क्वांटम पुनरुद्धार

अपने समय के विकास के दौरान एक अनंत द्वि-आयामी अनंत क्षमता में अर्ध-गॉसियन तरंग फ़ंक्शन का पूर्ण और सटीक पुनरुद्धार। बीच में आंशिक पुनरुद्धार तब होता है जब तरंग फ़ंक्शन का स्केल किया गया आकार कुएं क्षेत्र पर कई बार पूर्णांक संख्या को दोहराता है।

क्वांटम यांत्रिकी में, क्वांटम पुनरुद्धार

क्वांटम तरंग फ़ंक्शन की आवधिक पुनरावृत्ति है समय विकास के दौरान अपने मूल रूप से या तो कई बार अंतरिक्ष में कई स्केल किए गए अंशों के रूप में प्रारंभिक तरंग फ़ंक्शन (आंशिक पुनरुद्धार) के रूप में या लगभग या बिल्कुल अपने मूल के रूप में शुरुआत से फॉर्म (पूर्ण पुनरुद्धार)। क्वांटम तरंग फ़ंक्शन समय-समय पर पूर्ण पुनरुद्धार प्रदर्शित करता है प्रत्येक अवधि (भौतिकी)। पुनरुद्धार की घटना तरंग कार्यों के लिए सबसे आसानी से देखी जा सकती है, उदाहरण के लिए हाइड्रोजन परमाणु में समय विकास की शुरुआत में ट्रोजन तरंग पैकेट तरंग पैकेट। हाइड्रोजन के लिए, आंशिक पुनरुद्धार दिखाई देता है अग्रणी हाइड्रोजन परमाणु घटक के रेडियल अधिकतम द्वारा खींचे गए वृत्त के चारों ओर कई कोणीय गाऊसी धक्कों के रूप में (जो कि ईजेनस्टेट विस्तार में उच्चतम आयाम के साथ है) मूल स्थानीयकृत स्थिति और मूल गाऊसी के रूप में पूर्ण पुनरुद्धार . पूर्ण पुनरुद्धार अनंत क्वांटम वेल, क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर या हाइड्रोजन परमाणु के लिए सटीक हैं, जबकि कम समय के लिए अनुमानित हैं हाइड्रोजन परमाणु और बहुत सारी क्वांटम प्रणालियों के लिए। फ़ाइल:ColRev3da10.tif|ColRev3a10|बाएँ

जेसीएम परमाणु व्युत्क्रम के क्वांटम दोलनों के पतन और पुनरुद्धार की साजिश।

उदाहरण - तर्कसंगत ऊर्जाओं के साथ क्वांटम प्रणाली का मनमाना काटे गए तरंग फ़ंक्शन

ऊर्जाओं के साथ एक क्वांटम प्रणाली पर विचार करें $E_{i}$ और आइजेनस्टेट्स $\psi _{i}$

$H\psi _{i}=E_{i}\psi _{i}$

और ऊर्जाओं को किसी स्थिरांक का तर्कसंगत संख्या अंश होने दें $C$

$E_{i}=C{M_{i} \over N_{i}}$

(उदाहरण के लिए हाइड्रोजन परमाणु के लिए $M_{i}=1$, $N_{i}=i^{2}$, $C=-13.6eV$.

फिर काट दिया गया (तक)। $\mathbb {N} _{max}$ राज्यों का) समय पर निर्भर श्रोडिंगर समीकरण का समाधान है

$\Psi (t)=\sum _{i=0}^{\mathbb {N} _{max}}a_{i}e^{-i{{E_{i}} \over \hbar }t}\psi _{i}$

जेनेस-कमिंग्स मॉडल में व्युत्क्रम का सुपररिवाइवल (मूल आकार में पूर्ण अनुमानित पुनरुद्धार की वापसी) जब फोटॉन की औसत संख्या के आसपास अनुनाद में सटीक स्पेक्ट्रम $n_{0}=100$ फोटॉन क्वांटम संख्या में बहुपद द्वारा अनुमानित किया गया है $n$ $E(n)=a\delta n^{2}+b\delta n+c$, $\delta n=n-n_{0}$

.

