कॉची-निरंतर कार्य

गणित में, कॉची-निरंतर, या कॉची-नियमित, फ़ंक्शन मीट्रिक रिक्त स्थान (या अधिक सामान्य रिक्त स्थान) के बीच एक विशेष प्रकार का निरंतर फ़ंक्शन है। कॉची-निरंतर फ़ंक्शंस में उपयोगी संपत्ति होती है कि उन्हें हमेशा (विशिष्ट रूप से) उनके डोमेन के कॉची समापन तक बढ़ाया जा सकता है।

परिभाषा

होने देना $X$ और $Y$ मीट्रिक रिक्त स्थान बनें, और रहने दें $f:X\to Y$ से एक फलन (गणित) बनें $X$ को $Y.$ तब $f$ कॉची-निरंतर है यदि और केवल यदि, कोई कॉची अनुक्रम दिया गया हो $\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)$ में $X,$ क्रम $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),\ldots \right)$ में एक कॉची अनुक्रम है $Y.$

गुण

प्रत्येक समान रूप से निरंतर कार्य भी कॉची-निरंतर होता है। इसके विपरीत, यदि डोमेन $X$ पूरी तरह से घिरा हुआ स्थान है, तो प्रत्येक कॉची-निरंतर कार्य समान रूप से निरंतर होता है। अधिक सामान्यतः, भले ही $X$ पूरी तरह से बाध्य नहीं है, एक फ़ंक्शन चालू है $X$ कॉची-निरंतर है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक पूर्णतः परिबद्ध उपसमुच्चय पर समान रूप से सतत है $X.$ प्रत्येक कॉची-निरंतर फ़ंक्शन सतत फ़ंक्शन है। इसके विपरीत, यदि डोमेन $X$ पूर्ण स्थान है, तो प्रत्येक सतत कार्य कॉची-निरंतर है। अधिक सामान्यतः, भले ही $X$ जब तक पूरा नहीं होता $Y$ पूर्ण है, तो कोई भी कॉची-निरंतर कार्य $X$ को $Y$ कॉची समापन पर परिभाषित एक सतत (और इसलिए कॉची-निरंतर) फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है $X;$ यह एक्सटेंशन आवश्यक रूप से अद्वितीय है.

इन तथ्यों को मिलाकर यदि $X$ कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान है, फिर निरंतर मानचित्र, कॉची-निरंतर मानचित्र, और समान रूप से निरंतर मानचित्र $X$ सभी एक जैसे हैं.

उदाहरण और गैर-उदाहरण

असली लाइन के बाद से $\mathbb {R}$ पूर्ण है, निरंतर कार्य करता है $\mathbb {R}$ कॉची-निरंतर हैं। सबस्पेस पर (टोपोलॉजी) $\mathbb {Q}$ हालाँकि, तर्कसंगत संख्याओं के मामले अलग हैं। उदाहरण के लिए, दो-मूल्य वाले फ़ंक्शन को परिभाषित करें ताकि $f(x)$ है $0$ कब $x^{2}$ मै रुक जाना $2$ लेकिन $1$ कब $x^{2}$ से बड़ा है $2.$ (ध्यान दें कि $x^{2}$ के बराबर कभी नहीं होता $2$ किसी भी परिमेय संख्या के लिए $x.$) यह फ़ंक्शन निरंतर चालू रहता है $\mathbb {Q}$ लेकिन कॉची-निरंतर नहीं, क्योंकि इसे लगातार बढ़ाया नहीं जा सकता $\mathbb {R} .$ दूसरी ओर, कोई भी समान रूप से निरंतर कार्य करता है $\mathbb {Q}$ कॉची-निरंतर होना चाहिए। एक गैर-समान उदाहरण के लिए $\mathbb {Q} ,$ होने देना $f(x)$ होना $2^{x}$; यह (सभी पर) समान रूप से निरंतर नहीं है $\mathbb {Q}$), लेकिन यह कॉची-निरंतर है। (यह उदाहरण समान रूप से अच्छा काम करता है $\mathbb {R} .$)

एक कॉची अनुक्रम $\left(y_{1},y_{2},\ldots \right)$ में $Y$ को कॉची-निरंतर फ़ंक्शन से पहचाना जा सकता है $\left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\}$ को $Y,$ द्वारा परिभाषित $f\left(1/n\right)=y_{n}.$ अगर $Y$ पूरा हो गया है, तो इसे आगे बढ़ाया जा सकता है $\left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\};$ $f(x)$ कॉची अनुक्रम की सीमा होगी.

सामान्यीकरण

कॉची निरंतरता मीट्रिक रिक्त स्थान की तुलना में अधिक सामान्य स्थितियों में समझ में आती है, लेकिन फिर किसी को अनुक्रम से नेट (टोपोलॉजी) (या समकक्ष फ़िल्टर (टोपोलॉजी)) में जाना होगा। उपरोक्त परिभाषा कॉची अनुक्रम तक लागू होती है $\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)$ इसे एक मनमाने कॉची जाल से बदल दिया गया है। समान रूप से, एक फ़ंक्शन $f$ कॉची-निरंतर है यदि और केवल तभी, जब कोई कॉची फ़िल्टर दिया गया हो ${\mathcal {F}}$ पर $X,$ तब $f({\mathcal {F}})$ एक कॉची फ़िल्टर आधार है $Y.$ यह परिभाषा मीट्रिक स्थानों पर उपरोक्त से सहमत है, लेकिन यह समान स्थानों के लिए भी काम करती है और, आमतौर पर, कॉची स्थानों के लिए।

कोई निर्देशित सेट $A$ कॉची स्थान बनाया जा सकता है। फिर कोई जगह दी $Y,$ कॉची ने जाल बिछाया $Y$ द्वारा अनुक्रमित $A$ कॉची-निरंतर कार्यों के समान हैं $A$ को $Y.$ अगर $Y$ पूरा हो गया है, तो फ़ंक्शन का विस्तार $A\cup \{\infty \}$ नेट की सीमा का मान देगा। (यह उपरोक्त अनुक्रमों के उदाहरण को सामान्यीकृत करता है, जहां 0 की व्याख्या की जानी है ${\frac {1}{\infty }}.$)

यह भी देखें

• Cauchy space
• हेन-कैंटर प्रमेय

संदर्भ

• Eva Lowen-Colebunders (1989). Function Classes of Cauchy Continuous Maps. Dekker, New York.