गुणा और बार-बार जोड़

गणित की शिक्षा में, इस मुद्दे पर बहस हुई कि क्या गुणन की संक्रिया को बार-बार जोड़ के रूप में पढ़ाया जाना चाहिए। बहस में भाग लेने वालों ने अंकगणित, शिक्षाशास्त्र, सीखने और निर्देशात्मक डिजाइन, गणित का इतिहास, गणित के दर्शन और कंप्यूटर आधारित गणित के स्वयंसिद्धों सहित कई दृष्टिकोणों को सामने रखा।

बहस की पृष्ठभूमि

1990 के दशक की शुरुआत में लेस्ली स्टीफ़ ने गणना योजना प्रस्तावित की जिसका उपयोग बच्चे अपने गणितीय ज्ञान में गुणन को आत्मसात करने के लिए करते हैं। जेरे कॉन्फ़्री ने मतगणना योजना की तुलना विखंडन अनुमान से की। कॉन्फ्रे ने सुझाव दिया कि गिनती और विभाजन दो अलग, स्वतंत्र संज्ञानात्मक आदिम हैं। इसने सम्मेलन प्रस्तुतियों, लेखों और पुस्तक अध्यायों के रूप में अकादमिक चर्चाओं को जन्म दिया। बहस की शुरुआत पाठ्यचर्या के व्यापक प्रसार से हुई, जिसमें प्रारंभिक वर्षों में स्केलिंग, ज़ूमिंग, फोल्डिंग और गणितीय कार्यों को मापने पर जोर दिया गया था। इस तरह के कार्यों के लिए गुणन के मॉडल की आवश्यकता और समर्थन दोनों होते हैं जो गिनती या बार-बार जोड़ने पर आधारित नहीं होते हैं। इस प्रश्न पर वाद-विवाद, क्या गुणा वास्तव में बार-बार जोड़ है? 1990 के दशक के मध्य में माता-पिता और शिक्षक चर्चा मंचों पर दिखाई दिए। कीथ डिवालिन ने एक गणितीय एसोसिएशन ऑफ अमेरिका कॉलम लिखा, जिसका शीर्षक था, इट इज नॉट नो रिपीटिड एडिशन, जो शिक्षकों के साथ उनके ईमेल एक्सचेंजों पर फॉलो किया गया, जब उन्होंने पहले के एक लेख में संक्षेप में इस विषय का उल्लेख किया था। स्तंभ ने अकादमिक वाद-विवादों को अभ्यासी वाद-विवादों से जोड़ा। इसने अनुसंधान और व्यवसायी ब्लॉग और मंचों में कई चर्चाओं को जन्म दिया। कीथ डिवालिन ने इस विषय पर लिखना जारी रखा है।

शैक्षणिक दृष्टिकोण

गिनती से गुणा करने तक

विशिष्ट गणित पाठ्यक्रम और मानकों में, जैसे कि सामान्य कोर राज्य मानक पहल, वास्तविक संख्या के उत्पाद का अर्थ अवधारणाओं की एक श्रृंखला के माध्यम से होता है जो आम तौर पर बार-बार जोड़ से शुरू होता है और अंततः स्केलिंग में रहता है।

एक बार प्राकृतिक (या पूर्ण) संख्याओं को गिनने के साधन के रूप में परिभाषित और समझ लिए जाने के बाद, एक बच्चे को अंकगणित के बुनियादी कार्यों से परिचित कराया जाता है, इस क्रम में: जोड़, घटाव, गुणा और भाग। ये संक्रियाएं, हालांकि एक बच्चे की गणित शिक्षा के बहुत प्रारंभिक चरण में शुरू की जाती हैं, उन्नत संख्यात्मक क्षमताओं के रूप में छात्रों में संख्या बोध के विकास पर स्थायी प्रभाव डालती हैं।

इन पाठ्यचर्या में बार-बार जोड़ने से संबंधित प्रश्न पूछने के तुरंत बाद गुणा का परिचय दिया जाता है, जैसे: प्रत्येक 8 सेब के 3 बैग हैं। कुल कितने सेब हैं? एक छात्र कर सकता है:

$8+8+8=24,$

या विकल्प चुनें

$3\times 8=24.$

यह दृष्टिकोण कई वर्षों के शिक्षण और सीखने के लिए समर्थित है, और इस धारणा को स्थापित करता है कि गुणन जोड़ने का एक अधिक कुशल तरीका है। एक बार 0 लाने के बाद, यह कोई महत्वपूर्ण परिवर्तन प्रभावित नहीं करता है क्योंकि

$3\times 0=0+0+0,$

जो कि 0 है, और क्रमविनिमेय गुण हमें परिभाषित करने के लिए भी प्रेरित करेगा

$0\times 3=0.$

इस प्रकार, बार-बार जोड़ने का विस्तार पूर्ण संख्याओं (0, 1, 2, 3, 4, ...) तक होता है। इस विश्वास के लिए पहली चुनौती कि गुणा बार-बार जोड़ है, तब प्रकट होता है जब छात्र भिन्नों के साथ काम करना शुरू करते हैं। गणितीय दृष्टिकोण से, बार-बार जोड़ के रूप में गुणा को भिन्नों में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,

$7/4\times 5/6$

शाब्दिक रूप से "पांच-छठे में से एक और तीन-चौथाई" कहते हैं। यह बाद में महत्वपूर्ण है क्योंकि छात्रों को सिखाया जाता है कि, शब्द समस्याओं में, "का" शब्द आमतौर पर गुणा को इंगित करता है। हालांकि, यह विस्तार कई छात्रों के लिए समस्याग्रस्त है, जो अंशों को पेश किए जाने पर गणित के साथ संघर्ष करना शुरू कर देते हैं। इसके अलावा, जब अपरिमेय संख्याओं को क्रियान्वित किया जाता है तो दोहराए जाने वाले जोड़ मॉडल को काफी हद तक संशोधित किया जाना चाहिए।

