कोसाइन का अतिपरवलयिक नियम

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में, कोसाइन का नियम हाइपरबोलिक ज्यामिति पर त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों से संबंधित प्रमेयों की एक जोड़ी है, जो समतल त्रिकोणमिति से कोसाइन के समतल नियम या गोलाकार त्रिकोणमिति में कोसाइन के गोलाकार नियम के अनुरूप है। इसे आपेक्षिक वेग योग सूत्र से भी जोड़ा जा सकता है।

इतिहास

हाइपरबोलिक ज्यामिति के संबंधों का वर्णन करते हुए, फ्रांज टॉरिनस ने 1826 में दिखाया कोसाइन का गोलाकार नियम काल्पनिक त्रिज्या के गोले से संबंधित हो सकता है, इस प्रकार वह कोसाइन के अतिपरवलयिक नियम पर इस प्रकार पहुंचा:

$$A=\operatorname {arccos} {\frac {\cos \left(\alpha {\sqrt {-1}}\right)-\cos \left(\beta {\sqrt {-1}}\right)\cos \left(\gamma {\sqrt {-1}}\right)}{\sin \left(\beta {\sqrt {-1}}\right)\sin \left(\gamma {\sqrt {-1}}\right)}}$$

जिसे निकोलाई लोबचेव्स्की (1830) ने भी दिखाया था:

$$\cos A\sin b\sin c-\cos b\cos c=\cos a;\quad [a,\ b,\ c]\rightarrow \left[a{\sqrt {-1}},\ b{\sqrt {-1}},\ c{\sqrt {-1}}\right]$$

फर्डिनेंड माइंडिंग ने इसे निरंतर नकारात्मक वक्रता की सतहों के संबंध में दिया:

$$\cos a{\sqrt {k}}=\cos b{\sqrt {k}}\cdot \cos c{\sqrt {k}}+\sin b{\sqrt {k}}\cdot \sin c{\sqrt {k}}\cdot \cos A$$

जैसा कि डेल्फ़िनो कोडाज़ी ने 1857 में किया था:

$$\cos \beta \,p\left({\frac {a}{r}}\right)p\left({\frac {s}{r}}\right)=q\left({\frac {a}{r}}\right)q\left({\frac {s}{r}}\right)-q\left({\frac {\lambda }{r}}\right),\quad \left[{\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}=p(t),\ {\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}=q(t)\right]$$

तेज़ी का उपयोग करके सापेक्षता का संबंध 1909 में अर्नोल्ड सोमरफेल्ड द्वारा दिखाया गया था और 1910 में व्लादिमीर वारिकैक।

कोज्या के अतिपरवलयिक नियम

एक अतिपरवलयिक तल लीजिए जिसकी गाऊसी वक्रता है ${\textstyle -{\frac {1}{k^{2}}}}$. एक अतिपरवलयिक त्रिभुज दिया गया है $ABC$ कोणों के साथ $\alpha ,\beta ,\gamma$ और साइड की लंबाई $BC=a$, $AC=b$, और $AB=c$, निम्नलिखित दो नियम मान्य हैं। पहला कोसाइन के यूक्लिडियन नियम का एक एनालॉग है, जो एक तरफ की लंबाई को अन्य दो के संदर्भ में और बाद वाले के बीच के कोण को व्यक्त करता है:

$\cosh {\frac {a}{k}}=\cosh {\frac {b}{k}}\cosh {\frac {c}{k}}-\sinh {\frac {b}{k}}\sinh {\frac {c}{k}}\cos \alpha ,$

(1)

दूसरे नियम का कोई यूक्लिडियन एनालॉग नहीं है, क्योंकि यह इस तथ्य को व्यक्त करता है कि एक अतिपरवलयिक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई आंतरिक कोणों द्वारा निर्धारित होती है:

$$\cos \alpha =-\cos \beta \cos \gamma +\sin \beta \sin \gamma \cosh {\frac {a}{k}}.$$

हौज़ेल इंगित करता है कि कोसाइन का अतिपरवलयिक नियम एक आदर्श अतिपरवलयिक त्रिभुज के मामले में समांतरता के कोण को दर्शाता है:

When $\alpha =0,$ that is when the vertex A is rejected to infinity and the sides BA and CA are "parallel", the first member equals 1; let us suppose in addition that $\gamma =\pi /2$ so that $\cos \gamma =0$ and $\sin \gamma =1.$ The angle at B takes a value β given by $1=\sin \beta \cosh(a/k);$ this angle was later called "angle of parallelism" and Lobachevsky noted it by "F(a)" or "Π(a)".