होने देना $L_{cm}$ सभी के निम्नतम समापवर्त्य पर हो $N_{i}$ और $L_{cd}$ सभी का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $M_{i}$ फिर प्रत्येक के लिए $N_{i}$ ${L_{cm}}/N_{i}$ प्रत्येक के लिए एक पूर्णांक है $M_{i}$ ${M_{i}}/L_{cd}$ एक पूर्णांक है, $2\pi M_{i}{L_{cm}}/(N_{i}L_{cd})$ का पूर्ण गुणज है $2\pi$ कोण और

$\Psi (t)=\Psi (t+T)$

पूर्ण पुनरुद्धार समय के बाद समय

$T={2\pi \hbar \over {L_{cd}C}}L_{cm}$.

क्वांटम प्रणाली के लिए हाइड्रोजन जितना छोटा और $\mathbb {N} _{max}$ 100 जितनी छोटी इसे पूरी तरह से पुनर्जीवित होने में चार खरब साल लग सकते हैं। विशेष रूप से एक बार ट्रोजन तरंग पैकेट को फ़ील्ड द्वारा बनाया गया हाइड्रोजन परमाणु बिना किसी बाहरी क्षेत्र के मौजूद है स्ट्रोबोस्कोपिक प्रभाव और स्वयं को सदैव दोहराता रहना क्वांटम चरणों के लगभग पूरे हाइपरक्यूब को हर पूर्ण पुनरुद्धार समय में साफ़ करने के बाद।

आश्चर्यजनक परिणाम यह है कि कोई भी परिमित-बिट कंप्यूटर मनमाने ढंग से लंबे समय तक संख्यात्मक तरंग फ़ंक्शन को सटीक रूप से प्रचारित नहीं कर सकता है समय। यदि प्रोसेसर संख्या एन-बिट लंबी तैरनेवाला स्थल संख्या है तो संख्या को कंप्यूटर द्वारा केवल अल्पविराम के बाद सीमित सटीकता के साथ संग्रहीत किया जा सकता है और ऊर्जा (अल्पविराम के बाद 8 अंकों तक) है उदाहरण के लिए 2.34576893 = 234576893/1000000000 और इसे परिमित अंश के रूप में बिल्कुल तर्कसंगत है और समय के बाद किसी भी क्वांटम प्रणाली के किसी भी तरंग फ़ंक्शन के लिए पूर्ण पुनरुद्धार होता है $t/2\pi =100000000$ जो इसका अधिकतम प्रतिपादक है और इसी तरह यह सभी क्वांटम प्रणालियों के लिए सच नहीं हो सकता है या सभी स्थिर क्वांटम सिस्टम संख्यात्मक रूप से पूर्ण और सटीक पुनरुद्धार से गुजरते हैं।

तर्कसंगत ऊर्जा वाले सिस्टम में यानी जहां क्वांटम सटीक पूर्ण पुनरुद्धार मौजूद है, उसका अस्तित्व तुरंत क्वांटम पोंकारे पुनरावृत्ति प्रमेय को साबित करता है और पूर्ण क्वांटम पुनरुद्धार का समय पोंकारे पुनरावृत्ति समय के बराबर होता है। जबकि तर्कसंगत संख्याएँ वास्तविक संख्याओं और मनमाने ढंग से कार्य में सघन सेट होती हैं क्वांटम संख्या को पैडे सन्निकटन के साथ मनमाने ढंग से सटीक रूप से अनुमानित किया जा सकता है इसलिए प्रत्येक क्वांटम प्रणाली मनमाने ढंग से लंबे समय के लिए मनमानी दशमलव परिशुद्धता के गुणांक को पुनर्जीवित करती है लगभग बिलकुल। इसका यह भी अर्थ है कि पोंकारे की पुनरावृत्ति और पूर्ण पुनरुद्धार गणितीय रूप से एक ही बात है और यह है आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि पुनरावृत्ति को पूर्ण पुनरुद्धार कहा जाता है यदि यह उचित और शारीरिक रूप से मापने योग्य समय के बाद होता है यथार्थवादी उपकरण द्वारा इसका पता लगाना संभव है और यह एक बहुत ही विशेष ऊर्जा स्पेक्ट्रम के कारण होता है जिसमें बड़ी बुनियादी ऊर्जा होती है रिक्ति अंतराल जिसमें ऊर्जाएं मनमानी (जरूरी नहीं कि हार्मोनिक) गुणज हों।

यह भी देखें

• पोंकारे पुनरावृत्ति प्रमेय