक बिंदु पर सभी पीई के लिए पड़ोसी नोड्स का औसत है।

सटीकता

केंद्रीय अंतर योजना की टेलर श्रृंखला ट्रंकेशन त्रुटि दूसरा क्रम है। सेंट्रल डिफरेंसिंग स्कीम तभी सटीक होगी जब पे <2। इस सीमा के कारण, सामान्य प्रयोजन प्रवाह गणनाओं के लिए केंद्रीय अंतर एक उपयुक्त विवेक अभ्यास नहीं है।

केंद्रीय अंतर योजनाओं के अनुप्रयोग

• वे वर्तमान में यूलर समीकरणों और नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान में नियमित रूप से उपयोग किए जाते हैं।
• सेंट्रल डिफरेंसिंग सन्निकटन का उपयोग करने वाले परिणामों ने चिकने क्षेत्रों में सटीकता में ध्यान देने योग्य सुधार दिखाया है।
• मोटे मेश पर शॉक वेव प्रतिनिधित्व और सीमा-परत की परिभाषा में सुधार किया जा सकता है।

लाभ

• कार्यक्रम में सरल, प्रति चरण कम कंप्यूटर समय की आवश्यकता होती है, और मल्टीग्रिड त्वरण तकनीकों के साथ अच्छी तरह से काम करता है
• चौथे-अंतर अपव्यय के संयोजन के साथ एक मुक्त पैरामीटर है, जो एक स्थिर स्थिति तक पहुंचने के लिए आवश्यक है।
• यदि पेक्लेट संख्या 2 से कम है तो फर्स्ट-ऑर्डर अपविंड स्कीम से अधिक सटीक।

नुकसान

• कुछ अधिक विघटनकारी
• समाधान या विचलन में दोलनों की ओर जाता है यदि स्थानीय पेक्लेट संख्या 2 से बड़ी है।

यह भी देखें

• परिमित अंतर विधि
• परिमित अंतर
• टेलर श्रृंखला
• टेलर प्रमेय
• संवहन-प्रसार समीकरण
• प्रसार
• संवहन
• पेकलेट नंबर
• रेखिक आंतरिक
• सममित व्युत्पन्न
• संवहन के लिए अपविंड अंतर योजना

आगे की पढाई

• Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications – John D. Anderson, ISBN 0-07-001685-2
• Computational Fluid Dynamics volume 1 – Klaus A. Hoffmann, Steve T. Chiang, ISBN 0-9623731-0-9

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• व्यावहारिक गणित
• नियंत्रण मात्रा
• अभिन्न
• सीमा परत
• संवहन के लिए अपविंड विभेदक योजना
• कंवेक्शन

बाहरी कड़ियाँ

• One-Dimensional_Steady-State_Convection_and_Diffusion#Central_Difference_Scheme
• Finite Differences
• Central Difference Methods
• A Conservative Finite Difference Scheme for Poisson–Nernst–Planck Equations