कॉन्स्टेंट फेलर-टॉर्नियर

गणित में, फेलर-टॉर्नियर स्थिरांक सी_FT उन सभी सकारात्मक पूर्णांकों के सेट का घनत्व है जिनमें एक से अधिक घात तक बढ़ाए गए अलग-अलग अभाज्य कारकों की एक समान संख्या होती है (किसी भी अभाज्य कारक को अनदेखा करना जो केवल पहली घात पर दिखाई देता है)। इसका नाम विलियम फेलर (1906-1970) और एरहार्ड टॉर्नियर (1894-1982) के नाम पर रखा गया है।

${\begin{aligned}C_{\text{FT}}&={1 \over 2}+\left({1 \over 2}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{2 \over p_{n}^{2}}\right)\right)\\[4pt]&={{1} \over {2}}\left(1+\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{2} \over {p_{n}^{2}}}\right)\right)\\[4pt]&={1 \over 2}\left(1+{{1} \over {\zeta (2)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{1} \over {p_{n}^{2}-1}}\right)\right)\\[4pt]&={1 \over 2}+{{3} \over {\pi ^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{1} \over {p_{n}^{2}-1}}\right)=0.66131704946\ldots \end{aligned}}$

(sequence A065493 in the OEIS)

ओमेगा फ़ंक्शन

प्राइम फ़ैक्टर#ओमेगा फ़ंक्शंस द्वारा दिया गया है

$\Omega (x)={\text{the number of prime factors of }}x{\text{ counted by multiplicities}}$

यह भी देखें: प्राइम ओमेगा फंक्शन

इवरसन ब्रैकेट है

$[P]={\begin{cases}1&{\text{if }}P{\text{ is true,}}\\0&{\text{if }}P{\text{ is false.}}\end{cases}}$

इन नोटेशन के साथ, हमारे पास है

$C_{\text{FT}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}([\Omega (k)\equiv 0{\bmod {2}}])}{n}}$

प्राइम जीटा फ़ंक्शन

प्राइम जीटा फ़ंक्शन P द्वारा दिया गया है

$P(s)=\sum _{p{\text{ is prime}}}{\frac {1}{p^{s}}}.$

फेलर-टॉर्नियर स्थिरांक संतुष्ट करता है

$C_{\text{FT}}={1 \over 2}\left(1+\exp \left(-\sum _{n=1}^{\infty }{2^{n}P(2n) \over n}\right)\right).$

यह भी देखें

• रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन
• एल-फ़ंक्शन
• यूलर उत्पाद
• जुड़वा प्रधान