गोलाकार बहुध्रुव क्षण

भौतिकी में, गोलाकार बहुध्रुव क्षण एक स्केलर क्षमता के श्रृंखला विस्तार में गुणांक होते हैं जो दूरी के व्युत्क्रमानुपाती रूप से भिन्न होते हैं। R एक स्रोत के लिए, यानी, as${\tfrac {1}{R}}.$ ऐसी विभवों के उदाहरण हैं विद्युत विभव, चुंबकीय अदिश विभव और गुरुत्वीय विभव।

स्पष्टता के लिए, हम एक बिंदु आवेश के विस्तार का वर्णन करते हैं, फिर एक मनमाना आवेश घनत्व के लिए सामान्यीकरण करते हैं $\rho (\mathbf {r} ').$ इस लेख के माध्यम से, प्राथमिक निर्देशांक जैसे $\mathbf {r} '$ चार्ज (ओं) की स्थिति को देखें, जबकि अप्रकाशित निर्देशांक जैसे $\mathbf {r}$ उस बिंदु का संदर्भ लें जिस पर क्षमता देखी जा रही है। हम पूरे गोलाकार निर्देशांक का भी उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, वेक्टर $\mathbf {r} '$ निर्देशांक हैं $(r',\theta ',\phi ')$ कहाँ $r'$ त्रिज्या है, $\theta '$ colatitude है और $\phi '$ दिगंश कोण है।

एक बिंदु आवेश के गोलाकार बहुध्रुव क्षण

चित्र 1: गोलाकार बहुध्रुव विस्तार के लिए परिभाषाएँ

स्थित बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षमता $\mathbf {r'}$ द्वारा दिया गया है

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{R}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2r'r\cos \gamma }}}.$$

कहाँ $R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|$ चार्ज स्थिति और अवलोकन बिंदु के बीच की दूरी है और $\gamma$ वैक्टर के बीच का कोण है $\mathbf {r}$ और $\mathbf {r'}$. यदि त्रिज्या $r$ प्रेक्षण बिंदु की त्रिज्या से अधिक है $r'$ आवेश का, हम 1/r को कारक बना सकते हैं और की शक्तियों में वर्गमूल का विस्तार कर सकते हैं $(r'/r)<1$ लीजेंड्रे बहुपदों का उपयोग करना

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r'}{r}}\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \gamma )$$

यह अक्षीय बहुध्रुव क्षणों के बिल्कुल अनुरूप है।

हम व्यक्त कर सकते हैं $\cos \gamma$ कोसाइन (गोलाकार) (चित्र 2) के नियम का उपयोग करके अवलोकन बिंदु और आवेश की स्थिति के निर्देशांक के संदर्भ में

$$\cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\phi -\phi ')$$

चित्रा 2: यूनिट वैक्टर के बीच कोण $\mathbf {\hat {z}}$ (समन्वय अक्ष), $\mathbf {\hat {r}}$ (अवलोकन बिंदु) और $\mathbf {{\hat {r}}'}$ (प्रभारी स्थिति)।

के लिए इस समीकरण को प्रतिस्थापित करना $\cos \gamma$ लीजेंड्रे बहुपदों में और प्राइमेड और अनप्राइमेड निर्देशांकों को फैक्टर करने से महत्वपूर्ण सूत्र प्राप्त होता है जिसे गोलाकार हार्मोनिक्स#अतिरिक्त प्रमेय के रूप में जाना जाता है

$$P_{\ell }(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')$$

जहां $Y_{\ell m}$ कार्य गोलाकार हार्मोनिक्स हैं। संभावित पैदावार में इस सूत्र का प्रतिस्थापन

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r'}{r}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')$$

जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {Q_{\ell m}}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$$

जहां मल्टीपोल क्षणों को परिभाषित किया गया है

$$Q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ q\left(r'\right)^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').$$

अक्षीय बहुध्रुव क्षणों के साथ, हम त्रिज्या के मामले पर भी विचार कर सकते हैं $r$ प्रेक्षण बिंदु की त्रिज्या से कम है $r'$ आरोप का। ऐसे में हम लिख सकते हैं

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r'}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r}{r'}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')$$

जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }I_{\ell m}r^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$$

जहां आंतरिक गोलाकार बहुध्रुव क्षणों को ठोस हार्मोनिक्स के जटिल संयुग्म के रूप में परिभाषित किया गया है

$$I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {q}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')$$

दो मामलों को एक अभिव्यक्ति में शामिल किया जा सकता है यदि $r_{<}$ और $r_{>}$ क्रमशः दो रेडी के छोटे और बड़े होने के रूप में परिभाषित किया गया है $r$ और $r'$; एक बिंदु आवेश की क्षमता तब रूप लेती है, जिसे कभी-कभी लाप्लास विस्तार (संभावित) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r_{<}^{\ell }}{r_{>}^{\ell +1}}}\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')$$

बाहरी गोलाकार बहुध्रुव क्षण

बिंदु आवेश को बदलकर इन सूत्रों का सामान्यीकरण करना सीधा है $q$ एक अतिसूक्ष्म आवेश तत्व के साथ $\rho (\mathbf {r} ')d\mathbf {r} '$ और एकीकृत। विस्तार का कार्यात्मक रूप वही है। बाहरी मामले में, कहाँ $r>r'$, परिणाम है:

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {Q_{\ell m}}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\,,$$

जहां सामान्य मल्टीपोल क्षणों को परिभाषित किया गया है

$$Q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\left(r'\right)^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').$$