इन मुद्दों के संबंध में, गणित के शिक्षकों ने इस बात पर बहस की है कि क्या इन संख्याओं को पेश किए जाने से पहले लंबे समय तक गुणा को बार-बार जोड़ने के रूप में देखने से भिन्न और अपरिमेय संख्याओं के साथ छात्रों की कठिनाइयाँ बढ़ जाती हैं, और संबंधित रूप से क्या प्रारंभिक शिक्षा के लिए कठोर गणित को महत्वपूर्ण रूप से संशोधित करना स्वीकार्य है, अग्रणी बच्चे उन कथनों पर विश्वास करें जो बाद में गलत निकले।

स्केलिंग से गुणा करने के लिए

गुणन को स्केलिंग के रूप में भी माना जा सकता है। उपरोक्त एनीमेशन में, हम 3 को 2 से गुणा करते हुए देखते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 6 प्राप्त होता है।

सीखने के गुणन का एक सिद्धांत वायगोत्स्की सर्कल में रूसी गणित के शिक्षकों के काम से निकला है जो विश्व युद्धों के बीच सोवियत संघ में सक्रिय था। उनके योगदान को विभाजन अनुमान के रूप में जाना जाता है।

सीखने के गुणन का एक अन्य सिद्धांत मूर्त अनुभूति का अध्ययन करने वालों से निकला है, जिन्होंने गुणन के लिए अंतर्निहित रूपकों की जांच की।

एक साथ इन जांचों ने छोटे बच्चों के लिए स्वाभाविक रूप से गुणक कार्यों के साथ पाठ्यक्रम को प्रेरित किया है। इन कार्यों के उदाहरणों में शामिल हैं: इलास्टिक स्ट्रेचिंग, ज़ूम, फोल्डिंग, प्रोजेक्टिंग शैडो या ड्रॉपिंग शैडो। ये कार्य गिनती पर निर्भर नहीं करते हैं, और इन्हें बार-बार जोड़ने के संदर्भ में आसानी से अवधारणा नहीं किया जा सकता है।

इन पाठ्यचर्या से संबंधित बहस के मुद्दों में शामिल हैं:

• whether these tasks are accessible to all young children, or only to the best students;
• whether children can achieve computational fluency if they see multiplication as scaling rather than repeated addition;
• whether children may become confused by the two separate approaches to multiplication introduced closely together; and
• whether scaling and repeated addition should be introduced separately, and if so, when and in what order?

क्या गुणा किया जा सकता है?

गुणन को अक्सर प्राकृतिक संख्याओं के लिए परिभाषित किया जाता है, फिर पूर्ण संख्याओं, भिन्नों और अपरिमेय संख्याओं तक बढ़ाया जाता है। हालांकि, सार बीजगणित में गुणन की एक अधिक सामान्य परिभाषा है जो कुछ वस्तुओं पर बाइनरी ऑपरेशन के रूप में होती है जो संख्याएं हो सकती हैं या नहीं भी हो सकती हैं। विशेष रूप से, कोई जटिल संख्या, निर्देशांक वैक्टर, मैट्रिक्स (गणित), और चतुष्कोणों को गुणा कर सकता है। कुछ शिक्षक मानते हैं कि प्रारंभिक शिक्षा के दौरान गुणा को विशेष रूप से बार-बार जोड़ने के रूप में देखने से गुणन के इन पहलुओं की बाद की समझ में बाधा आ सकती है।

मॉडल और रूपक जो गुणन को आधार बनाते हैं

गणित शिक्षा के संदर्भ में, मॉडल अमूर्त गणितीय विचारों के ठोस निरूपण हैं जो विचार के कुछ, या सभी आवश्यक गुणों को दर्शाते हैं। मॉडल अक्सर गणित और उनके साथ आने वाली पाठ्यचर्या सामग्री के लिए भौतिक या आभासी जोड़-तोड़ के रूप में विकसित किए जाते हैं।

गुणा और बार-बार जोड़ने के बारे में बहस का एक हिस्सा विभिन्न मॉडलों और उनकी पाठ्यचर्या सामग्री की तुलना है। विभिन्न मॉडल विभिन्न प्रकार की संख्याओं के गुणन का समर्थन कर भी सकते हैं और नहीं भी; उदाहरण के लिए सेट मॉडल जिसमें संख्याओं को वस्तुओं के संग्रह के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, और गुणन को प्रत्येक में समान संख्या में वस्तुओं के साथ कई सेटों के मिलन के रूप में, भिन्नात्मक या वास्तविक संख्याओं के गुणन तक नहीं बढ़ाया जा सकता है।

अंकगणित के विशिष्ट अनुप्रयोगों के लिए विभिन्न मॉडल भी प्रासंगिक हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, संभाव्यता और जीव विज्ञान में संयोजन मॉडल सामने आते हैं।

गुणन को बार-बार जोड़ के रूप में मानने से भी विमीय विश्लेषण में परिणाम होते हैं। यदि कोई वस्तु 3m/s की स्थिर गति से यात्रा कर रही है, तो उस वस्तु द्वारा 4 सेकंड में तय की गई दूरी 3m/s × 4s = (12ms)/s = 12m होगी। हालाँकि, यदि हम इसे बार-बार जोड़ मानते हैं, तो तय की गई दूरी 3m/s + 3m/s + 3m/s + 3m/s = 12m/s होगी, जिसके परिणामस्वरूप तय की गई दूरी में गलत आयाम/इकाइयां होंगी।