हैवर्साइन्स का अतिपरवलयिक नियम

ऐसे मामलों में जहां $a/k$ छोटा है, और हल किए जाने पर, कोसाइन के हाइपरबोलिक नियम के मानक रूप की संख्यात्मक परिशुद्धता राउंड-ऑफ त्रुटि के कारण कम हो जाएगी, ठीक उसी कारण से यह कोसाइन के गोलाकार नियम में होता है। हैवरसाइन सूत्र का अतिपरवलयिक संस्करण#हैवरसाइन का नियम इस मामले में उपयोगी साबित हो सकता है:

$$\sinh ^{2}{\frac {a}{2k}}=\sinh ^{2}{\frac {b-c}{2k}}+\sinh {\frac {b}{k}}\sinh {\frac {c}{k}}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}},$$

कोज्या के अतिशयोक्तिपूर्ण नियम के माध्यम से सापेक्ष वेग जोड़

सेटिंग $\left[{\tfrac {a}{k}},\ {\tfrac {b}{k}},\ {\tfrac {c}{k}}\right]=\left[\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right]$ में (1), और हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा के संदर्भ में हाइपरबोलिक पहचान का उपयोग करके, कोसाइन का हाइपरबोलिक नियम लिखा जा सकता है:

${\begin{aligned}&&\cosh \xi &=\cosh \eta \cosh \zeta -\sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha \\&\Rightarrow &{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\xi }}}&={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}-{\frac {\tanh \eta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {\tanh \zeta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\cos \alpha \\&\Rightarrow &\tanh \xi &={\frac {\sqrt {-\tanh ^{2}\zeta -\tanh ^{2}\eta +2\tanh \eta \tanh \zeta \cos \alpha +\left(\tanh \eta \tanh \zeta \sin \alpha \right)^{2}}}{1-\tanh \eta \tanh \zeta \cos \alpha }}\end{aligned}}$

(2)

इसकी तुलना में, x और y-दिशाओं के साथ-साथ एक मनमाने कोण के तहत विशेष सापेक्षता के वेग जोड़ सूत्र $\alpha$, कहाँ v दो जड़त्वीय फ़्रेमों के बीच सापेक्ष वेग है, u किसी अन्य वस्तु या फ्रेम का वेग, और c प्रकाश की गति, द्वारा दी गई है

$${\begin{aligned}&&\left[U_{x},\ U_{y}\right]&=\left[{\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},\ {\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}}\right]\\&&U^{2}&=U_{x}^{2}+U_{y}^{2},\ u^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2},\ \tan \alpha ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}\\&\Rightarrow &U&={\frac {\sqrt {-u^{2}-v^{2}+2vu\cos \alpha +\left({\frac {vu\sin \alpha }{c}}\right){}^{2}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u\cos \alpha }}\end{aligned}}$$

यह पता चलता है कि यह परिणाम कोसाइन के अतिशयोक्तिपूर्ण नियम से मेल खाता है - पहचान करके $\left[\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right]$ सापेक्षिक तीव्रता के साथ ${\scriptstyle \left(\left[{\frac {U}{c}},\ {\frac {v}{c}},\ {\frac {u}{c}}\right]=\left[\tanh \xi ,\ \tanh \eta ,\ \tanh \zeta \right]\right)},$ में समीकरण (2) फॉर्म ग्रहण करें:

$${\begin{aligned}&&\cosh \xi &=\cosh \eta \cosh \zeta -\sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha \\&\Rightarrow &{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {U^{2}}{c^{2}}}}}}&={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}-{\frac {v/c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {u/c}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\cos \alpha \\&\Rightarrow &U&={\frac {\sqrt {-u^{2}-v^{2}+2vu\cos \alpha +\left({\frac {vu\sin \alpha }{c}}\right)^{2}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u\cos \alpha }}\end{aligned}}$$

यह भी देखें

• ज्या का नियम#अतिशयोक्तिपूर्ण मामला
• अतिपरवलयिक त्रिभुज#त्रिकोणमिति
• लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का इतिहास

संदर्भ

ग्रन्थसूची

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बाहरी संबंध

• Non Euclidean Geometry, Math Wiki at TU Berlin
• Velocity Compositions and Rapidity, at MathPages