नोट

संभावित Φ(r) वास्तविक है, ताकि विस्तार का जटिल संयुग्म समान रूप से मान्य हो। जटिल संयुग्म लेने से मल्टीपोल पल की परिभाषा होती है जो 'वाई' के समानुपाती होती है_ℓm, इसके जटिल संयुग्म के लिए नहीं। यह एक सामान्य सम्मेलन है, इस पर अधिक जानकारी के लिए देखें मल्टीपोल मोमेंट्स#नोट ऑन कन्वेंशन्स।

आंतरिक गोलाकार बहुध्रुव क्षण

इसी तरह, आंतरिक मल्टीपोल विस्तार का एक ही कार्यात्मक रूप है। आंतरिक मामले में, कहाँ $r'>r$, परिणाम है:

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }I_{\ell m}r^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),$$

आंतरिक मल्टीपोल क्षणों के रूप में परिभाषित किया गया है

$$I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').$$

गोलाकार बहुध्रुवों की अन्योन्यक्रिया ऊर्जा

दो गैर-अतिव्यापी लेकिन संकेंद्रित आवेश वितरणों की परस्पर क्रिया ऊर्जा के लिए एक सरल सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। मान लीजिए कि प्रथम आवेश वितरण है $\rho _{1}(\mathbf {r} ')$ मूल बिंदु पर केंद्रित होना चाहिए और पूरी तरह से दूसरे चार्ज वितरण के भीतर होना चाहिए $\rho _{2}(\mathbf {r} ')$. किन्हीं दो स्थिर आवेश वितरणों के बीच अन्योन्यक्रिया ऊर्जा किसके द्वारा परिभाषित की जाती है?

$$U\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} \rho _{2}(\mathbf {r} )\Phi _{1}(\mathbf {r} ).$$

सामर्थ $\Phi _{1}(\mathbf {r} )$ पहले (केंद्रीय) चार्ज वितरण का बाहरी मल्टीपोल में विस्तार किया जा सकता है

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}\left({\frac {1}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$$

कहाँ $Q_{1\ell m}$ का प्रतिनिधित्व करता है $\ell m$ प्रथम आवेश वितरण का बाह्य बहुध्रुव आघूर्ण। इस विस्तार के प्रतिस्थापन से सूत्र प्राप्त होता है

$$U={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}\int d\mathbf {r} \ \rho _{2}(\mathbf {r} )\left({\frac {1}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$$

चूंकि इंटीग्रल आंतरिक मल्टीपोल क्षणों के जटिल संयुग्म के बराबर होता है $I_{2\ell m}$ दूसरे (परिधीय) आवेश वितरण में, ऊर्जा सूत्र सरल रूप में कम हो जाता है

$$U={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}I_{2\ell m}^{*}$$

उदाहरण के लिए, इस सूत्र का उपयोग परमाणु नाभिक के आसपास के इलेक्ट्रॉनिक ऑर्बिटल्स के इलेक्ट्रोस्टैटिक इंटरैक्शन ऊर्जा को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। इसके विपरीत, इलेक्ट्रॉनिक ऑर्बिटल्स की अंतःक्रियात्मक ऊर्जा और आंतरिक बहुध्रुव क्षणों को देखते हुए, परमाणु नाभिक के बाहरी बहुध्रुव क्षण (और, इसलिए, आकार) मिल सकते हैं।

अक्षीय समरूपता का विशेष मामला

गोलाकार मल्टीपोल विस्तार एक सरल रूप लेता है यदि आवेश वितरण अक्षीय रूप से सममित है (अर्थात, अज़ीमुथल कोण से स्वतंत्र है) $\phi '$). को अंजाम देकर $\phi '$ एकीकरण जो परिभाषित करता है $Q_{\ell m}$ और $I_{\ell m}$, यह दिखाया जा सकता है कि कब को छोड़कर बहुध्रुव क्षण सभी शून्य हैं $m=0$. गणितीय पहचान का उपयोग करना

$$P_{\ell }(\cos \theta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell 0}(\theta ,\phi )$$

बाहरी मल्टीपोल विस्तार बन जाता है

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {Q_{\ell }}{r^{\ell +1}}}\right)P_{\ell }(\cos \theta )$$

जहां अक्षीय रूप से सममित बहुध्रुव क्षणों को परिभाषित किया गया है

$$Q_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\left(r'\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta ')$$

इस सीमा में कि चार्ज तक ही सीमित है $z$-एक्सिस, हम एक्सटीरियर एक्सियल मल्टीपोल मोमेंट्स को रिकवर करते हैं।

इसी प्रकार आंतरिक मल्टीपोल विस्तार बन जाता है

$$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }I_{\ell }r^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )$$

जहां अक्षीय रूप से सममित आंतरिक मल्टीपोल क्षणों को परिभाषित किया गया है

$$I_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \theta ')$$

इस सीमा में कि चार्ज तक ही सीमित है $z$-अक्ष, हम आंतरिक अक्षीय मल्टीपोल क्षणों को पुनर्प्राप्त करते हैं।

यह भी देखें

• ठोस हार्मोनिक्स
• लाप्लास विस्तार (संभावित)
• मल्टीपोल विस्तार
• लीजेंड्रे बहुपद
• अक्षीय मल्टीपोल क्षण
• बेलनाकार बहुध्रुव क्षण

श्रेणी:विद्युत चुंबकत्व श्रेणी:संभावित सिद्धांत श्रेणी:पल (भौतिकी)